2022-2023学年山西省晋城市校高一年级下册学期第三次调研数学试题【含答案】

2022-2023学年山西省晋城市校高一下学期第三次调研数学试题一、单选题1．设，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】计算，再计算模长得到答案.【详解】，则，故.故选：D2．若的内角的对边分别为外接圆的半径为5，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】应用正弦定理，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可得答案.【详解】当时，由正弦定理，得；当时，由正弦定理，得，得或.故“”是“”的充分不必要条件.故选：A3．下列说法正确的是（

）A．过空间中的任意三点有且只有一个平面B．三棱柱各面所在平面将空间分成21部分C．空间中的三条直线a，b，c，如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面D．若直线a在平面外，则平面内存在直线与a平行【答案】B【分析】根据不共线的三点可确定平面，即可判断A；根据分别乘法计数原理即可判断B；根据异面直线的概念即可判断C；根据线面关系即可判断D.【详解】A：当空间中的三点共线时，不能确定平面，故A错误；B：三棱柱的3个侧面将空间分成7部分，两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分，所以三棱柱各面所在的平面将空间分成个部分，故B正确；C：空间中直线a、b、c，若a与直线b异面，b与c异面，则a与c可能异面，也可能共面，故C错误；D：由直线a在平面外可知，或a与相交.若，则内存在一条直线与直线a平行；若a与相交，则内不存在直线与直线a平行，故D错误.故选：B.4．已知是函数的两个零点，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意得到，结合，得出，求得，利用正弦的倍角公式，即可求解.【详解】因为是函数的两个零点，可得，由，可得，即，解得或，因为，所以，即，所以.故选：A5．已知向量，且函数的图像是一条直线，则（

）A． B． C．2 D．2【答案】A【分析】根据平面向量数量积的运算法则求出的解析式，确定m即可.【详解】由题意，=，因为函数的图像是一条直线，所以，即3×(-1)+2×m+=0，解得，；故选：A.6．已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得到，，两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，结合正方体的性质，即可求解.【详解】由题意，正三棱锥中，，则，所以，同理可得，即，，两两垂直，可把该三棱锥补成一个正方体，则该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，即正方体的体对角线就是球的直径，所以球心位于正方体对角线的中点,所以三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，所以.7．如图，在梯形中，且为以为圆心为半径的圆弧上的一动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解.【详解】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则有，，，，设，得，，，则由，当时，有最小值.故选：B8．在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件求得解得，，，再求得，可得到，用基本不等式求的最小值.【详解】设，，根据题意得，解得，，，，，又、、三点共线，，，当且仅当，即时，等号成立．故选：C【点睛】关键点睛：解题的关键是由已知条件求出后，再由三点共线，得，所以化简后结合基本不等式可求出其最小值，二、多选题9．对于，，下列说法正确的有（

）A．若，则 B．若，则是纯虚数C． D．【答案】AC【分析】由共轭复数概念、复数相等判断A；特殊值判断B；令且，且，利用复数乘法、模的概率判断C、D；【详解】A：，则的虚部为0，故，正确；B：当时，成立，而不是纯虚数，错误；C：令且，则，则，正确；D：令且，且，则可能为虚数，而为实数，错误.故选：AC10．设，且，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】结合选项及条件逐个判定，把代入可得A正确，利用指数函数单调性可得B错误，利用基本不等式可得C正确，利用1的代换及基本不等式可得D错误.【详解】对于A，，且，，解得，故A正确；对于B，，即，，故B错误；对于C，，且，，当且仅当时等号成立，，故C正确；对于D，，且，，当且仅当，即时等号成立，，，故D错误.故选：AC.11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件能判断△ABC是钝角三角形的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用平面向量数量积的定义，判断夹角的范围即可判断A选项；对于B选项，利用正弦定理进行边化角处理，化简可得到角的关系；对于C选项，利用正弦定理进行角花边处理，再利用余弦定理求得；对于D，利用角的正切值在的正负关系，直接得出结果.【详解】对于A选项：，则，故A选项正确；对于B选项：，由正弦定理可得，则，即，故，则，故B错误；对于C选项：由正弦定理可得，，即，解得，，故C正确；对于D选项：、、三个必有一个为负值又，，，故D正确.故选：ACD.12．在正方体中，，点P在正方体的面内（含边界）移动，则下列结论正确的是（

）A．当直线平面时，则直线与直线成角可能为B．当直线平面时，P点轨迹被以A为球心，为半径的球截得的长度为C．若直线与平面所成角为，则点P的轨迹长度为D．当直线时，经过点B，P，的平面被正方体所截，截面面积的取值范围为【答案】BCD【分析】A应用线面平行、面面平行的判定证面面，进而判断的轨迹，即可判断线线角的范围；B根据A分析知：P点轨迹为线段，再画出球与各面的截面形状，即可判断；C根据面，结合线面角大小确定P的轨迹，即可求长度；D首先确定P轨迹为线段，再应用平面的基本性质画出截面，进而确定面积范围.【详解】A：如下图，连接、、，由正方体性质知：，，由面，面，则面，同理可证面，又，面，故面面，由面，面面，且P在正方体的面内，所以，要使直线平面，则面，即，又△为等边三角形，故在上运动时，直线与直线成角为，错误；B：由A分析知：直线平面，P点轨迹为线段，取中点，连接，而△为等边三角形，则，以A为球心，为半径的球截的长度为，正确；C：由面，显然、与面夹角为，所以，要直线与平面所成角为，则P轨迹是以为圆心为半径的圆，如下图示：所以，轨迹长度为，正确；D：若，而，则，而面，面，又面面，故P轨迹为线段，过作交于，连接，易知：截面为平行四边形，如下图，当与或重合时，截面为矩形，此时面积最大，为；当为的中点时，截面为菱形，此时面积最小，为；所以截面面积的取值范围为，正确.故选：BCD三、填空题13．函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则＝.【答案】27【分析】由对数函数与幂函数的性质求解，【详解】令，得，此时，故定点，设，则，得，故，故答案为：2714．已知函数，若，，且函数在上单调，则实数的值．【答案】/0.5【分析】由，可知时，取得最大值，且函数在上单调，即，即可求解实数的值．【详解】由，可知时，取得最大值，即，可得：且在上是单调函数，，即可得：．当时，可得，故得实数的值为．故答案为：．15．在中，，，且在上，则线段的长为．【答案】1【详解】∵，∴，∴，∵且在上，∴线段为的角平分线，∴，以A为原点，如图建立平面直角坐标系，则，D∴故答案为116．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这个“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现．如图，在底面半径为的圆柱内有球与圆柱的上、下底面及母线均相切，设分别为圆柱的上、下底面圆周上一点，且与所成的角为，直线与球的球面交于两点，则线段的长度为．【答案】【分析】取中点，由等腰三角形三线合一可得；由线面垂直的判定与性质可证得，利用勾股定理可推导求得，又，可知为中点，由此可得.【详解】，，取中点，连接，，为中点，；，，，平面，平面，又平面，；，，，，，也是中点，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查旋转体中的线段长度的求解问题，解题关键是能够熟练应用圆柱和球的结构中的长度相等的线段之间的关系，结合垂直关系，利用勾股定理来进行求解.四、解答题17．设，是不共线的两个向量，若，，．(1)若，，且，求与的夹角；(2)若A，B，C三点共线，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用即可求解；（2）由共线定理及待定系数即可求解.【详解】（1）依题意，时，，因为，所以，又，所以，则，而，所以与的夹角为．（2）因为，，且A，B，C三点共线，所以存在，使得，即，则，解得．18．已知的内角，，的对边分别为，，，且，．(1)求角；(2)若，，求的面积．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据正弦定理可得，再由三角恒等变换即可求得A；（2）根据题意和正弦定理可得，利用余弦定理可求得，结合三角形面积公式计算即可．【详解】（1）因为，，由正弦定理，得，所以，解得，又，所以或；（2）因为，所以，所以，因为，由正弦定理得，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍去），此时，则，所以．19．如图，正三棱柱中，，点M为的中点．(1)在棱上是否存在点Q，使得AQ⊥平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由：(2)求点C到平面的距离．【答案】(1)存在，；(2).【分析】（1）根据给定条件，证明平面平面，过点作交于点，利用面面垂直的性质推理作答.（2）利用（1）的结论，把所求距离转化为点到平面的距离求解作答.【详解】（1）在正三棱柱中，因为点为的中点，则，又平面，平面，则有，而平面，于是平面，平面，则平面平面，在平面内过点作交于点，平面平面，因此平面，于是点即为所要找的点，显然，因此，即有，于是，，所以.（2）取的中点，连接，因为点为的中点，则，于是为平行四边形，即，而平面，平面，因此平面，有点到平面的距离等于点到平面的距离,又为之中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半,而由（1）知，当时,平面，，设，则，所以点C到平面的距离.20．已知函数.（1）已知，求的值；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）结合三角恒等变化化简得，得到，然后将利用诱导公式，余弦的倍角公式转化计算；（2）根据（1）求出当时，进而，原不等式等价于，看成关于的一次函数，其端点函数值大于等于0，得，化简即可.【详解】解：（1），，.（2）当时，，可得，由，不等式可化为，有.令，，则，若不等式恒成立，则等价于，解得：.故实数的取值范围为.【点睛】本题考查三角函数恒等变形和化简求值，与三角函数相关的不等式恒成立问题求参数取值范围问题，属中档题.（1）三角函数知值求值是，要将已知中的角进行整体处理，将所求式子转化为已知角的三角函数的形式，然后综合利用公式计算；（2）不等式恒成立问题要注意先进行等价转化，注意换元思想方法的应用，等价转化为二次函数在闭区间上恒成立问题，利用二次函数的图象和性质转化求解.21．如图，在中，内角的对边分别为，满足.(1)求；(2)在所在平面上存在点，连接，若，，求的面积.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用给定的等式，结合正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求解作答.（2）设，利用正弦定理用表示，再利用正弦定理结合已知求出，利用三角形面积公式求解作答.【详解】（1）在中，由，得，由正弦定理，得，因为，因此，即，而，，有，即有，且显然，于是，解得，所以.（2）令，四边形内角和为，由（1）的结论知：，在中，由正弦定理得：，即有，在中，，则，又，则有，即，，因为，则，于是，即，又，因此，，所以的面积.22．如图，在斜三棱柱中，AC＝BC，D为AB的中点，为的中点，，异面直线与互相垂直．(1)求证：平面平面；(2)若与平面的距离为x，，三棱锥的体积为y，试写出y关于x的函数关系式；(3)在（2）的条件下，当与平面的距离为多少时，三棱锥的体积取得最大值？并求出最大值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)当与平面的距离时，三棱锥的体积取得最大值6【分析】（1）由题意可证得平面，平面，然后利用面面平行的判定定理证明；（2）由题意可得平面，平面，所以与平面的距离，求出三棱锥的底面面积的表达式，从而求出体积的表达式；（3）利用二次函数的性质即可求解体积的最大值，以及此时的值.【详解】（1）斜三棱柱中，四边形是平行四边形，