新教材2023-2024学年高中数学第4章指数函数对数函数与幂函数4.3指数函数与对数函数的关系课件新人教B版必修第二册

第四章4.3指数函数与对数函数的关系基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测课程标准1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,清楚它们的图象间的对称关系.2.会求简单函数的反函数.3.能综合利用指数函数、对数函数的性质与图象解决问题.基础落实·必备知识全过关知识点1

反函数的概念1.一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中

的值,只有

与之对应,那么

,这个函数称为y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x)存在反函数.而且,如果函数的自变量仍用x表示,因变量仍用y表示,则函数y=f(x)的反函数的表达式,可以通过对调y=f(x)中的x与y,然后从x=f(y)中求出y得到.

2.反函数的记法一般地,函数y=f(x)的反函数记作

.

任意一个y

唯一的xx是y的函数

y=f-1(x)名师点睛1.反函数概念的理解当一个函数的自变量和因变量一一对应时,可以把这个函数的自变量作为一个新的函数的因变量,而把这个函数的因变量作为新的函数的自变量,我们称这两个函数互为反函数.2.反函数的性质(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.(2)若函数y=f(x)图象上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数的图象上;反之,若点(b,a)在反函数的图象上,则点(a,b)必在原函数的图象上.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.(4)y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与y=f-1(x)的定义域相同.特别提醒只有自变量和因变量一一对应的函数才有反函数,如一次函数y=kx+b(k≠0)、反比例函数y=(k≠0)、指数函数y=ax(a>0且a≠1)、对数函数y=logax(a>0且a≠1),都有反函数.像二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),在整个定义域上没有反函数,因为关于对称轴x=-对称的两个不同的自变量对应同一个函数值,它不是自变量和因变量一一对应的函数,所以没有反函数.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)任意一个函数都有反函数.(

)(2)y=2x与

互为反函数.(

)(3)函数y=ex的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称.(

)××√2.函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=logax(a>0且a≠1)的解析式有何内在联系?提示

根据对数式与指数式的互化可知y=ax可化为对数式“x=logay”,再将等式“x=logay”中的x,y互换,也就形成了对数函数y=logax,从这一过程可以看出y=ax与y=logax的定义域和值域是互换的.3.函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=logax(a>0且a≠1)的单调性一致吗?提示

当0<a<1时,上述两个函数均是其定义域上的减函数;当a>1时,上述两个函数均是其定义域上的增函数.因此单调性一致.知识点2

指数函数与对数函数的关系指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象和性质对比如下表:名称指数函数对数函数定义域R(0,+∞)值域(0,+∞)R奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数单调性当a>1时,y=ax在R上为增函数;当0<a<1时,y=ax在R上为减函数当a>1时,y=logax在区间(0,+∞)上为增函数;当0<a<1时,y=logax在区间(0,+∞)上为减函数名称指数函数对数函数对称性y=ax的图象与y=logax的图象关于直线y=x对称函数值的变化情况①当a>1时,若x>0,则y>1;若x=0,则y=1;若x<0,则0<y<1.②当0<a<1时,若x>0,则0<y<1;若x=0,则y=1;若x<0,则y>1①当a>1时,若x>1,则y>0;若x=1,则y=0;若0<x<1,则y<0.②当0<a<1时,若x>1,则y<0;若x=1,则y=0;若0<x<1,则y>0过关自诊1.[2023广西百色高一校考]设a∈R,若f(x)=log2(x+a)的反函数的图象经过点(3,1),则a=(

)A.7 B.3 C.1 D.-1A解析

∵f(x)=log2(x+a)的反函数的图象经过点(3,1),∴f(x)=log2(x+a)的图象经过点(1,3),∴f(1)=log2(1+a)=3,解得a=7.故选A.2.函数y=f(x)的反函数存在,若点(2,1)在y=f(x)的图象上,则其反函数的图象一定过点

.

3.函数y=ln(2x)的反函数是

.

(1,2)重难探究·能力素养全提升探究点一求反函数【例1】

求下列函数的反函数:(1)f(x)=;(2)f(x)=5x+1.规律方法

求函数f(x)的反函数f-1(x)的主要步骤(1)令y=f(x),对调其中的x和y,得x=f(y);(2)从x=f(y)中解出y=φ(x);(3)写出反函数f-1(x)的解析式.简记为“一换、二解、三写”.变式训练1[北师大版教材例题]写出下列对数函数的反函数:(1)y=lgx;(2)解

因为对数函数y=lg

x的底数是10,所以它的反函数是指数函数y=10x.探究点二指数函数与对数函数图象的关系【例2】

(1)已知a>0且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是(

)B解析

(方法一)首先,曲线y=ax只可能在x轴上方,y=loga(-x)只可能在y轴左边,从而排除A,C.其次,从单调性着眼.y=ax与y=loga(-x)的单调性正好相反,又可排除D.故选B.(方法二)若0<a<1,则函数y=ax单调递减且图象过点(0,1),而函数y=loga(-x)单调递增且图象过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件.若a>1,则函数y=ax单调递增且图象过点(0,1),而函数y=loga(-x)单调递减且图象过点(-1,0),只有B满足条件.(方法三)如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数(图象关于直线y=x对称),则可直接选B.(2)将y=2x的图象(

),再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象.A.先向上平移1个单位长度 B.先向右平移1个单位长度C.先向左平移1个单位长度 D.先向下平移1个单位长度D解析

由图象的平移变换易知需先向下平移1个单位长度.规律方法

互为反函数的图象特点(1)互为反函数的图象关于直线y=x对称;图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.(3)若一奇函数有反函数,则它的反函数也是奇函数.变式训练2已知函数y=f(x)的定义域是[-1,1],其图象如图所示,则不等式-1≤f-1(x)≤的解集是(

)C成果验收·课堂达标检测12341.已知f-1(x)是函数f(x)=10x的反函数,则f-1(1)的值为(

)A.0 B.1 C.10 D.100A解析

因为f-1(x)是函数f(x)=10x的反函数,则f-1(x)=lg

x,f-1(1)=lg

1=0,所以f-1(1)的值为0.故选A.12342.若函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(1,3),则f(log28)=(

)A.-1 B.1 C.2 D.3B解析

依题意,函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的反函数是y=ax,即函数y=ax的图象过点(1,3),则a=3,f(x)=log3x,于是得f(log28)=log3(log28)=log33=1,所以f(log28