新教材2023-2024学年高中数学第二章平面解析几何测评一新人教B版选择性必修第一册

第二章测评(一)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知直线3x+y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是()A.4 B.1020 C.104 D2.已知圆(x-1)2+y2=4内一点P(2,1),则过P点的最短弦所在的直线方程是()A.x-y-1=0 B.x+y-3=0C.x+y+3=0 D.x=23.已知椭圆C:x2m+y24=1(m>4)的离心率为33A.6 B.6 C.26 D.124.若α∈π6,π2,则直线4xcosα+6y-7=0的倾斜角的取值范围是(A.π6,π2 B.5π6,C.0,π6 D.π2,55.设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>b>0)的两条渐近线夹角为α,且tanA.52 B.2或C.5 D.56.已知从点(-5,3)发出的一束光线,经x轴反射后,反射光线恰好平分圆(x-1)2+(y-1)2=5的圆周,则反射光线所在的直线方程为()A.2x-3y+1=0 B.2x-3y-1=0C.3x-2y+1=0 D.3x-2y-1=07.已知a>0,b>0,直线l1:x+(a-4)y+1=0,l2:2bx+y-2=0,且l1⊥l2,则1a+1+1A.2 B.4 C.23 D.8.已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,N是x轴上点F右侧一点,若以FN为始边,FM为终边的角∠NFM=60°,则|FM|等于()A.2 B.433 C.23 D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知方程x24-t+y2t-A.当1<t<4时,曲线C表示椭圆B.当t>4或t<1时,曲线C表示双曲线C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1<t<5D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则t>410.已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+4=0相交于A,B两点,下列说法正确的为()A.两圆有两条公切线B.直线AB的方程为y=2x+4C.线段AB的长为6D.圆O上点E,圆M上点F,|EF|的最大值为5+311.已知椭圆M:x225+y220=1的左、右焦点分别是F1,F2,左、右顶点分别是A1,A2,点P是椭圆上异于A1,A2A.|PF1|+|PF2|=5B.直线PA1与直线PA2的斜率之积为-4C.存在点P满足∠F1PF2=90°D.若△F1PF2的面积为45,则点P的横坐标为±512.设A,B是抛物线x2=y上的两点,O是坐标原点,下列结论正确的是()A.若OA⊥OB,则|OA||OB|≥2B.若OA⊥OB,直线AB过定点(1,0)C.若OA⊥OB,点O到直线AB的距离不大于1D.若直线AB过抛物线的焦点F,且|AF|=13,则|BF|=三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在平面直角坐标系中,从点P(5,2)发出的光线射向x轴,经x轴反射到直线y=x上,再反射经过点(10,9),则光线由P到Q经过的路程长为.

14.已知半径为1的圆C关于直线2x-y-4=0对称,写出圆C的一个标准方程.

15.双曲线x24-y2b2=1(b>0)的离心率为52,则b=,过双曲线的右焦点F作直线垂直于双曲线的一条渐近线,垂足为A,设16.设椭圆x225+y29=1上的一点P到椭圆两焦点的距离的乘积为s,则当s取得最大值时,四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知F1(-4,0),F2(4,0)是双曲线C:x2m-y24=1(m>0)的两个焦点,点M是双曲线C上一点,且∠F1MF2=60°,求△18.(12分)过点P(1,2)作直线l分别与x,y轴正半轴交于点A,B.(1)若△AOB是等腰直角三角形,求直线l的方程;(2)对于①|OA|+|OB|最小,②△AOB面积最小,若选择作为条件,求直线l的方程.

19.(12分)已知抛物线y2=2px(p>0)上的点T(3,t)到焦点F的距离为4.(1)求p,t的值;(2)设A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且OA·OB=5(其中O为坐标原点).求证:直线AB过定点,20.(12分)已知抛物线C1:y2=8x的准线与x轴交于点F1,其焦点为F2,椭圆C2以F1,F2为焦点,且离心率为22(1)求椭圆C2的标准方程;(2)设直线l:y=x+t与椭圆C2交于A,B两点,若|AB|=4,求△AOB(点O为坐标原点)的面积.21.(12分)已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且线段AB恰好被点P(2,2)平分.(1)求直线l的方程;(2)抛物线上是否存在点C和D,使得C,D关于直线l对称?若存在,求出直线CD的方程;若不存在,请说明理由.22.(12分)已知圆C:(x-1)2+(y-3)2=9,线段RQ的端点Q的坐标是(4,3),端点R在圆C上运动,且点T满足RT=2TQ,记T点的轨迹为曲线Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)过点A(0,3)斜率为k的直线l与曲线Γ交于M,N两点,试探究:①设O为坐标原点,若OM·ON=26,这样的直线l是否存在?若存在,求出|MN|;若不存在,②求线段MN的中点D的轨迹方程.

第二章测评(一)1.D由直线平行可得3m-6=0,解得m=2,则直线方程为6x+2y+1=0,即3x+y+12=0,则距离是1故选D.2.B由题意可知,当过圆心且过点P(2,1)时所得弦为直径,当与这条直径垂直时所得弦长最短,圆心为C(1,0),P(2,1),则由两点间斜率公式可得kCP=1-02-1=1,所以与PC垂直的直线斜率为k=-1,则由点斜式可得过点P(2,1)的直线方程为y-1=-1×(x-2),化简可得故选B.3.C由题意可知m-4m=33,解得所以椭圆长轴长为26.4.B因为α∈π6,π2,则cosα∈0,32所以直线4xcosα+6y-7=0的斜率为k=-2cosα3∈-33,0,因此直线4xcosα+6y-7=0的倾斜角的取值范围是5π6,π故选B.5.A∵双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)的两条渐近线夹角为∴一条渐近线的斜率为tanα2则2tanα21-tan2α2=4∴e2=1+ba∴e=52(负值舍去)6.A设点A的坐标为(-5,3),圆(x-1)2+(y-1)2=5的圆心坐标为B(1,1),设C(x,0)是x轴上一点,因为反射光线恰好平分圆(x-1)2+(y-1)2=5的圆周,所以反射光线经过点B(1,1).由反射的性质可知kAC+kBC=0⇒3-0-5-x+1-01-x=0⇒x=-12,于是kBC=1-01-(-7.D因为l1⊥l2,所以2b+a-4=0,即a+1+2b=5.因为a>0,b>0,所以a+1>0,2b>0,所以1a+1+12b=1a+1+12b×15(a+1+2b)=152+2ba+1+a+12b≥15故选D.8.D如图所示,由题意得焦点坐标F(1,0),准线方程为x=-1,设M的坐标为y24,y,∠NFM=60°,∴y24∴|y|=3y24-整理得3y2-4|y|-43=0,解得|y|=23,又∠NFM=60°,∴|FM|=23sin60°9.BCD若曲线C:x24-t则4∴1<t<4且t≠52,故A不正确若曲线C:x24-t则(4-t)(t-1)<0,∴t<1或t>4,故B正确;若曲线C:x24-t+y2t-1=1表示焦点在x轴上的椭圆,则若曲线C:x24-t+y2t-1=1表示焦点在y轴上的双曲线故选BCD.10.ABD圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0),半径r1=2,圆M:(x+2)2+(y-1)2=1的圆心M(-2,1),r2=1,|OM|=(-2)2+12=5,显然有r1-r2<|OM|<r1+r2,于是得圆O与圆M相交,圆O由x2+y2=4,x2+y2+4x-2y+4=0,得圆心O到直线AB:2x-y+4=0的距离d=42则|AB|=2r12-d2=22|EF|≤|EO|+|OF|≤|EO|+|OM|+|MF|=r1+|OM|+r2=5+3,当且仅当点E,O,M,F四点共线时等号成立,如图,因此当点E,F分别是直线OM与圆O交点E',与圆M交点F'时,|EF|max=5+3,故D正确.故选ABD.11.BD由椭圆方程可得:a=5,c=5,则F1(-5,0),F2(5,0),A1(-5,0),A2(5,0),由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=10,故A错误;设点P的坐标为(m,n),则m225+n220=1,即n2=则kP所以kPA1kPA2PF1=(-5-m,-n),PF2=(5若∠F1PF2=90°,则PF1·PF2=m2又n2=45(25-m2),联立可得15m2+15=0,方程无解,故CS△PF1F2=12|F1F2||yP|=12解得yP=±4,代入椭圆方程可得xP=±5,故D正确.12.ACD对于A,设A(x1,x12),B(x2,x∵OA⊥OB,∴OA·OB=0,∴x1x2+(x1x2)2∴x1x2(1+x1x2)=0,∴x2=-1x∴|OA||OB|=x12(1+x12)·1x12对于B,若OA⊥OB,显然直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,联立方程y=kx+m,y=设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=k,x1x2=-m,∴y1y2=x12x22=(x1x2∵OA⊥OB,∴OA·OB=0,∴x1x2+y1y2∴-m+m2=0,∴m=0或m=1,易知直线AB不过原点,∴m=1,∴直线AB的方程为y=kx+1,恒过定点(0,1),故B错误;∴点O到直线AB的距离d=11+∵k2≥0,∴k2+1≥1,∴d≤1,故C正确;对于D,直线AB过抛物线的焦点F0,14,设直线AB的方程为联立方程y=kx+14,x2=设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设点A在y轴右侧,∴x1+x2=k,x1x2=-14∴|AF|=y1+14∴y1=112,∴x1=3∴x2=-14x∴y2=34∴|BF|=y2+14=1,故D正确13.410设光线自点P射向x轴上的A点,经过反射后射向直线y=x上的B点,再经过反射后射向Q点,点P关于x轴的对称点P',点Q关于直线y=x的对称点Q',则P'(5,-2),Q'(9,10),所以光线由P到Q经过的路程长为|PA|+|AB|+|BQ|=|P'A|+|AB|+|BQ'|=|P'Q'|=(9-5)14.(x-2)2+y2=1(答案不唯一,只要圆心C在直线2x-y-4=0上,半径为1,均可)由题可知,圆C关于直线2x-y-4=0对称,半径为1,则圆心C在直线2x-y-4=0上,则当x=2时,y=0,所以当圆心C为(2,0)时,圆C的标准方程为(x-2)2+y2=1.15.12因为双曲线x24-y2b2=1(b>0)的离心率为5所以双曲线x24-y2=1的右焦点F(其中一条渐近线方程为x-2y=0,所以|AF|=51+(-所以|OA|=(5)216.(0,3)或(0,-3)设椭圆x225+y29=1的焦点为由椭圆定义可得,|PF1|+|PF2|=2a=10,则s=|PF1|·|PF2|≤|PF1|+|P当且仅当|PF1|=|PF2|=a=5,即P(0,3)或(0,-3),s取得最大值25.17.解因为F1(-4,0),F2(4,0)是双曲线C:x2m-y24所以m+4=16,所以m=12.设|MF1|=t1,|MF2|=t2.因为点M是双曲线上一点,且∠F1MF2=60°,所以|t1-t2|=43.在△F1MF2中,由余弦定理可得t12+t22-2t1t2cos60°=64.联立上述两式可得所以△F1MF2的面积S=12t1t2sin60°=4318.解(1)因为过点P(1,2)作直线l分别与x,y轴正半轴交于点A,B,且△AOB是等腰直角三角形,所以直线l的倾斜角为3π所以直线l的斜率为k=tan3π4所以直线l的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.(2)设A(a,0),B(0,b)(a,b>0),直线l的方程为xa+yb=1,代入点P(1,2)可得若选①:|OA|+|OB|=a+b=(a+b)1a+2b=3+2ab+ba≥3+22ab×ba=3+22,当且仅当a=2+1,b=2所以直线l的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-2-2=0.若选②:由1a+2b=1≥22ab,可得ab≥8,当且仅当a=所以S△AOB=12ab≥4,即△AOB面积最小为此时直线l的斜率k=-ba=-所以直线l的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.19.(1)解由抛物线的定义,得3+p2=4,解得p=所以抛物线的方程为y2=4x,将点T(3,t)代入,得t2=12,解得t=±23.(2)证明设直线AB的方程为x=my+n,Ay124,联立y2=4x,x=my+n,消去则y1+y2=4m,y1y2=-4n.由OA·OB=5,得(y1y2所以y1y2=-20或y1y2=4(舍去),即-4n=-20,n=5,所以直线AB的方程为x=my+5,所以直线AB过定点(5,0).20.解(1)因为抛物线C1:y2=8x的焦点F2(2,0),设椭圆C2的标准方程为x2a2+则c=2.又因为其离心率为22所以ca=22,所以所以b=a2-所以椭圆C2的标准方程为x28+(2)联立直线l:y=x+t与椭圆C2的标准方程可得3x2+4tx+2t2-8=0,所以x1+x2=-4t3,x1x2=所以|AB|=2|x2-x1|=2(x所以t2=3,所以△AOB的面积为S=12×4×|21.解(1)由题意可得直线AB的斜率存在,且不为0.设直线AB:x-2=m(y-2),m≠0,与抛物线方程联立消去x,可得y2-8my+16m-16=0.判别式Δ=(-8m)2-4(16m-16)=64