新教材2023-2024学年高中数学第六章导数及其应用6.1导数6.1.1函数的平均变化率6.1.2导数及其几何意义分层作业新人教B版选择性必修第三册

第六章6.1导数6.1.1函数的平均变化率6.1.2导数及其几何意义A级必备知识基础练1.[探究点一·2023河南洛阳月考]函数f(x)=x3从-1到1的平均变化率为()A.2 B.1 C.0 D.-12.[探究点三]若函数f(x)=x+1x,则f'(1)=(A.2 B.52 C.1 D.3.[探究点一·2023黑龙江大庆龙凤校级期末]在曲线y=x2+6的图象上取一点(1,7)及邻近一点(1+Δx,7+Δy),则ΔyΔx为A.2+Δx B.Δx-1ΔxC.Δx+1Δx+2 D.2+Δ4.[探究点一](多选题)一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数表达式为h(t)=2t2+2t.下列说法正确的是()A.当t∈[0,3]时,球滚下的垂直距离的改变量Δh=24mB.在[2,3]这段时间内球滚下的垂直距离的改变量Δh=12mC.在[0,3]上球的平均速度为8m/sD.在[2,3]这段时间内球的平均速度为12m/s5.[探究点三]已知直线l经过(-1,0),(0,1)两点,且与曲线y=f(x)相切于点A(2,3),则limΔx→0A.-2 B.-1 C.1 D.26.[探究点二]汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为v1,v2,7.[探究点三·2023北京朝阳校级期末]设函数f(x)=x2+x,则limΔx→0A.-6 B.-3 C.3 D.68.[探究点一、三·2023河南商丘睢县校级月考]已知自由落体运动的方程为s=12gt2(g为常数,s是位移,单位是m,t是时间,单位是s),求(1)落体在t0到t0+d这段时间内的平均速度;(2)落体在t=10s这一时刻的瞬时速度.9.[探究点四]已知函数f(x)=x2,曲线y=f(x),(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.B级关键能力提升练10.设f(x)为可导函数,且满足limΔx→0f(1)-f(1-x)2xA.2 B.-1 C.1 D.-211.某市实施垃圾分类,家庭厨余垃圾的分出量不断增加,已知甲、乙两个小区在[0,t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示,给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大;②在[t2,t3]这段时间内,乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大;③在t2时刻,甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢;④甲小区在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[t2,t3]的平均分出量最大.其中所有正确结论的序号是()A.①② B.②③ C.①④ D.③④12.(多选题)某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,则()A.物体在t=1s时的瞬时速度为0m/sB.物体在t=0s时的瞬时速度为1m/sC.瞬时速度为9m/s的时刻是在t=4s时D.物体从0s到1s的平均速度为2m/s13.(多选题)设点P为曲线C:f(x)=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线的倾斜角α∈π4,π2,则点PA.12 B.-1C.-12 D.-14.已知f(x+h)-f(x)=2hx+5h+h2,用割线逼近切线的方法可以求得f'(x)=.

15.已知函数f(x)=x2+2x,曲线y=f(x)在点P处的切线垂直于直线x+2y=0,则点P的坐标是.

16.已知函数f(x)=x3,若曲线y=f(x)在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为16,求a的值C级学科素养创新练17.已知函数f(x)=1x,曲线y=f(x)(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程;(2)求满足斜率为-13的曲线的切线方程

6.1.1函数的平均变化率6.1.2导数及其几何意义1.B函数f(x)从-1到1的平均变化率为f(1)-故选B.2.Df'(1)=limΔx→0f(1+Δ3.A由题意可知,ΔyΔx=(1+故选A.4.ABCD对于选项A,由已知可得h(3)=24,则当t∈[0,3]时,球滚下的垂直距离的改变量Δh=h(3)-h(0)=24m,即选项A正确;对于选项B,由已知可得h(2)=12,h(3)=24,在[2,3]这段时间内球滚下的垂直距离的改变量Δh=h(3)-h(2)=12m,即选项B正确;对于选项C,h(0)=0,h(3)=24,则在[0,3]上球的平均速度为h(3)-h(0对于选项D,在[2,3]这段时间内球的平均速度为h(3)-h(2故选ABCD.5.C∵直线l经过(-1,0),(0,1)两点,∴l:y=x+1.由直线与曲线y=f(x)相切于点A(2,3),可得曲线在x=2处的导数为f'(2)=1,∴f'(2)=limΔx→6.v3>v2>vv2=s(t2)-由图象可知,kMA<kAB<kBC,∴v37.Cf(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2+(1+Δx)-1-1=(Δx)2+3Δx,∴limΔx→0f(1+Δx8.解(1)落体在t0到t0+d这段时间内的平均速度是ΔsΔt=12(2)由(1)知落体在[10,10+Δt]这段时间的平均速度是ΔsΔt=10g+12所以limΔt→0所以落体在t=10s这一时刻的瞬时速度是10g.9.解(1)设切点为(x0,y0),∵f'(x0)=lim=limΔx→0x∴f'(1)=2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.(2)点P(3,5)不在曲线y=f(x)上,设切点为A(x0,y0),由(1)知,f'(x0)=2x0,∴切线方程为y-y0=2x0(x-x0),由P(3,5)在所求直线上,得5-y0=2x0(3-x0),①再由A(x0,y0)在曲线y=f(x)上得y0=x02,联立①②得x0=1或x0=5.当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2,此时切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0;当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10,此时切线方程为y-25=10(x-5),即10x-y-25=0.综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=f(x)相切的直线方程为2x-y-1=0或10x-y-25=0.10.D∵lim=12lim∴limΔx即f'(1)=-2.由导数的几何意义知,曲线在点(1,f(1))处的切线斜率k=f'(1)=-2,故选D.11.B①在[t1,t2]这段时间内,甲的增长量小于乙的增长量,所以甲的平均分出量小于乙,故①错误;②在[t2,t3]这段时间内,甲的增长量小于乙的增长量,所以乙的平均分出量大于甲,故②正确;③在t2时刻,乙的图象比甲的图象倾斜程度高,瞬时增长率大,故③正确;④甲的图象为一条直线,所以三个时间段的平均分出量相等,故④错误.故选B.12.BCD对于A,lim=lim=limΔt→0(3+Δ即物体在t=1s时的瞬时速度为3m/s,A错误.对于B,lim=limΔt→0(0+Δ即物体在t=0s时的瞬时速度为1m/s,B正确.对于C,设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s,又limΔt→0s(t0+Δt)-s(t0)所以t0=4,物体在t=4s时的瞬时速度为9m/s,C正确.对于D,v=s(1故选BCD.13.AC设点P的横坐标为x0,则点P处切线的倾斜角α与x0的关系为tanα=f'(x0)=limΔx→0fx0∵α∈π4∴tanα∈[1,+∞),∴2x0+2≥1,即x0≥-12故选AC.14.2x+5因为f(x+h)-f(x)=2hx+5h+h2,所以f'(x)=limh→0f(x+h)-f(x15.(0,0)设P(x0,y0),则f'(x0)=limΔx→0(x0+Δx)2+2(x0因为点P处的切线垂直于直线x+2y=0,所以点P处的切线的斜率为2,所以2x0+2=2,解得x0=0,即点P的坐标是(0,0).16.解∵f'(a)=limΔx→0(∴曲线在(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a),切线与x轴的交点为23∴三角形的面积为12a-23a|a3|=17.解(1)设过点A(1,0)的切线的切点为Px0则f'(x0)=limΔx→01x0因为点A(1,0),Px0