新教材2023-2024学年高中数学第五章数列本章总结提升课件新人教B版选择性必修第三册

第五章本章总结提升知识网络·整合构建专题突破·素养提升目录索引

知识网络·整合构建专题突破·素养提升专题一等差(比)数列的基本运算1.等差(比)数列的基本运算主要考查数列通项公式及前n项和公式,一般运用列方程(组)的方法.2.通过等差、等比数列的基本运算,培养数学运算、逻辑推理等核心素养.【例1】

在等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解(1)设{an}的公比为q,由已知,得16=2q3,解得q=2,∴an=2×2n-1=2n.(2)由(1)得,a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32.设{bn}的公差为d,所以bn=-16+12(n-1)=12n-28,所以数列{bn}的前n项和变式训练1[2023辽宁辽阳高二期末]设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且a3=9,S3=63.(1)求{an}的通项公式;(2)记{an}的前n项积为Tn,求使得Tn取得最大值的n的值.解(1)设{an}的公比为q,由题可知q>0.因为a3=9,S3=63,所以q≠1,(2)由(1)知an=9×()n-3,所以当n≤6时,an>1;当n≥7时,0<an<1,故当n=6时,Tn取得最大值.专题二求数列的通项公式1.数列的通项公式是数列的灵魂,是我们研究数列首先要考虑的问题.常用的求通项公式的方法有观察法、公式法、累加(乘)法、由前n项和作差法等.2.求数列的通项公式,可以培养数学运算、逻辑推理等核心素养.【例2】

(1)已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n,求an.解

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-1,当n=1时,a1=S1=5不适合上式.(2)数列{an}的前n项和为Sn且a1=1,an+1=Sn,求an.解

由题意,知Sn=3an+1.①当n≥2时,Sn-1=3an,②∴an=Sn-Sn-1=3an+1-3an,规律方法

数列通项公式的求法(1)定义法,即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法,这种方法适用于已知数列类型的题目.(2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn的关系式,求数列{an}的通项an可用公式an=Sn-Sn-1,n≥2求解.需验证a1是否满足所求式.(3)累加法或累乘法,形如an-an-1=f(n)(n≥2)的递推式,可用累加法求通项公式;形如

=f(n)(n≥2)的递推式,可用累乘法求通项公式.变式训练2[2023河南洛阳洛龙高二月考]已知{an}为递增数列,前n项和Sn=2n+2n2+λ,求实数λ的取值范围.解∵{an}的前n项和Sn=2n+2n2+λ,∴a1=S1=4+λ.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1+4n-2,此时数列{an}随n的增大而增大,故只需a2-a1=(2+8-2)-(4+λ)=4-λ>0即可,故λ<4,即实数λ的取值范围为(-∞,4).专题三数列求和1.数列求和是考查的热点,一般情况下,数列求和转化为等差数列或等比数列的求和问题.2.通过数列求和,培养数学运算、逻辑推理等核心素养.【例3】

已知数列{an}的前n项和Sn=kcn-k(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3.(1)求an;(2)求数列{nan}的前n项和Tn.解(1)易知k≠0.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1),则a6=k(c6-c5),a3=k(c3-c2),∵a2=4,即k(c2-c1)=4,解得k=2,∴an=2n.当n=1时,a1=S1=2,适合上式.综上所述,an=2n(n∈N+).(2)由(1),得nan=n×2n,则Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n,2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1,两式作差,得-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=(1-n)×2n+1-2,∴Tn=2+(n-1)×2n+1.变式探究本例中的条件不变,(2)中“求数列{nan}的前n项和Tn”变为“求数列{n+an}的前n项和Tn”.解由题意,知n+an=n+2n,则Tn=1+2+2+22+3+23+…+n+2n=(1+2+3+…+n)+(2+22+…+2n)规律方法

数列求和的常用方法(1)公式法:利用等差数列或等比数列前n项和公式.(2)分组求和法:把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(3)裂项相消法:把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和.(4)错位相减法:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(5)倒序相加法:例如等差数列前n项和公式的推导.D解析

设{bn}的前n项和为Tn,则Tn=n2.当n=1时,T1=b1=1,当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=n2-(n-1)2=2n-1.b1=1符合上式,所以bn=2n-1(n∈N+).专题四等差(比)数列的判定1.判定等差(比)数列是数列中的重点内容,通常情况下,需要对给定条件进行变形,然后结合定义进行证明.2.通过等差(比)数列的判定与证明,培养数学运算、逻辑推理等核心素养.【例4】

数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N+).(1)设bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列;证明(1)an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an.因为S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=3a1+2=5,所以b1=a2-2a1=3≠0,所以数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.(2)由(1),知bn=3·2n-1=an+1-2an,所以数列{cn}是公差为3,首项为2的等差数列.

变式训练4[2023江苏连云港高二期末]若数列{an}满足:a1=2,a2=8,对任意的正整数n,都有an+2=6an+1