新疆乌鲁木齐市2021-2022学年高一数学下学期期中试题含解析

Page24新疆乌鲁木齐市2021-2022学年高一数学下学期期中试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知复数满足（为虚数单位），则复数的模等于（）A.1 B.2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】由复数的除法求出复数，再由模的定义求得模．【详解】由题意，∴．故选：C．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模．属于基础题．2.若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得截面半径，然后求解体积的比值即可.【详解】由题意设上、下底面半径分别为r、4r,截面半径为x,圆台的高为2h,则有则.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查圆台的结构特征，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.如图，点，，，，是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中不能满足平面的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理确定正确选项.【详解】对于A选项，由下图可知，平面，平面，所以平面，故选项A不符合题意.对于B选项，设是的中点，由下图，结合正方体的性质可知，，所以六点共面，故平面，因此选项B符合题意.对于C选项，由下图可知，平面，平面，所以平面，故选项C不符合题意.对于D选项，设，由于四边形是矩形，所以是中点，由于是中点，所以，由于平面，平面，所以平面，故选项D不符合题意.故选：B4.已知向量，满足，，，则向量，夹角的大小等于（）A.30° B.45° C.60° D.120°【答案】A【解析】【分析】将展开并结合求解出的值，再根据向量的数量积定义即可求解出的值，从而可求.【详解】由可得，所以，所以，而则向量，夹角的大小为30°．故选：A．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据向量的模长以及向量数量积的定义和结果，计算出的值.5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则角B=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得，则，从而可得，求出的值，从而可求出角【详解】解：因为，所以由正弦定理得，所以，所以,,,因为，所以，因为，所以，故选：C6.圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点(，，三点共线)处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是15°和60°，在楼顶处测得塔顶的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得，再在三角形中，运用正弦定理可得，再解直角三角形，计算可得所求值．【详解】解：在直角三角形中，．在中，，，故，由正弦定理，，故．在直角三角形中，．故选：D．7.我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，，，则=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】如图，设小正方形的另外两个顶点为，利用向量的线性运算构建关于的向量方程，从而可得．【详解】如图，设小正方形的另外两个顶点为，则，因为，由正方形的对称性可得，所以，故，故，所以，故选：A．8.已知点O是ABC的内心，若，则cos∠BAC=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，则四边形为菱形，设该菱形的边长为，则，表示出内切圆的半径，根据等积法可以求出的长，然后转化为等腰三角形处理即可【详解】解：由，设，则四边形为平行四边形，因为点O是ABC的内心，所以，所以四边形为菱形，设该菱形的边长为，则，因为∥，，所以的内切圆半径，所以，所以，解得，所以为等腰三角形，所以，故选：C二、多选题（每小题5分，共20分）9.在复平面内，下列说法正确的是（）A.若复数（i为虚数单位），则B.若复数z满足，则C.若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆D.若复数z满足，则的最小值为6【答案】AC【解析】【分析】对于A，先求得，再计算即可；对于B，设，得，从而可判断；对于C，由复数模的几何意义可判断；对于D，根据条件得到的表达式，再求最值即可.【详解】对于A，，则，所以，故A正确；对于B，设，则，则可知，而，若时，，故B不正确；对于C，由复数的模的几何意义可知是正确的；对于D，设，由z满足，则有，令，则，所以的最小值为2，故D不正确..故选：AC10.（多选题）设，是两个非零向量．则下列命题为假命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则存在实数，使得D.若存在实数，使得，则【答案】ABD【解析】【分析】将两边同时平方可得即可判断A；由判断是否成立可判断B；计算，的夹角可判断C；举反例可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A，若，则，得，所以不成立，故选项A不正确，假命题；对于B：若，则，因为，，所以，所以不成立，故选项B不正确，为假命题；对于C：由选项A的解析可知：若，则，因为，所以，所以，所以，是方向相反的两个向量，即，共线，所以存在实数，使得，故选项C为真命题；对于D：取实数，使得，则，而，此时，所以选项D不正确，为假命题，故选：ABD11.如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（）A.直线与直线垂直 B.直线与平面平行C.平面截正方体所得的截面面积为 D.点到平面的距离为【答案】BCD【解析】【分析】对于A，取的中点，连接，由正方体的性质判断，对于B，取的中点，连接，然后利用面面平行判断，对于C，把截面补形为四边形,由等腰梯形计算其面积，对于D，由等体积法计算即可【详解】解：对于A，如图所示，取的中点，连接，由正方体的性质可知‖，在中，，而，所以与不垂直，所以直线与直线不垂直，所以A错误，对于B，如图所示，取的中点，连接，则有‖，‖，因为平面，平面，平面，平面，所以‖平面，‖平面，因为，所以平面‖平面，因为平面，所以直线与平面平行，所以B正确对于C，如图所示，连接，延长交于点，因为，分别为，的中点，所以‖，所以四点共面，所以截面即为梯形，因为,所以，即，即，因为，所以，即，，所以等腰三角形的高为，梯形的高为，所以梯形的面积为，所以C正确，对于D，，在中，由余弦定理得所以，所以设点到平面的距离为，则由，可得，解得，所以D正确，故选：BCD12.若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（）A.角一定为锐角 B.C. D.的最小值为【答案】BC【解析】【分析】结合降次公式、三角形内角和定理、余弦定理、正弦定理、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，然后对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】依题意，，，为钝角，A选项错误.，，B选项正确.，由正弦定理得，，，由于，为钝角，为锐角，所以两边除以得，.C选项正确.，，整理得，由于为钝角，，所以，当且仅当时等号成立.所以，D选项错误.故选：BC三、填空题（每小题5分，共20分）13.如图所示，直观图四边形是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是______．【答案】【解析】【分析】根据斜二侧画法可知，原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．【详解】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底，高，下底为，．故答案为：．【点睛】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，比较基础．14.在三棱锥中，已知，，则直线与平面所成角的余弦值为___________.【答案】##0.5【解析】【分析】取AC的中点O，连接PO，BO，根据等腰三角形的性质证明，结合三角形全等证明平面ABC，然后根据线面角定义可得.【详解】如图，取AC的中点O，连接PO，BO，因为，所以，又，所以，且，所以，又，所以平面ABC，所以PB与平面ABC所成角为，所以.故答案为：15.足球运动是一项古老的体育活动，众多的资料表明，中国古代足球的出现比欧洲早，历史更为悠久，如图，现代比赛用足球是由正五边形与正六边形构成的共32个面的多面体，著名数学家欧拉证明了凸多面体的面数(F)，顶点数(V)，棱数(E)满足F+V-E=2，那么，足球有______.个正六边形的面，若正六边形的边长为，则足球的直径为______.cm(结果保留整数)(参考数据【答案】①.20②.22【解析】【分析】首先根据足球表面的规律，设正五边形为块，正六边形为块，列出方程组，解方程组即可.分别计算正六边形和正五边形的面积，从而得到足球的表面积，再利用球体表面积公式即可得到足球的直径.【详解】因为足球是由正五边形与正六边形构成，所以每块正五边形皮料周围都是正六边形皮料，每两个相邻的多边形恰有一条公共边，每个顶点处都有三块皮料，而且都遵循一个正五边形，两个正六边形结论.设正五边形为块，正六边形为块，有题知：，解得.所以足球有个正六边形的面.每个正六边形的面积为.每个正五边形的面积为.球的表面积.所以，.所以足球的直径为.故答案为：，.【点睛】本题主要通过传统文化背景，考查球体的直径和表面积公式，同时考查了学生理解问题的能力，属于中档题.16.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的面积等于，且，则A=_______，△ABC的面积的取值范围是_________.【答案】①.②.【解析】【分析】由结合余弦定理可得，由△ABC面积等于，可是，两式结合可求得，从而可求出角；利用正弦定理，余弦定理，三角函数等变换的应用可得，可求出范围，利用正弦函数的性质可求解的范围，进而可求得△ABC的面积的取值范围【详解】解：因为，所以，所以由余弦定理得，所以，因为△ABC面积等于，所以，所以，所以，因为，所以，因为，所以，因为由正弦定理可得，，，所以,所以，因为△ABC为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，所以，所以，故答案为：，四、解答题(第17题10分，第18题-第22题每题12分)17.已知，，方程的一个根为，复数，满足.（1）求复数；（2）若，求复数.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将代入方程，化简后利用复数相等的知识列方程组，由此求得，从而求得.（2）设，利用、来求得，进而求得.【详解】（1）依题意，得，即，由复数相等的定义及a，，得，解得.故复数.（2）设（，），由，得，，又，得，即，所以，解得，所以.18.如图甲，已知在四棱锥中，底面为平行四边形，点，，分别在，，上（1）若，求证：平面平面；（2）如图乙所示，若满足，，当为何值时，平面．【答案】（1）证胆见解析，（2）【解析】【分析】（1）由已知比例式结合平行线截线段成比例证明线线平行，进一步得到线面平行，再由面面平行判定定理可证得结论；（2）连接交于，连接，取的中点，连接，则可得∥，可得∥平面，取的中点,连接，则∥，可得∥平面，则平面∥平面，则∥平面，可得为的中点.【详解】（1）证明：因为，所以∥，因为∥，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，因为，所以∥，因为平面，平面，，所以∥平面，因为,平面,平面，所以平面平面；（2）连接交于，连接，取的中点，连接，则∥，因为平面,平面，所以∥平面，取的中点,连接，则∥，因为平面，平面，，所以∥平面，因为，所以平面∥平面，因为平面，所以∥平面，此时为的中点，所以，因为，所以19.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求A；（2）若D为BC的中点，且△ABC的面积为，，求AD的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量内积和所给条件结合余弦定理，得到关于的二次方程，从而得解；（2）利用已知条件结合面积公式求出，利用面积公式求出,利用正弦定理求出，再根据，求出，对三角形ABD使用余弦定理求出.小问1详解】因为，所以即，即，解得或，又因为锐角，即，所以，所以.【小问2详解】（2）由（1）知，因为的面积为，且，可得，解得，则，所以，又由，可得，则，因为，所以，又由，所以，所以.20.已知向量.（1）求与平行的单位向量；（2）设，若存在，使得成立，求k的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】分析】（1）待定系数法设坐标后列方程组求解（2）由数量积的坐标运算化简，转化为方程有解问题【小问1详解】设，根据题意得解得或或.【小问2详解】..，.问题转化为关于t的二次方程在内有解.令，①当，即时，在内为增函数，方程在内无解.②当，即时，由，解得或.③当，即时，在内为减函数，由得.解得.综上，实数k的取值范围为.21.在中，满足：，M是的中点.（1）若O是