2022-2023学年河北省保定市里县中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年河北省保定市里县中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点，点P在曲线上运动，点F为抛物线的焦点，则的最小值为（

）A. B. C. D.4参考答案：D【分析】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，当，即时等号成立.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.2.，，“”是“”的（

）A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充分必要条件

D．非分非必要条件参考答案：A3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．8π B．π C．π D．12π参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故选：C．4.设向量，，定义一种向量积：==．已知=，=，点在的图象上运动，点在的图象上运动，且满足=+（其中为坐标原点），则的最大值是

．参考答案：5.已知抛物线，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为-2，则该抛物线的准线方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.若均为单位向量，且＝0，≤0，则||的最大值为()A.－1

B．1

C.

D．2参考答案：B略7.称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（）A． B．⊥（） C．⊥（） D．（）⊥（）参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】先作向量，从而，容易判断向量t的终点在直线OB上，并设，连接AC，则有．从而根据向量距离的定义，可说明AB⊥OB，从而得到．【解答】解：如图，作，则，t∥，∴向量t的终点在直线OB上，设其终点为C，则：根据向量距离的定义，对任意t都有d（）=；∴AB⊥OB；∴．故选：C．【点评】考查有向线段可表示向量，以及对向量距离的理解，向量减法的几何意义，共线向量基本定理．8.设全集，集合，则下列结论正确的是

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D9.函数的定义域是

（

）

A．（-2，0）

B．（-2，-1）

C．（-1，0）

D．（-2，-1）∪（-1，0）参考答案：D10.执行如图的程序框图，如果输入，则输出的

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约______________万里参考答案：答案：412.过原点作曲线的切线，则切线的方程为

.参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B11

【答案解析】y=ex

解析：y′=ex，设切点的坐标为（x0，ex0），切线的斜率为k，则k=ex0，故切线方程为y﹣ex0=ex0（x﹣x0），又切线过原点，∴﹣ex0=ex0（﹣x0），∴x0=1，y0=e，k=e．则切线方程为y=ex，故答案为y=ex．【思路点拨】欲求切点的坐标，先设切点的坐标为（x0，ex0），再求出在点切点（x0，ex0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=x0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用切线过原点即可解决问题．13.方程－3x＝k有3个不等的实根,则常数k的取值范围是.参考答案：（-2,2）略14.过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若|AB|=8，则线段AB中点的横坐标为

．参考答案：3考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线y2=4x，可得焦点F（1，0），若AB⊥x轴，则|AB|=2p=4，不符合条件，舍去．设直线l的方程为：my=（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立可得：y2﹣4my﹣4=0，利用根与系数的关系及其弦长公式：|AB|=，解得m．再利用中点坐标公式即可得出．解答： 解：由抛物线y2=4x，可得焦点F（1，0），若AB⊥x轴，则|AB|=2p=4，不符合条件，舍去．设直线l的方程为：my=（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为y2﹣4my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4．∴|AB|===8，化为m2=1，解得m=±1，当m=1时，联立，化为x2﹣6x+1=0，∴x1+x2=6，因此=3．同理可得：m=﹣1时，=3．∴线段AB中点的横坐标为3．故答案为：3．点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.以间的整数为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为；……，依次类推以间的整数为分子，以为分母组成不属于的分数集合，其所有元素和为；则（1）=

；（2）=________.参考答案：略16.已知A，B，C三点都在体积为的球O的表面上，若AB=4，∠ACB=30°，则球心O到平面ABC的距离为

．参考答案：3【考点】M1：空间向量的概念．【分析】设球的半径为R，则=，解得R．设△ABC的外接圆的半径为r，2r=，解得r．可得球心O到平面ABC的距离d=．【解答】解：设球的半径为R，则=，解得R=5．设△ABC的外接圆的半径为r，2r===8，解得r=4．∴球心O到平面ABC的距离d===3．故答案为：3．17.设数列都是等差数列,若,则______。参考答案：35

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.参考答案：(1)；(2)最小值0；最大值【分析】（1）对函数进行三角恒等变换得，即可得最小正周期；（2）整体考虑的取值范围，求出最大值和最小值.【详解】解:(1)f(x)的最小正周期T=；(2)因为,所以所以当,即时,f(x)取得最小值；当,即时,f(x)取得最大值，所以f(x)在区间上的最小值0；最大值.【点睛】此题考查利用三角恒等变换对函数进行化简，求最小正周期和闭区间上的值域，关键在于利用公式准确化简，正确求值.19.已知点A，B，C是单位圆O上圆周的三等分点，设=，=，=（I）求证：（－）⊥（II）若|t++|=1，求实数t的值．参考答案：【分析】（I）由题意可得===1，且，，两两夹角均为120°，计算（）?=0，即可证明（）⊥．（II）由|t++|=1，可得=+++2t+2=1，又===﹣，代入即可得出．【解答】解：（I）由题意可得===1，且，，两两夹角均为120°，所以：（）?=1×1×cos120°﹣1×1×cos120°=0，所以（）⊥．（II）因为|t++|=1，所以=+++2t+2=1，因为===﹣，则t2+1+1﹣t﹣t﹣1=1，则t2﹣2t=0，解得t=0或2．20.(本小题10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线,已知过点的直线的参数方程为:直线与曲线分别交于(1)写出曲线和直线的普通方程;(2)若成等比数列,求的值.参考答案：(1)(2)21.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选二人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布．【专题】计算题．【分析】（1）设报考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，根据前3个小组的频率之比为1：2：3和所求频率和为1建立方程组，解之即可求出第二组频率，然后根据样本容量等于进行求解即可；（2）由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为p，通过X服从二项分布p（x=k），从而求出x的分布列，最后利用数学期望公式进行求解．【解答】解：（1）设该校报考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，则由题意可知，，解得p1=0.125，p2=0.25，p3=0.375．又因为p2=0.25=，故n=48．（2）由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为p=p3+（0.0375+0.0125）×5=．所以X服从二项分布，P（X=k）=，∴随机变量X的分布列为