向量的数量积

向量的数量积【知识概要】向量的夹角对于两个非零向量a,b，如果以O为起点，作OA=a,0B=b，则射线OA、0B的夹TOC\o"1-5"\h\z角O称为向量a，b的夹角L "-兀- .汪：(1)当8=0时，a与b同向；(2)当O=n时，a与b反向；(3)当9=一时，a与2b垂直，记a1b；(4)汪意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围00<0<1800.向量的数量积―► ―►―►定义：如果两个非零向量a，b的夹角为O(0<0<k)，那么我们把|a-bcosO叫做向量a与向量b的数量积(或内积)记作a•b即a•b=a-bcos0.注：(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosO的符号所决定；―A ―A ―►―A―A―A—►―►两个向量的数量积称为内积，写成ab今后要学到两个向量的外积aXb，而a・b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“•”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“X”代替；“投影”的概念：作图定义：IblcosO叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当0为锐角时投影为正值；当0为钝角时投影为负值；当0为―A ―A直角时投影为0；当0=0。时投影为Ibl；当0=180°时投影为-Ibl.(4)a•b的几何意义：a•b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积.

数量积的运算性质a-a=a2>0,当且仅当a-a=0时，a=0a-b=ba -- --(Aa)-b=_a-(人b)=人(a-b)(XeR)a-(bm)=a-b+a-c--注：①结合律不成立：a-b-cM.b)c:②消去律不成立a-b=a-c不能得到b=c；③a.b=0不能得到a=0或b=0；④a2=a2在向量的运算中有广泛的应用，予以重视向量的数量积的坐标表示方法—► —设a=(x,y)，b=(x,y)，则a-b=xx+yy，即两个1 1 2 2 12 12向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，a.bxx+yya与b夹角为0，则cos0a与b夹角为0，则cos0a.b Jx2+y2.Jx2+y2v1 1v2 2向量垂直的充要条件设a=(x,y)丰0，b=(x,y)丰0，则a±b=a-b=0，或xx+yy=011 22 12 12【典例解析】例1已知a,b,c是三个非零向量，下列命题中哪些是真命题?(1(1)(2)a,人反向°a-b-一ab;(3)a上b°a斗^—|a一b|;解：（1）（2）（3）例2下列各式中正确的是（C）(A)0-a—0;(B)0-a—0; (C)0-a—0; (D)0(A)0-a—0;例3已知向量a与b夹角为0—120，且a—4,b—」求:O1)(a-2b)-(a+b); 2)3a^~4b解：1尸12-一-2)4\：19例4已知a—(-2,1),b—(3,-4),a-c—-1,b-c—9,求c.解：c—(-1,-3).-例5已知a—3,b—2,a与b的夹角为三，c—3a+5b，d—ma-3b.当m为何值时，c与d相互垂直？-“ 29解m——14例6在边长为1的等边三角形ABC中，若BC—a,CA—b,AB—c,求a-b+b-c+c-a.解：注意夹角，结果为-5.例7已知向量a+*「3b与4a-3克b垂直，且向量2a+招b与a-」3b垂直，a丰0b丰。，求a与b的夹角0.一一一一部解：0—arccos.6

【巩固提高】1.已知a=1,b=拒，且a一b与a垂直，则a与b的夹角是 ( )A.60° B.30°C.135° D.45°-► -► —►—►―► ―►—►答案：DVa•(a-b)=a2-a•b=0,「・a•b=1=1•(2cos0,Acos0=^^.y'22-已知a=2,b=1,a与b之间的夹角为普则向量m=a一4b的模为()A.2B.2序-C.6D.12I l' I I ] 答案：B\m\='Jm2=v'a2+16b2-8a・b=¥22+16-8x2x1cos0=：20-16cos0—=2v33TOC\o"1-5"\h\za与b是两个非零向量，(a+b)2=a2+b2是a1b的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案:C展开得:a2+b2+2a•b=a2+b2令arb=0?.. ， 2 „若a=(-4,3),b=(5,6),贝lj3a一4a-b等于( )A.23 B.57 C.63 D.83答案；D原式=3(42+32)-4•(-20+18)=83.已知a=(入,2),b=(-3,5)且a与b的夹角为钝角，则入的取值范围是 ()A.A>!° B.A2纠C.A/ DAW&一3一3一一3 3答案：AVa•b=10-3入，\a\=t4+人2,|bl=^34,・••由cosa=—10_3^—<0得入>^°.34f4+人2 36.已知a=(4,3),向量b是垂直a的单位向量，则b等于A.答案：D设b答案：D设b=(x,y),则必+/=1且4x+3y=0解方程组得《3x=—54y=-M3x=-—5TOC\o"1-5"\h\z7.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为 ()5 5 65 13A.—R.— 一C. D. 5 5 5 13答案：CVa•b=2X(-4)+3X7=13,\a\=J13,\bl=匕65,「・13=t13x65•cos。,

「.l「.lai•cos0二旦—扁

v'65 58.已知向量a与b的夹角为玉，a=2,b=1,则a+b|-|a-b=答案：由已知条件得:a•b=1,故原式=汕+b)2.仙-b)2f(4+1+2)•(4+1-2)=J219.已知a1b,c与a、b的夹角均为60°,且a=1,b=2,卜=3,贝I(a+2b-c)2=--. 一一-答案：由条4件得:c•a=3X1Xcos60°=—,c•b=3X2•cos60°=3.2n原式=a2+4b2+c2+2a•c+4a•b-4b•c=1+16+9+3-12=17.10.已知a=(1,2),b=(1,1),c=b-ka，若c±a，则c=答案:Vc=(1-k,1-2k),A由《・a=0得1・_(1-ki+2(1二2k)=0得k=3nc=答案:511.已知点A(1,0),8(3,1),C(2,0),且a=BC,b=CA，则a与b的夹角为.答案：a=(-1,-1)b=(-1,0)nlal=「2,lbl=1,由a•b=<2cosfi得:(-1)•(-1)+(-1)•0=^2cos0I—ncos0=堂n0=45°.212.在△ABC中,AB=(2,3),AC=(1,k),且^ABC的一个内角为直角，求k的值.解： ①当/A=90°时,因为AB•AC=0,A2X1+3•k=0,「・k=-2.3当/B=90°时,BC=AC-AB=(1-2,k-3)=(-1,k-3)AB•BC=0,A2X(-1)+3X(k-3)=0nk=11.3当/C=90°时,AC•BC=0,A-1+k•(k-3)=0,k2-3k-1=0nk=3±七3.2・.・k的取值为：-2，旦或住3.33 2

13.已知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2)若|c|=2t'5，且c//a，求c的坐标；5若|b|二亍，且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角0.A解：(1解：(1)设c=3,y)，由c//a和IcI=2<5可得:x=—2

y=—4・・・c=(2,4)，或c=(-2,-4)(2) •.•(a+2b)1(2a—b), (a+2b)-(2a—b)=0即2a2+3a-b—2b2=0,2Ia2Ia|2+3a-b—2IbI2=0，所以a•b=—-=—1,=—1,Oe[0,丸]，.・. 0=K.14.平面内给定三个向量：%=(3,2),b=(—1,2),：=(4,1)。回答下列问题:(1)求3a+b—2c； (2)求满足a=mb+〃c的实数m和n；若(a+kc)〃(2b—a)，求实数k；设d=(x,y)满足(a+b)〃(d—c)且Id—cI=1，求d解：(1)依题意，得3a+b—2c=3(3，2)+(-1，2)-2(4，1)=(0，6)(2)Va=mb+nc,m,ngR，「.(3，2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n)—"+4—"+4二3解之得<2m+n=2,98n=9,(3)•「(a(3)•「(a+kc)〃(2b—a)，.*.(3+4k)X2-(-5)(4)Vd—c=(x-4，y-1)，且a+kc=(3+4k，2+k)，2b—a=(-5，2)X(2+k)=0，「.k= ；13__ __ _又・.•(a+b)〃(d—3且Id—ci=1，a+b=(2，4)，[4(x[4(x—4)—2(y—1)=0..{ 解之得((x—4)2+(y—1)2=1,20+V5x= 55+23y=P20-3x= 55—Ky=^~d=(¥d=(¥或d=(世括531.31、_ x.1、项冗一15.已知向量a=(cos；-,si^—-),b=(cos^,—sin二),xe[—^-].2 2 2 2 64(1)求a-bt(2)求函数f(x)=入(")(XeR,人芝0)的最小值.a+b解：(1)cos2x,2co^x-— — <3(2)X>0，最小值为0；X<0,最小值为二^人.6【课后作业一】一、选择题已知向量a=(1,—1),b=(2,x),若a・b=1,则x等于 ( )A.-1 B.-2 C.1 D.1答案D解析a*b—(1，-1),(2,x)—2-x—1x—1.设x,yER，向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,—4)，且a±c,b〃c, Qla+bl等于()A.'BB../而C.2.后D.10答案B解析Va=(x,1),b=(1,y),c=(2，-4)，由a±c得ac—0,即2x-4—0,「.x—2.由b〃c，得1X(-4)-2y—0,「.y—-2..「a—(2,1),b=(1,-2)..'.a+b—(3,-1),「•la+bl—；32+(-1)2—\)10.3.已知向量a=(1,2),b=(2,—3).若向量c满足(c+a)〃b,c±(a+b)，则c等于( )A.(*5*7C.(7答案解析b(—3,—7)A.(*5*7C.(7答案解析D(-7,-7)设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2)，又(c+a)〃b,.「2(y+2)+3(x+1)=0.①7 74.又c±(a+b),..(x,y)-(3,—1)=3x—y=0.②联立①②解得x=—7,y=—3.4.:.a-b=ai・lblcos45°=¥lbl,l2a-b|2=4-4x*ibl+lb|2=10,.\Ibl=3\2.6.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3,BC=10，则疝•AC6.答案一16解析如图所示，ab=am+mb,aC=aM+]Mc=am-]Mb,：.AB・AC=(AM+MB)・(AM-MB)-—*-..—*.- 一二AM2-MB2=lAMl2-lMBl2=9-25=-16.已知a=(2，一1)，b=(兀3)，若a与b的夹角为钝角，则久的取值范围是 答案(一8，—6)U(—6，D3解析由a・bv0，即2久-3<0，解得A<2，由a〃b得：6=-A，即A=-6.因此A<2，且4力-6.三、解答题已知a=(1,2)，b=(—2，n)(n>1)，a与b的夹角是45°.⑴求b；(2)若c与b同向，且a与c—a垂直，求c.解(1)a・b=2n-2，lal=；5，lbl=\；n2+4，2n-2 -.,'2：.cos45°= 二：，：・3n2-16n-12=0，0、押+4.：n=6或n=-3(舍)，:b=(-2,6).(2)由(1)知，a-b=10，lal2=5.lal25 1又c与b同向，故可设c=Ab(A>0)，(c-a)・a=0，..Ab-a-lal2=0，.,A=b^=1Q=2，:.c=|b=(-1,3).9.设两个向量e「e2满足0]l=2，le2l=1，e1、e2的夹角为60°，若向量2宓]+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.解..•e,・e/le」・le」・cos60°=2X1x!=1,,\(2te+7e)(e「+te)12 12 2 1 2 1 2/=2te已知lal=6,0l=3,a-b=—12，则向量a在向量b方向上的投影是（ ）A.—4B.4C.—2D.2答案A解析a・b为向量b的模与向量a已知lal=6,0l=3,a-b=—12，则向量a在向量b方向上的投影是（ ）A.—4B.4C.—2D.2答案A解析a・b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，得a,b=lbllal-cos〈a，b〉，即-12=3lal・cos〈a，b〉，.lal-cos〈a，b〉=-4.，—」一 , , lB4l2+lPBl2在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则 2一PCl2等于 （）由已知得2t2+15t+7<0，解得-7<t<-1.当向量2te1+7e2与向量e1+te2反向时，设2te1+7e2=A(e1+te设2te1+7e2=A(e1+te2)故t的取值范围为（-7，-斗4）U（-斗A.2 BA.2 B.4 C.5 D.10答案D【课后作业二】一、选择题1.在△△&「中，AB=2,AC=3，AB-BC=1,则BC等于 ( )A顼 B^'7 C.2董 D.槌3答案A解析.「AB-BC=1，且AB=2，.・.1=lABllBC|cos(nB)，二lABllBClcosB=-1.在^ABC中，ACl2=ABl2+lBCl2-2lABllBClcosB，即9=4+lBCP-2X(-1)./.lBCl=；'3.解析^PA=CA-CP,・•・I两2二CA2-2CP•CA+&2一一—*—一.—*.」-—一..—*.•.•PB=CB-CP,:.IPBI2=CB2-2CP・CB+CP2.:,IPAI2+IPBI2—————.一.一.一二(CA2+CB2)-2CP•(CA+CB)+2CP2=AB2-2CP•2CD+2CP2._一一——.一又AB2=16CP2,CD=2CP,代入上式整理得P4I2+iPBI2=10ICpI2，故所求值为10.二、填空题设向量a=(1,2m),B=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)LA,则IaI=.答案\'2解析利用向量数量积的坐标运算求解.a+c-(1,2m)+(2,m)=(3,3m).*.*(a+c)^b,•:(a+c)•b-(3,3m)-(m+1,1)-6m+3-0，一1一..m--2.・a-(1,-1),..IaI-2. !) 了、,一<如图，在矩形ABCD中，AB='h，BC=2,点E为BC的中点，点 /。f在边cd上，若疝・AF=g，则AE・BF的值是 . a匕——b答案•也解析方法一坐标法.以A为坐标原点，AB,AD所在直线为x轴)轴建立平面直角坐标系，则A(0,0),B^'2,0),E(•出,1),F(x,2).故Ab-(V2,0),AF-(x,2),AE-(指，1),BF-(x-杈，2),:.Ab-af-(<2,0)・(x,2)—豆x.一—— 一一一 匚一——r~ r r~. r~又AB-AF-.12，:・x-1.：・BF-(1-\'2,2).：・AE.BF-(、J2,1)-(1-\2,2)-®2-2+2-胡2.6.在矩形ABCD中，边AB.AD的长分别为2、1,若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，iBMi且满足，iBMi

iBciiCNi

icDi贝gAM-AN的取值范围是 答案[1,4]解析利用基向量法竟把成，A^^AB,AD表示，再求数量积.如图所示，iBMiiCNi设=iBciiCdi二4(0W4W1)，则BM二人BC,CN=XC