福建省宁德市部分一级达标中学高二下学期期中数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年福建省宁德市部分一级达标中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题,每小题5分，满分60分）1．关于复数，给出下列判断:①3＞3i;②16＞(4i）2;③2+i＞1+i;④|2+3i｜＞｜2+i｜．其中正确的个数为(）A．1 B．2 C．3 D．42．在用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠A和∠B都是锐角”的过程中，应该假设（）A．∠A和∠B都不是锐角 B．∠A和∠B不都是锐角C．∠A和∠B都是钝角 D．∠A和∠B都是直角3．函数f（x）=ex﹣4x的递减区间为(）A．（0,ln4） B．（0，4) C．（﹣∞，ln4） D．（ln4，+∞)4．若直线y=4x是曲线f（x）=x4+a的一条切线，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．cosxdx=dx(a＞1），则a的值为（）A． B．2 C．e D．36．已知函数f′（x）的图象如图所示，其中f′（x)是f(x）的导函数，则f(x）的极值点的个数为(）A．2 B．3 C．4 D．57．下列四个类比中，正确得个数为(）（1)若一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为:若一个奇函数在R上可导,则该函数的导函数为偶函数．（2）若双曲线的焦距是实轴长的2倍,则此双曲线的离心率为2．将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为．（3）若一个等差数列的前3项和为1，则该数列的第2项为．将此结论类比到等比数列的结论为:若一个等比数列的前3项积为1，则该数列的第2项为1．（4）在平面上,若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，将此结论类比到空间中的结论为：在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2,则它们的体积比为1:8．A．1 B．2 C．3 D．48．有下列一列数：，1，1，1，（），，，,,…，按照规律，括号中的数应为（)A． B． C． D．9．一拱桥的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h，宽为b，此抛物线拱的面积为S，若b=3h，则S等于（)A．h2 B．h2 C．h2 D．2h210．已知复数z=x+(x﹣a）i，若对任意实数x∈（1，2），恒有|z｜＞|+i|，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，］ B．(﹣∞,) C．[，+∞） D．（，+∞)11．设数列{an｝的前n项和为Sn，a4=7且4Sn=n（an+an+1），则S10等于（)A．90 B．100 C．110 D．12012．若函数f（x）满足：x3f′(x）+3x2f(x）=ex,f(1）=e，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A．f（1)＜f（3）＜f（5） B．f（1）＜f(5）＜f（3） C．f（3)＜f（1)＜f(5） D．f（3)＜f(5）＜f（1)二、填空题(共4小题，每小题5分,满分20分）13．复数在复平面内对应的点位于第象限．14．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位:℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时,原油温度的瞬时变化率为℃/h．15．已知表示不大于x的最大整数,设函数f（x）=，得到下列结论：结论1：当1＜x＜2时，f(x）=0；结论2：当2＜x＜4时，f（x）=1；结论3：当4＜x＜8时，f(x）=2;照此规律，得到结论10：．16．若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a（a∈R）在上有2个零点,则a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知复数z满足，｜z｜=5．（1)求复数z的虚部；（2）求复数的实部．18．已知函数f（x）=e2x﹣1﹣2x．(1）求f(x）的极值；（2）求函数g(x）=在上的最大值和最小值．19．用数学归纳方法证明：22+42+62+…+（2n)2=n(n+1）（2n+1）(n∈N＊）．20．已知函数f（x）=x3+x．（1）求函数g（x）=f（x）﹣4x的单调区间;（2)求曲线y=f（x)在点(1,f（1))处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积;（3）若函数F(x）=f（x)﹣ax2在（0，3]上递增，求a的取值范围．21．现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D,作DE∥OA、CF∥OB分别交弧AB于点E、F,且BD=AC,现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域．已知OA=1km，∠AOB=,∠EOF=θ（0＜θ＜）．（1)若区域Ⅱ的总面积为,求θ的值；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？22．已知函数f（)=﹣x3+x2﹣m（0＜m＜20)．（1）讨论函数f（x)在区间上的单调性；（2）若曲线y=f（x）仅在两个不同的点A(x1，f（x1）），B（x2，f（x2)）处的切线都经过点（2，lg），其中a≥1，求m的取值范围．

2016-2017学年福建省宁德市部分一级达标中学高二（下）期中数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分)1．关于复数,给出下列判断：①3＞3i；②16＞（4i）2;③2+i＞1+i;④|2+3i|＞｜2+i|．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】A2：复数的基本概念．【分析】①③两个复数如果不完全是实数，则不能比较大小；②利用复数的运算法则即可判断出结论；④利用复数的模的计算公式即可判断出结论．【解答】解：①两个复数如果不完全是实数,则不能比较大小,因此3＞3i不正确；②∵（4i）2=﹣16，因此正确；③道理同①,不正确；④｜2+3i｜==，|2+i|=，因此｜2+3i｜＞|2+i|正确．其中正确的个数为2．故选：B．2．在用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠A和∠B都是锐角”的过程中,应该假设（）A．∠A和∠B都不是锐角 B．∠A和∠B不都是锐角C．∠A和∠B都是钝角 D．∠A和∠B都是直角【考点】R9:反证法与放缩法．【分析】根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设命题的反面成立，求出要证明题的否定,即为所求．【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立,而命题：“∠A和∠B都是锐角”的否定是∠A和∠B不都是锐角，故选：B．3．函数f(x)=ex﹣4x的递减区间为（）A．（0，ln4） B．（0，4） C．（﹣∞，ln4） D．（ln4，+∞)【考点】6B:利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解:f′（x）=ex﹣4，令f′（x）＜0，解得:x＜ln4，故函数在（﹣∞，ln4）递减；故选：C．4．若直线y=4x是曲线f（x）=x4+a的一条切线，则a的值为（)A．1 B．2 C．3 D．4【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，利用切线的斜率,设出切点坐标，列出方程求解即可．【解答】解：设切点坐标为：(m，4m)，∵f′（x)=4x3，∴f′（m）=4m3=4，解得m=1，∴14+a=4,解得a=3．故选：C．5．cosxdx=dx（a＞1)，则a的值为（）A． B．2 C．e D．3【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解:cosxdx=sinx｜=，dx=lnx|=lna,∴lna=，∴a=故选：A6．已知函数f′（x）的图象如图所示，其中f′(x）是f（x）的导函数，则f(x)的极值点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】3O：函数的图象．【分析】根据极值点的定义和f′(x）的图象得出结论．【解答】解：若x0是f（x)的极值点,则f′（x0）=0,且f′（x）在x0两侧异号，由f′（x）的图象可知f′（x）=0共有4解,其中只有两个零点的左右两侧导数值异号,故f（x)有2个极值点．故选A．7．下列四个类比中，正确得个数为（）（1）若一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为:若一个奇函数在R上可导，则该函数的导函数为偶函数．（2）若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2．将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为．（3）若一个等差数列的前3项和为1，则该数列的第2项为．将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前3项积为1,则该数列的第2项为1．(4）在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4,将此结论类比到空间中的结论为：在空间中,若两个正四面体的棱长比为1：2,则它们的体积比为1：8．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据类比推理的一般步骤是:①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(或猜想），判断命题是否正确．【解答】解:对于(1），若一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为:若一个奇函数在R上可导,则该函数的导函数为偶函数，命题正确；对于（2），若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2；将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为，命题正确；对于（3），若一个等差数列的前3项和为1，则该数列的第2项为；将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前3项积为1，则该数列的第2项为1，命题正确；对于（4），在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，将此结论类比到空间中的结论为：在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为1：8,命题正确．综上,正确的命题有4个．故选：D．8．有下列一列数：，1，1,1，（），，，，，…，按照规律，括号中的数应为（）A． B． C． D．【考点】82：数列的函数特性．【分析】由题意可得：分子为连续的奇数，分母为连续的质数，即可得出．【解答】解：，，，,（），，，，,…，由题意可得：分子为连续的奇数，分母为连续的质数，故括号中的数应该为,故选：B9．一拱桥的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h,宽为b，此抛物线拱的面积为S，若b=3h,则S等于(）A．h2 B．h2 C．h2 D．2h2【考点】K8：抛物线的简单性质;69:定积分的简单应用．【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，将点代入抛物线方程，即可求得抛物线方程,根据定积分的几何意义，即可求得S．【解答】解：以抛物线的最高点为坐标原点，以抛物线的拱的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系,设抛物线方程y=ax2，a＜0，由抛物线经过点(,﹣h），代入抛物线方程:﹣h=a（）2，解得：a=﹣，S=h×3h﹣（﹣2ax2dx），=3h2﹣2××x3=2h2,故选D．10．已知复数z=x+(x﹣a)i，若对任意实数x∈（1，2),恒有｜z|＞｜+i|，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，］ B．(﹣∞，) C．［,+∞) D．（,+∞)【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求出复数的模，把|z|＞|+i|，转化为a＜x（1＜x＜2）恒成立，再求出x﹣的范围得答案．【解答】解：∵z=x+（x﹣a）i,且|z|＞｜+i｜恒成立，∴＞，两边平方并整理得：a＜x﹣．∵x∈（1,2）,∴x﹣∈（，)．则a．∴实数a的取值范围为（﹣∞，]．故选：A．11．设数列｛an｝的前n项和为Sn，a4=7且4Sn=n（an+an+1),则S10等于（）A．90 B．100 C．110 D．120【考点】8E：数列的求和．【分析】由题意可得4S3=3（a3+7），4S2=2（a2+a3），4S1=a1+a2，运用数列的递推式可得a1=1，a2=3，a3=5，进而得到an=2n﹣1，,即可得到所求值．【解答】解：由数列｛an｝的前n项和为Sn，a4=7且4Sn=n（an+an+1）,可得4S3=3(a3+7)，4S2=2（a2+a3）,4S1=a1+a2，∴a2=3a1,a3=5a1，从而4×9a1=3（5a1+7），即a1=1,∴a2=3，a3=5，∴4S4=4（a4+a5），∴a5=9，同理得a7=13,a8=15,…,an=2n﹣1，∴，经验证4Sn=n（an+an+1）成立，∴S10=100．故选：B．12．若函数f（x）满足:x3f′（x）+3x2f（x)=ex，f（1）=e，其中f′(x）为f（x）的导函数,则(）A．f（1）＜f（3）＜f（5） B．f（1）＜f(5）＜f（3） C．f（3）＜f（1）＜f（5) D．f（3）＜f(5）＜f（1)【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】首先由已知的等式构造′=0，由题意求出c,得到f（x）的解析式，从而得到答案．【解答】解：由x3f′（x）+3x2f（x)=ex，得到'=0，设x3f（x）﹣ex=c，因为f（1）=e，所以c=0，∴x=0不满足题意，x≠0时,f（x）=，f′（x）=,所以f（3）＜f（5)＜f(1）．故选:D．二、填空题（共4小题,每小题5分，满分20分）13．复数在复平面内对应的点位于第四象限．【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：===1﹣i在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故答案为：四．14．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时,原油的温度(单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为﹣5℃/h．【考点】61：变化的快慢与变化率．【分析】导函数即为原油温度的瞬时变化率，利用导数法可求变化的快慢与变化率．【解答】解:由题意，f′(x）=2x﹣7，当x=1时，f′(1)=2×1﹣7=﹣5，即原油温度的瞬时变化率是﹣5℃/h．故答案为：﹣515．已知表示不大于x的最大整数，设函数f(x）=，得到下列结论：结论1：当1＜x＜2时，f（x)=0;结论2：当2＜x＜4时，f（x）=1；结论3：当4＜x＜8时，f(x)=2；照此规律，得到结论10:当29＜x＜210时,f（x）=9．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据前3个结论，找到规律，即可得出结论．【解答】解：结论1：当1＜x＜2时，即20＜x＜21，f(x）=1﹣1=0;结论2：当2＜x＜4时,即21＜x＜22，f（x)=2﹣1=1；结论3:当4＜x＜8时，即22＜x＜23,f（x）=3﹣1=2，通过规律，不难得到结论10：当29＜x＜210时,f（x)=10﹣1=9，故答案为：当29＜x＜210时，f（x）=9．16．若函数f(x）=x3﹣3x+5﹣a（a∈R）在上有2个零点，则a的取值范围是．【考点】6B:利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数,得到函数的单调区间，从而求出函数的极值以及端点值，根据函数的零点求出a的范围即可．【解答】解：若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a，则f′(x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′(x）＜0，解得：﹣1＜x＜1,故f(x）在（﹣3，﹣1)递增，在（﹣1，1）递减，在（1，）递增，故f(x）极大值=f（﹣1）=7﹣a，f(x）极小值=f（1）=3﹣a,而f（﹣3)=﹣13﹣a，f（）=﹣a，故或，解得：a∈,故答案为：．三、解答题(共6小题，满分70分)17．已知复数z满足,|z｜=5．（1）求复数z的虚部；（2）求复数的实部．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】(1)设复数z=a+bi（a，b∈R），可得=a﹣bi，利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．(2）利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．【解答】解：（1）设复数z=a+bi（a，b∈R）,∴=a﹣bi，∴，∴a=3．∴⇒b=±4,即复数z的虚部为±4．（2）当b=4时，==，其实部为．当b=﹣4时,==,其实部为．18．已知函数f（x）=e2x﹣1﹣2x．(1）求f（x）的极值;（2）求函数g（x)=在上的最大值和最小值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D:利用导数研究函数的极值．【分析】（1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;（2）求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．【解答】解：（1)f′（x）=2e2x﹣1﹣2,令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x)＜0，解得:x＜，故f（x）在（﹣∞，）递减，在（,+∞）递增,故f(x）min=f（）=0,无极大值；(2)g（x）==﹣，g′（x)=，令g′(x）＞0，解得：x＞e，令g′（x）＜0,解得：x＜e,故g（x）在递减，在（e,e2]递增，故g（x）min=g（e)=﹣，∵g(1）=0，g（e2)=﹣，∴g（x）max=0．19．用数学归纳方法证明：22+42+62+…+（2n）2=n（n+1）（2n+1）（n∈N＊）．【考点】RG：数学归纳法．【分析】用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立;（2）假设当n=k时，等式成立，用上归纳假设后,去证明当n=k+1时,等式也成立即可．【解答】证明:①n=1时，左边=4，右边=4,等式成立;②假设n=k时等式成立,即22+42+62+…+（2k）2=k（k+1）（2k+1）那么，当n=k+1时，22+42+62+…+(2k)2+2,=k(k+1)（2k+1）+2，=(k+1）（2k2+k+6k+6），=(k+1)(k+2）（2k+3），=（k+1）,等式成立．由①②可知,等式对任何正整数n都成立．20．已知函数f（x)=x3+x．（1）求函数g(x)=f（x)﹣4x的单调区间;(2）求曲线y=f（x)在点（1,f（1））处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数F（x）=f（x)﹣ax2在（0，3]上递增,求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性;6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，计算f（1）,f′（1）的值，求出切线方程，求出三角形的面积即可；（3）问题转化为2a≤（3x+）min，根据不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解:（1）g（x）=x3﹣3x，g′（x）=3（x+1)（x﹣1）,令g′（x）＞0,解得：x＞1或x＜﹣1，令g′（x）＜0,解得:﹣1＜x＜1，故g(x）在（﹣∞,﹣1）递增,在(﹣1，1）递减,在（1，+∞）递增；（2）f′（x）=3x2+1,f（1）=2，f′（1）=4，故切线方程是：y﹣2=4（x﹣1），即y=4x﹣2，令x=0，解得:y=﹣2，令y=0，解得：x=，故S△=×2×=；（3）由题意得F′（x）=3x2+1﹣2ax≥0在(0，3］恒成立，故2a≤（3x+）min，∵3x+≥2，∴2a≤2，a≤．21．现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB分别交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域．已知OA=1km,∠AOB=，∠EOF=θ（0＜θ＜）．(1）若区域Ⅱ的总面积为，求θ的值;（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元,试问:当θ为多少时，年总收入最大？【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）推导出OD=OC，DE⊥OB,CF⊥OA,从而Rt△ODE≌Rt△OCF，进而∠DOE=∠COF=,由此得到S区域Ⅱ=（0＜θ＜），从而能求出θ．（2）由S区域Ⅰ=，求出S区域Ⅲ=S总﹣S区域Ⅰ﹣S区域Ⅱ=cosθ．记年总收入为y万元，则y=5π+5θ+10cosθ（0＜θ＜），y'=5(1﹣2sinθ），令y’=0，则θ=．由此利用导数性质求出当θ=时,年总收入最大．【解答】解：(1）∵BD=AC,OB=OA，∴OD=OC．∵∠AOB=，DE∥OA，CF∥OB，∴DE⊥OB，CF⊥OA．又∵OE=OF，∴Rt△ODE≌Rt△OCF．∴∠DOE=∠COF=，又OC=OF•cos∠COF∴S△COF=•OC•OF•sin∠COF=cosθ∴S区域Ⅱ=(0＜θ＜）．由，得cosθ=，∵0＜θ＜,∴θ=．(2）∵S区域Ⅰ=，∴S区域Ⅲ=S总﹣S区域Ⅰ﹣S区域Ⅱ=cosθ．记年总收入为y万元，则y=30×cosθ=5π+5θ+10cosθ（0＜θ＜），所以y’=5（1﹣2sinθ），令y’=0，则θ=．当0＜θ＜时,y’＞0；当时，y’＜0．故当θ=时，y有最大值，即年总收入最大．22．已知函数f(）=﹣x3+x2﹣m（0＜m＜20）．（1）讨论函数f（x)在区间上的单调性;（2）若曲线y=f（x）仅在两个不同的点A（x1，f(x1）），B(x2，f（x2））处的切线都经过点(2，lg）,其中a≥1,求m的取值范围．【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求得f（x）=﹣x3+mx2﹣m，求出导数，讨论当≥6即9≤m＜20时，当2＜＜6，即为3＜m＜9时，当≤2,即0＜m≤3时，可得f（x）的单调性；（2）求出f（x）的导数，可得A,B处的切线方程，代入点(2，﹣lga），可得x1，x2为方程﹣lga﹣（﹣x3+mx2﹣m）