2023-2024学年湘教版必修第二册 　数量积的坐标表示及其计算 课件（30张）

1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量积坐标表示计算两个向量的夹角和模，会利用数量积的坐标运算判断向量垂直.课标要求素养要求通过推导数量积的坐标运算、求夹角和模及向量垂直的判断，体会逻辑推理素养及数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝____________________向量垂直a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0x1x2＋y1y22.与向量的模、夹角相关的三个重要公式1.思考辨析，判断正误×(1)向量的模等于向量坐标的平方和.(

)提示向量的模等于向量坐标的平方和的算术平方根.(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.()(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角.(

)提示当θ＝180°时，cosθ＝－1<0，但不是钝角.√×2.已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，则x＝________.

解析由题意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2.23.已知向量a＝(4，－1)，b＝(x，3)，若|a|＝|b|，则x＝________.4.已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，则cos〈a，b〉＝________.解析∵a＝(2，2)，b＝(－8，6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，课堂互动题型剖析2题型一平面向量数量积的坐标运算【例1】

已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(

) A.10 B.－10 C.3 D.－3

解析a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.B进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：①|a|2＝a·a；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.思维升华【训练1】

已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10. (1)求a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c.

解(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2，4). (2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10， ∴a·(b·c)＝0a＝0＝(0，0)， (a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10).【例2】

已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1). (1)求a－2b及其模的大小； (2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|.

解(1)∵a＝(3，5)，b＝(－2，1)， ∴a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(3＋4，5－2)＝(7，3)，题型二求平面向量的模(2)∵a·b＝－6＋5＝－1，∴c＝a＋b＝(1，6)，思维升华C解析∵a＝(2，1)，∴a2＝5，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.题型三解决向量的夹角及垂直问题C解析∵a·b＝－2－8＝－10，∴(c－b)·a＝c·a－b·a∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，求c的坐标.解设c的坐标为(x，y)，则a＋c＝(1＋x，2＋y).∵(a＋c)∥b，∴(1＋x)×3－2×(2＋y)＝0，即3x－2y＝1.①又a＋b＝(3，5)，且(a＋b)⊥c，∴3x＋5y＝0.②思维升华【训练3】

已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c. (1)求b与c； (2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小.

解(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12. ∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3.∴b＝(9，12)，c＝(4，－3).

(2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1).

设m，n的夹角为θ，课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.设向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，则下列结论中正确的是(

) A.|a|＝|b| B.a·b＝0 C.a∥b D.(a－b)⊥b

解析因为a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，

所以(a－b)⊥b.DDB解析

a＝(2，0)，|b|＝1，∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos60°＝1.4.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(

)B又∵a，b的夹角范围为[0，π].5.已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sinA，1)，q＝(1，－cosB)，则p与q的夹角是(

) A.锐角 B.钝角

C.直角 D.不确定

A所以p·q＝sinA－cosB>0，又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角.二、填空题6.已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，则a·(a＋2b)＝________.

解析a＋2b＝(1，5)，a·(a＋2b)＝1×(－1)＋5×1＝4.47.已知平面向量a＝(2，4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)·b，则|c|＝________.解析由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c＝a－(a·b)·b＝a＋6b＝(2，4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，8.设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________