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文档简介

概率统计

第十五讲随机变量的协方差与相关系数

开课系：数学系3.3协方差，相关系数

一.协方差定义与性质

1.协方差定义若r.v.X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称Cov(X,Y)=E{[X

E(X)][Y

E(Y)]}.为X与Y的协方差,

易见Cov(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).当Cov(X,Y)=0时，称X与Y不相关。？“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？例2

设(X,Y)在D={(X,Y)：x2+y2

1}上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。证:X与Y不相关.而故,X与Y不独立.2.协方差性质

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b为常数证:Cov(aX,bY)=E(aXbY)-E(aX)E(bY) =abE(XY)-aE(X)bE(Y) =ab[E(XY)-E(X)E(Y)] =abCov(X,Y)(4)Cov(X+Y，Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);证:Cov(X+Y，Z)=E[(X+Y)Z]-E(X+Y)E(Z) =E(XZ)+E(YZ)-E(X)E(Z)-E(Y)E(Z) =Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)(5)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).证:由方差性质(3)的证明过程有注:D(X-Y)=D[X+(-Y)]=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)方差与协方差的定义期望、方差、协方差的性质对比不相关与独立切比雪夫不等式期望、方差、协方差的性质对比期望方差协方差E(c)=CD(c)=0Cov(c,X)=0E(aX)=aE(X),D(aX)=a2D(X),Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)当X与Y独立时E(XY)=E(X)E(Y)EX:设随机变量XB（12,0.5

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