形形色色的函数模型

形形色色的函数模型1、能根据实际问题情景建立函数模型.(重点、难点）2、能利用所学的数学知识分析、研究身边的问题，培养学生科学地分析问题、探索问题、解决问题的能力.④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．解决应用题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；

拿一张纸，对折7次就有1厘米厚，如果把这张纸对折27次（假设可以做到）之后的高度，是否比珠穆朗玛峰（8848米）高呢？（220=1048756）

解：设纸张的厚度为k米，则k×27＝0.01m∵纸对折27次∴H=k×227=k×27×220=10487.56m∵10487.56m﹥8848m∴这张纸对折27次之后的高度比珠穆朗玛峰要高.实际问题抽象概括数学模型推理演算数学模型的解还原说明实际问题的解数学建模过程：函数模型的应用分析：本题为几个简单的函数模型，正比例函数，一次函数，反比例函数。一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.(1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式,并作出相应的图象.v/(km·h-1)t/h102030405060708090012345解：（1）由已知图象得阴影部分的面积为：50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360由图象表示汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系知图象的面积表示汽车行驶的路程.所以阴影部分的面积表示汽车在5小时内行驶的路程为360km.123452004s/kmt/h(2)分析：本题为指数函数模型，关键是将实际问题转化为函数模型。℃解：由题意知40-24=（88-24）·1/220/h

某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元日均销售量/桶6789101112480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元，则有日均销售量为只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200当x=6.5时，y有最大值分析：本题为信息题目，应理解题意将本题转化为二次函数求最值问题，二次函数问题为考试中的热点。二次函数写为顶点式是求最值的重要方式.

函数是重要的数学模型，不同的函数模型能够刻画现实世界中不同的变化规律，对于不同的实际问题需要选择适当的函数模型来描述；对于函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题，另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，对此发展趋势进行预测，因此，应切实掌握建立函数模型，解决实际问题的基本过程。提升总结：

1、一家报刊摊主从报社买进晚报的价格是每份0.20元,卖出的价格是每份0.30元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社.已知在一个月(以30天计算)里,有20天每天可卖出400份,其余10天每天只卖出250份,但每天从报社买进的份数必须相同.问该摊主每天从报社买进多少份,才能使每月获得的利润最大?并计算该摊主一个月最多可赚得多少元？解:

设每天从报社买进

x

份(250≤x≤400),则每月共销售

(20x+10

250)

份,又卖出的报纸每份获利0.10元,退回的每份亏损0.12元,退回报社10(x-250)份,依题意,每月获得的利润f(x)=0.10(20x+10

250)-0.1210(x-250)=0.8x+550.∵f(x)在[250,400]上是增函数,∴当x=400时,f(x)取得最大值,最大值为870.答:

该摊主每天从报社买进400份时,才能使每月获得的利润最大,

一个月最多可赚870元.

2、某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出;当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每月每辆车的租金定为3600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大收益是多少?解:(1)当每辆车的月租金定为

3600

元时,未租出的车辆数为:(3600-3000)

50=12,(2)设每辆车的月租金定为

x(x=50k,k

N*)

元,则租赁公司的月收益∴这时租出了

88

辆车.50f(x)=(100-)(x-150)-

×50x-3000x-300050=-

+162x-21000

x2

50=-

(x-4050)2+307050.

1

50∴当

x=4050

时,f(x)

取最大值

307050.

即当每辆车的月租金定为

4050

元

时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是

307050

元.3、以v0m/s的速度竖直向上运动的物体，ts后的高度hm满足h=v0t-4.9t2,速度vm/s满足v=v0-9.8t.现以75m/s的速度向上发射一发子弹，问子弹保持在100m以上的高度有多少秒?在此过程中，子弹速度大小的范围是多少？解：由题意得，75t-4.9t2=100,解得，t11.480,t213.827.所以，子弹保持在100m以上的时间t=t2-t112.35,子弹最大速度v1=v0-9.8t1=75-9.81.480=60.496m/s.答：子弹保持在100米以上高度的时间是12.35秒，在此过程中,子弹速度大小范围是v[0，60.496）.∈4、（2012·济宁高一检测）A、B两城相距100km，某天燃气公司计划在两地之间建一天然气站D给A、B两城供气.已知D地距A城xkm,为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10km.已知建设费用y（万元）与A、B两地的供气距离（km）的平方和成正比，当天燃气站D距A城的距离为40km时，建设费用为1300万元.（供气距离指天燃气站到供气城市的距离）（1）把建设费用y（万元）表示成供气距离x(km)的函数，并求定义域；（2）天燃气供气站建在距A城多远，才能使建设供气费用最小，最小费用是多少？解：（1）设比例系数为k,则y=k[x2+(100-x)2](10≤x≤90).又x=40,y=1300,所以1300=k（402+602），即所以(10≤x≤90).（2）由于所以当x=50时，y有最小值为1250万元.所以当供气站建在距A城50km时，最小费用为1250万元.5、一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后以孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？

解：设两家旅行社的原价为a（a＞0），家