福建省泉州市南安一中高一下学期第一次段考数学试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年福建省泉州市南安一中高一（下）第一次段考数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题只有1项符合题目要求。1．圆x2+y2+2x﹣4y﹣11=0的圆心和半径分别是（）A．（﹣1,﹣2）,16 B．(﹣1，2）,16 C．(﹣1，﹣2），4 D．（﹣1,2)，42．cos的值是（）A．﹣ B．﹣ C． D．3．圆（x+1）2+（y﹣4）2=1关于直线y=x对称的圆是（)A．（x﹣1）2+（y+4)2=1 B．（x﹣4)2+（y+1）2=1 C．(x+4)2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣1）2+（y﹣4）2=14．若角α的始边是x轴正半轴，终边过点P（4，﹣3），则cosα的值是（）A．4 B．﹣3 C． D．﹣5．计算的结果为(）A．1 B．2 C．4 D．86．过点(0，﹣2）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．7．若函数与的对称轴完全相同，则函数在［0，π］上的一个递增区间是（）A． B． C． D．8．直线l：y﹣1=k（x﹣1)和圆x2+y2﹣2x=0的位置关系是(）A．相离 B．相切或相交 C．相交 D．相切9．已知α是三角形的内角,且sinα+cosα=﹣，则tanα的值为（）A． B． C． D．或10．关于函数有下列命题,其中正确的是（)①y=f（x）的表达式可改写为；②y=f（x）的图象关于点对称；③y=f（x)是以2π为最小正周期的周期函数；④y=f（x）的图象关于直线对称．A．①② B．③④ C．②③ D．①④11．已知ab≠0，点M（a，b）是圆x2+y2=r2内一点，直线m是以点M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是ax+by=r2，则下列结论正确的是（)A．m∥l，且l与圆相交 B．l⊥m，且l与圆相切C．m∥l,且l与圆相离 D．l⊥m，且l与圆相离12．若函数f(x)=2sin（2x+）+a﹣1（a∈R）在区间[0,］上有两个零点x1,x2（x1≠x2），则x1+x2﹣a的取值范围是(）A．（﹣1，+1) B．[，+1) C．（﹣1,+1） D．[，+1）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数，则=．14．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°,(O为坐标原点），则r=．15．若函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为．16．点P是直线kx+y+3=0(k＞0）上一动点，PA,PB是圆C:x2﹣2x+y2=0的两条切线,A，B为切点．若四边形PACB的最小面积为2，则实数k的值是．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．已知tan（π﹣α）=﹣3，(1）求tanα的值．(2）求的值．18．已知两点A（﹣1，5），B（3，7）,圆C以线段AB为直径．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：x+y﹣4=0与圆C相交于M，N两点，求弦MN的长．19．已知函数f（x）=2sin(ωx+ϕ），ω＞0，0≤ϕ≤π是R上的偶函数,且最小正周期为π（1)求f(x）的解析式；（2）用“五点法”作出函数f（x)的一个周期内的图象；（3）求g（x）=f(x+）的对称轴及单调递增区间．20．函数图象的一个最高点值为，且相邻两条对称轴之间的距离为（Ⅰ)求函数f（x）的解析式；(Ⅱ）设α∈(0，π），则，求α的值．21．已知以点C(t，）（t＞0)为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于点A，与y轴交于点B．（Ⅰ）求证：△AOB的面积为定值．（Ⅱ)设直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M，N,若|OM｜=|ON|,求圆C的方程．（Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB｜+|PQ｜的最小值及此时点P的坐标．22．已知直线l1：y=x﹣1与圆C：（x+a）2+y2=a2（a＞0）相交于A、B两点，｜AB｜=2，直线l2∥l1,直线l2与圆C相交于D、E两点．（I）求圆C的标准方程；（Ⅱ）若△CDE为直角三角形，求直线l2的方程;（Ⅲ）记直线l1与x轴的交点为F（如图）,若∠CFD=∠CFE，求直线l2的方程．

2016-2017学年福建省泉州市南安一中高一（下）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题只有1项符合题目要求.1．圆x2+y2+2x﹣4y﹣11=0的圆心和半径分别是（）A．（﹣1，﹣2）,16 B．(﹣1，2），16 C．（﹣1，﹣2），4 D．（﹣1，2），4【考点】J2：圆的一般方程．【分析】将题中的圆化成标准方程得（x+1)2+(y﹣2）2=16，由此即可得到圆心的坐标和半径．【解答】解:将圆x2+y2+2x﹣4y﹣11=0化成标准方程，得(x+1）2+(y﹣2）2=16，∴圆心的坐标是（﹣1，2），半径r=4．故选D．2．cos的值是（)A．﹣ B．﹣ C． D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简求值即可．【解答】解:cos=cos（π）=cos=．故选:D．3．圆（x+1）2+(y﹣4)2=1关于直线y=x对称的圆是（）A．（x﹣1）2+（y+4）2=1 B．(x﹣4)2+（y+1）2=1 C．（x+4）2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣1）2+（y﹣4）2=1【考点】J6：关于点、直线对称的圆的方程．【分析】求出圆心关于直线y=x对称的点的坐标，即可求得结论．【解答】解：由题意，圆(x+1)2+(y﹣4）2=1的圆心坐标为（﹣1，4）,关于直线y=x对称的点的坐标为（4，﹣1）∴圆（x+1)2+（y﹣4）2=1关于直线y=x对称的圆是（x﹣4)2+（y+1）2=1．故选B．4．若角α的始边是x轴正半轴，终边过点P（4，﹣3），则cosα的值是（)A．4 B．﹣3 C． D．﹣【考点】G9:任意角的三角函数的定义．【分析】由题意可得x=4，y=﹣3,可得r=5，由cosα=运算求得结果．【解答】解：由题意可得x=4，y=﹣3，∴r=5，∴cosα==，故选C．5．计算的结果为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】直接利用特殊角的三角函数求值即可．【解答】解：=×1+×（)2﹣+(）2=+﹣+=1．故选：A．6．过点（0,﹣2)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（)A． B． C． D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】根据直线和圆的位置关系即可得到结论．【解答】解：若直线斜率不存在，此时x=0与圆有交点,直线斜率存在,设为k，则过P的直线方程为y=kx﹣2,即kx﹣y﹣2=0，若过点（0,﹣2）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则圆心到直线的距离d≤1,即≤1,即k2﹣3≥0，解得k≤﹣或k≥,即≤α≤且α≠，综上所述，≤α≤,故选：A．7．若函数与的对称轴完全相同,则函数在［0，π］上的一个递增区间是（）A． B． C． D．【考点】H6：正弦函数的对称性．【分析】利用正弦函数的图象的对称性求得ω的值，可得函数f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）在［0，π］上的一个递增区间．【解答】解：∵函数与的对称轴完全相同，∴=，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+)．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+,可得函数f（x）的递增区间是［kπ﹣,kπ+],k∈Z，函数f（x）在［0，π］上的一个递增区间是［0,]，故选：A．8．直线l:y﹣1=k（x﹣1)和圆x2+y2﹣2x=0的位置关系是（)A．相离 B．相切或相交 C．相交 D．相切【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较，大于半径，相离，等于则相切,小于则相交．【解答】解:由题意:圆心为（1,0），半径是1．由直线l:y﹣1=k（x﹣1）知:直线过定点(1，1），那么：圆心到定点的距离为d=1=r，说明定点在圆上;∴过定点的直线必然与圆相切或相交．故选B．9．已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=﹣，则tanα的值为（）A． B． C． D．或【考点】GI:三角函数的化简求值．【分析】根据同角三角函数关系式,求解出sinα，cosα的值，可得tanα的值．【解答】解：α是三角形的内角，即0＜α＜π,由sinα+cosα=﹣，sin2α+cos2α=1，解得:sinα=，cosα=．tanα=．故选C．10．关于函数有下列命题，其中正确的是(）①y=f（x）的表达式可改写为；②y=f（x）的图象关于点对称;③y=f（x)是以2π为最小正周期的周期函数；④y=f（x）的图象关于直线对称．A．①② B．③④ C．②③ D．①④【考点】H5:正弦函数的单调性；H1:三角函数的周期性及其求法．【分析】利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解:对于函数，由于f（x）=4cos［﹣(2x+）]=4cos（2x﹣)，故①正确;当x=﹣时，f(x）=0,故y=f（x)的图象关于点对称，故②正确；由于f（x）的周期为=π,故③错误；当x=时,f(x)=0，故y=f（x）的图象不关于直线对称，故排除④，故选：A．11．已知ab≠0，点M（a，b）是圆x2+y2=r2内一点，直线m是以点M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是ax+by=r2，则下列结论正确的是（）A．m∥l，且l与圆相交 B．l⊥m，且l与圆相切C．m∥l，且l与圆相离 D．l⊥m，且l与圆相离【考点】J9:直线与圆的位置关系．【分析】求圆心到直线的距离，然后与a2+b2＜r2比较,可以判断直线与圆的位置关系,易得两直线的关系．【解答】解：以点M为中点的弦所在的直线的斜率是,直线m∥l,点M(a,b）是圆x2+y2=r2内一点，所以a2+b2＜r2,圆心到ax+by=r2，距离是＞r，故相离．故选C．12．若函数f（x)=2sin（2x+）+a﹣1（a∈R）在区间［0，］上有两个零点x1，x2（x1≠x2），则x1+x2﹣a的取值范围是（）A．（﹣1，+1） B．［,+1） C．（﹣1,+1） D．[,+1）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据函数零点的定义、函数的图象的对称轴方程求得x1+x2=．再根据y=2sin（2x+）的图象和直线y=1﹣a在区间［0，]上有两个交点，正弦函数的定义域和值域求得a的范围,可得x1+x2﹣a的取值范围．【解答】解:函数f（x）=2sin（2x+）+a﹣1的周期为π，令2x+=，求得x=，可得函数在y轴右侧的第一条对称轴方程为x=．由于函数的两个两个零点为x1，x2，∴x1+x2=2×=．由函数f（x）=2sin（2x+)+a﹣1（a∈R)在区间［0,］上有两个零点x1，x2(x1≠x2）,可得y=2sin（2x+)的图象和直线y=1﹣a在区间[0，]上有两个交点．由x∈区间[0,］，可得2x+∈[，］，2sin（2x+）∈［﹣1，2］,∴1≤1﹣a＜2,求得﹣1＜a≤0，故0≤﹣a＜1，∴≤x1+x2﹣a＜+1,故选：B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若函数，则=0．【考点】3T：函数的值．【分析】推导出f（）=tan=﹣tan=﹣1，从而=f（﹣1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数,∴f（）=tan=﹣tan=﹣1，=f(﹣1）=ln1=0．故答案为：0．14．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A,B两点,且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=2．【考点】J8:直线与圆相交的性质．【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r＞0）交于A、B两点,∠AOB=120°,则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点(圆心)到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．【解答】解:若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2,故答案为：2．15．若函数f（x）=x+sinπx﹣3,则的值为﹣8066．【考点】3T：函数的值．【分析】推导出f(x）+f（2﹣x）=x+sinπx﹣3+（2﹣x）+sin［（2﹣x）π］﹣3=﹣4，由此能求出的值．【解答】解：∵函数f（x）=x+sinπx﹣3,∴f（x）+f（2﹣x）=x+sinπx﹣3+（2﹣x）+sin[（2﹣x）π］﹣3=﹣4，∴=﹣4×+1+sinπ﹣3=﹣8066．故答案为：﹣8066．16．点P是直线kx+y+3=0(k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2﹣2x+y2=0的两条切线,A，B为切点．若四边形PACB的最小面积为2，则实数k的值是2．【考点】J7：圆的切线方程．【分析】先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2,转化为△PBC的面积是1,求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值．【解答】解:圆C：x2﹣2x+y2=0的圆心（1，0），半径是r=1，由圆的性质知：S四边形PACB=2S△PBC，∵四边形PACB的最小面积是2，∴S△PBC的最小值=1=rd（d是切线长），∴d最小值=2圆心到直线的距离就是PC的最小值，=∴k=2或k=﹣，∵k＞0，∴k=2．故答案为2．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．已知tan（π﹣α)=﹣3,（1）求tanα的值．（2）求的值．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】（1）利用诱导公式化简所给的式子，可得结果．(2)利用诱导公式、同角三角函数的基本关系,化简所给的式子，可得结果．【解答】解:（1）∵tan(π﹣α）=﹣tanα=﹣3，∴tanα=3．（2）===2•=2•=﹣4．18．已知两点A(﹣1,5)，B（3，7），圆C以线段AB为直径．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：x+y﹣4=0与圆C相交于M，N两点,求弦MN的长．【考点】J9:直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）求出圆心坐标、半径，即可求圆C的方程;(Ⅱ）若直线l：x+y﹣4=0与圆C相交于M，N两点，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求弦MN的长．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得圆心C的坐标为（1，6），﹣﹣﹣﹣﹣直径．半径﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，圆C的方程为（x﹣1）2+(y﹣6）2=5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设圆心C到直线l:x+y﹣4=0的距离为d，则有．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由垂径定理和勾股定理，有．﹣﹣﹣所以，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．已知函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）,ω＞0，0≤ϕ≤π是R上的偶函数，且最小正周期为π（1）求f（x）的解析式；（2）用“五点法”作出函数f（x)的一个周期内的图象；(3）求g（x）=f(x+）的对称轴及单调递增区间．【考点】HI：五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象；H5:正弦函数的单调性．【分析】（1）根据函数f（x)是R上的偶函数得出φ的值，再根据f(x)的最小正周期求出ω的值即可；（2）通过列表、描点、连线，即可画出函数f（x）一个周期内的图象；(3)求出g(x）的解析式，根据余弦函数的图象与性质求出g(x）图象的对称轴与单调增区间即可．【解答】解：（1）函数f(x）=2sin（ωx+φ），ω＞0，0≤φ≤π是R上的偶函数，∴φ=，又f（x）的最小正周期为π，∴T==π,解得ω=2；∴f（x）=2sin(2x+）=2cos2x;（2）列表如下：2x0π2πx0πf(x）20﹣202用“五点法"作出函数f（x）=2cos2x的一个周期内的图象，如图所示;（3)g（x）=f（x+)=2cos（2x+），令2x+=kπ,k∈Z，解得x=﹣，k∈Z；∴函数g（x）图象的对称轴为x=﹣，k∈Z;令﹣π+2kπ≤2x+≤2kπ，k∈Z,解得﹣+kπ≤x≤﹣+kπ，k∈Z；∴函数g(x）的单调递增区间是［﹣+kπ,﹣+kπ]，(k∈Z)．20．函数图象的一个最高点值为，且相邻两条对称轴之间的距离为(Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设α∈（0,π），则，求α的值．【考点】HK:由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式;H2:正弦函数的图象．【分析】(Ⅰ）由正弦函数的最值求得A，函数的周期T=π，根据周期公式求得ω，将代入，根据φ的取值，即可求得φ的值,求得函数f（x)的解析式；（Ⅱ）,代入f（x）的解析式，即可求得α的值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数的最大值为4,∴2+A=4,即A=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵图象相邻两条对称轴之间的距离是，∴=，即函数的周期T=π,即T==π,得ω=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵图象的一个最高点值为，∴得又，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f(x）的解析式为f（x）=2sin（2x﹣)+2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(Ⅱ）f(）=2sin（α﹣）+2=3,即sin（α﹣）=，∵α∈（0，π），∴﹣＜α﹣＜,∴α﹣=，∴α=，α的值．．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知以点C（t,)（t＞0）为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于点A,与y轴交于点B．(Ⅰ）求证：△AOB的面积为定值．(Ⅱ）设直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M,N，若｜OM｜=｜ON｜，求圆C的方程．（Ⅲ)在(Ⅱ）的条件下，设P,Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+｜PQ｜的最小值及此时点P的坐标．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】(Ⅰ）根据圆的方程求出A,B的坐标即可证明△AOB的面积为定值；（Ⅱ)根据直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M，N,结合｜OM｜=｜ON|，建立条件关系即可,求圆C的方程;（Ⅲ）根据直线和圆相交以及点的对称性即可得到结论．【解答】（Ⅰ）证明:由题意可得:圆的方程为:(x﹣t)2+（y﹣）2=t2+，可化为：x2﹣2tx+y2﹣y=0，与坐标轴的交点分别为：A(2t,0），B（0，）．∴S△OAB=||=4，为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(Ⅱ）解:∵|OM｜=｜ON|，∴原点O在线段MN的垂直平分线上，设线段MN的中点为H，则C，H，O三点共线，OC的斜率k=，∴（）×（﹣2)=﹣1，解得t=±2，∵t＞0∴t=2可得圆心C（2，1)∴圆C的方程为：（x﹣2）2+(y﹣1）2=5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）解：由(Ⅱ)可知:圆心C（2，1），半径r=，点B（0,2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2),则|PB|+｜PQ|=｜PB′|+|PQ|≥｜B′Q｜，又点B′到圆上点Q的