九年级春季班第11讲：平行四边形的存在性问题(教案教学设计导学案)

九年级春季班第11讲：平行四边形的存在性问题(教案教学设计导学案)九年级春季班第11讲：平行四边形的存在性问题(教案教学设计导学案)/九年级春季班第11讲：平行四边形的存在性问题(教案教学设计导学案)在几何中，平行四边形的判断方法有以下几条：①两组对边相互平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线相互均分；⑤两组对角相等。在压轴题中，常常与函数（坐标轴）联合在一同，运用到④⑤的状况较少，更多的是从边的平行、相等角度来获得平行四边形．1、知识内容：已知三点后，其实已经固定了一个三角形（平行四边形的一半） ，如图．第四个点 M则有3种取法，过 3个极点作对边的平行线且取相等长度即可（如图中 3个M点）．2、解题思路：（1） 依据题目条件，求出已知 3个点的坐标；2）用一点及其对边两点的关系，求出一个可能点；3）改换极点，求出全部可能的点；（4）依据题目实质状况，考证全部可能点能否知足要求并作答．【例1】如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点 A、B，此抛物线与 x轴的另一个交点为C，抛物线的极点为 D．（1）求此抛物线的分析式；（2）点P为抛物线上的一个动点，求使的点 P的坐标；（3）点M为平面直角坐标系上一点，写出使点 M、A、B、D为平行四边形的点 M的坐标．【答案】看法析．【分析】解：（1）易得，A、B坐标分别为（0,-3）和（3,0），代入抛物线分析式得，b=-2，c=3．∴抛物线分析式为：；（2）∵极点 D为（1，-4），C点为（-1,0），∴．∴．∴P点纵坐标的绝对值为，即P点纵坐标为± 5（抛物线上最小为 -4，负舍）．P点纵坐标为5，代入抛物线分析式，解得：或，P点为（4，5）或（-2，5）；（3）过A、B、D分别作BD、AD、AB的平行线，所得的三个交点即为知足条件的 M的地点，分别为（-2，-7）、（4，-1）、（2，1）．【总结】本题主要考察函数背景下的面积问题及点的存在性， 注意本题中已知三点求第四个点结构平行四边形时，利用平移的方法求解即可．【例2】如图，已知抛物线与 y轴交于点 C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的坐标为(1，0)，tan∠OBC=3．（1）求抛物线的分析式；（2）点E在x轴上，点 P在抛物线上，能否存在以 A、C、E、P为极点且以 AC为一边的平行四边形，若存在，写出点 P的坐标；（3）抛物线的对称轴与 AC交于点Q，说明以Q为圆心，以OQ为半径的圆与直线 BC的关系．【答案】看法析．【分析】解：（1）∵B点坐标为(1，0)，tan∠OBC=3．OC=3，C点坐标为（0，-3）．将B、C两点代入y=ax2+3ax+c，∴抛物线的分析式为；（2）A点坐标为（-4,0），C点为（0，-3），平行四边形以 AC为一边，则它的对边为 EP，两边平行且相等．设E点的坐标为（ e，0）分状况议论，①P在E的右下方，则 P点坐标为（e+4，-3）．将P点代入抛物线方程，能够解得： e=-7．②P在E的左上方，则 P点坐标为（e-4，3）．将P点代入抛物线方程，解得： ，∴P点为（-3，-3）或或；（3）直线AC的分析式为，抛物线得对称轴为，∴Q点坐标为，∴圆Q的半径为．∵QC长度为，QC<OQ，∴圆Q与BC订交．【总结】本题主要考察函数背景下的平行四边形的存在性问题， 此外考察了直线与圆的地点关系，注意利用相应的数目关系去判断．【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线 y=kx+b分别与x轴负半轴交于点 A，与y轴正半轴交于点 B，经过点 A，点B（圆心P在x轴负半轴上），已知AB=10，AP=．1）求点P到直线AB的距离；2）求直线y=kx+b的分析式；3）在上能否存在点Q，使以A、P、B、Q为极点的四边形是菱形？若存在，恳求出点Q的坐标；若不存在，请说明原因．【答案】看法析．【分析】（1）过点P作，垂足为 D，由垂径定理，得 AD=DB=5；在中，由AD=5，AP=，得PD=；（2）由，，得：∽，∴OA=8，OB=6，∴A（，0），B（0，6）易得直线分析式为：；3）在上不存在点Q，使以A、P、B、Q为极点的四边形是菱形．∵PA=PB，，∴以A、P、B、Q为极点的是菱形的极点 Q只好在PD的延伸线上．延伸PD至点Q，使PD=DQ，AD=DB，且得菱形 APBQ，但PQ=2PD=大于半径PA，∴点Q在外，即在上不存在点 Q，使以A、P、B、Q为极点的四边形是菱形．【总结】本题主要考察函数背景下与圆相联合的问题，注意利用圆的有关定理解决相应问题，第（3）问中注意利用菱形性质去判断．1、知识内容：在此类问题中，常常是已知一条边， 而它的对边为动边， 需要利用这组对边平行且相等列出方程，从而解出有关数值．更复杂的有，一组对边的两条边长均为变量，需要分别表示后才可列出方程进行求解．2、解题思路：1）找到或设出必定平行的两条边（一组对边）；2）分别求出这组对边的值或函数表达式；3）列出方程并求解；4）返回题面，考证求得结果．【例4】如图，抛物线与 y轴交于点 A(0，1)，过点A的直线与抛物线交于另一点 B，过点B作BC⊥x轴，垂足为

C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点 P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点 N，设OP的长度为 m．①当点P在线段OC上（不与点 O、C重合）时，试用含 m的代数式表示线段 PM的长度；②联络CM、BN，当m为什么值时，四边形 BCMN为平行四边形？【答案】看法析．【分析】（1）将A、B代入抛物线，可解得抛物线的分析式为．（2）由题目中条件，易得直线 AB的分析式为．①∵P点坐标为（m，0），M点坐标为（m，），∴；②∵BC//MN，∴只要要 MN=BC即能使MNBC为平行四边形．当点P在线段OC上时，又∵，，∴， 解得：或；当点P在线段OC的延伸线上时，，即，解得：（不合题意，舍去），，综上所述，当 m的值为1或2或时，四边形 BCMN为平行四边形．【总结】本题主要考察了二次函数的综合， 在解题时要注意分析式确实定，论的数学思想．

而且注意分类讨【例5】如图，已知抛物线经过 A(0,1)、B(4,3)两点．1）求抛物线的分析式；2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为 C，在对称轴的左边且平行于 y轴的直线交线段于点N，交抛物线于点 M，若四边形 MNCB为平行四边形，求点 M的坐标．【答案】看法析．

AB【分析】解：（1）将A、B两点代入抛物线，可得抛物线分析式为；（2）过A作AH⊥BO于H，可得．又∵，∴．又∵，∴．∴；（3）∵BC//y轴，MN//y轴，∴BC//MN．要使MNCB为平行四边形，只要要 BC=MN即可．直线AB的分析式为．设N点为（n,），则M点为（n，），又∵BC=3，∴．解得：或（与 M在对称轴左边矛盾，舍） ．∴M点坐标为（1，）．【总结】本题主要考察了二次函数的综合， 注意锐角三角比的运用及平行四边形的存在性的议论．【例6】如图，在中，∠ C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边 AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点 Q从点C开始沿边 CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点 P作PD//BC，交AB于点D，联络PQ．点P、Q分别从点 A、C同时出发，当此中一点抵达端点时， 另一点也随之停止运动， 设运动的时间为 t秒（t0）．1）直接用含t的代数式分别表示：QB=_______，PD=_______；（2）能否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明原因，并研究怎样改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时辰为菱形，求点Q的速度．【答案】看法析．【分析】（1），．（2）不存在．要使PDBQ为菱形，第一它应当是平行四边形，PD=BQ，即．解得：．此时，而．∴此时不为菱形，不存在 t使得PDBQ为菱形．设Q的速度为v时，存在t使得PDBQ为菱形，∴，，．∴，即，解得：，∴，即，解得：．即当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形 PDBQ是菱形．【总结】本题主要考察几何图形背景下的动点问题， 一方面要注意动点的运动轨迹，面要注意对动点的存在性进行议论．

另一方【习题1】已知平面直角坐标系 xOy（如图），一次函数的图像与 y轴交于点 A，点M在正比率函数的图像上，且 MO=MA．二次函数的图像经过点 A、M．（1）求线段 AM的长；（2）求这个二次函数的分析式；（3）假如点 B在y轴上，且位于点 A下方，点 C在上述二次函数的图像上，点 D在一次函数的图像上，且四边形 ABCD是菱形，求点 C的坐标．【答案】看法析．【分析】（1）M点应在OA的垂直均分线上，点坐标为（0，3），∴M在直线上，又点M在正比率函数的图像上，∴M点为，∴AM的长为；2）将A、M分别代入二次函数分析式，解得分析式为：；（3）依据四边形 ABCD四个极点的次序可知， D点在A点右上方，C在右下方，且CD//AB（即平行于 y轴），∴设D点为，则C点为．∵ABCD为菱形，∴CD=AD．∴，解得：（舍）或．∴C点坐标为（2，2）．【总结】本题主要考察二次函数的图像与性质以及菱形的存在性， 注意利用性质确立点的坐标．【习题

2】

在平面直角坐标系

xOy

中，经过点

A（，0）的抛物线与

y轴交于点

C，点

B与点

A、点

D

与点

C分别对于该抛物线的对称轴对称

.1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；2）假如点E是抛物线上的一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F在E的右侧，过点

E作

EG⊥AD

于点

G，设

E的横坐标为

m，的周长为

l，试用m表示

l；（3）点

M是该抛物线的极点，点

P是

y轴上一点，

Q是坐标平面内一点，假如以

A、M、P、Q为极点的四边形是矩形，求该矩形的极点

Q的坐标．【答案】看法析．【分析】（1）由，∴，对称轴直线 x=1；∴C（0，3），D（2，3），A（，0），∴直线AD分析式为：y=x+1，与x轴正方向的夹角为（2）∵E（m，），F（，），∴EF=

45°；∵为等腰直角三角形，，∴．（3）A（，0），M（1，4），设AM的中点为 N，则N（0，2）○1当AM为对角线时，∵，∴，∴，Q在y轴上，∴（0，），（0，）；○2当AM为边时，，，∴，（0，）∴≌，∴（，）同理（2，）【总结】本题综合性较强，解题时要运用几何图形的有关性质， 而且注意对方法的概括总结．【作业1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在线段AB上，且．1）求点C的坐标（用含有m的代数式表示）；2）将沿x轴翻折，当点C的对应点C′恰巧落在抛物线上时，求该抛物线的表达式；（3）设点M为（2）中所求抛物线上一点，当以 A、O、C、M为极点的四边形为平行四边形时，请直接写出全部知足条件的点 M的坐标．【答案】看法析．【分析】解：（1）将x=0代入直线分析式，可得 B点为（0,-4m）．将y=0代入后，可得 A点为（6,0）．过C作CD⊥OB于D，作CE⊥OA于E．∵，∴BC=AC．易证，．∴，．∴C点坐标为（3，-2m）；2）由题意，C'点为（3,2m）．∴将C'点代入，解得：．∴抛物线的分析