2023学年完整公开课版角的平分线

16.3角的平分线学习目标：会用尺规作角的平分线。通过操作、实验等方式，掌握角平分线的性质定理和判定定理。能运用角的平分线定理解决简单的几何问题。复习：角平分线的定义：如图所示，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角平分线。OBACOBAC∠AOC=∠BOC=∠AOB/2∠AOB=2∠AOC=2∠BOC由角平分线得到的结论探究1：如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点上，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，则AE就是∠BAD的平分线。你能说出它的道理吗？D····CBAE在△ADC和△ABC中，AD=ABDC=BCAC=AC∴△ADC≌△ABC∴∠DAE=∠DAE（SSS）观察思考：可见，以上作图中因为保证了两个条件：(1)AB＝AD(2)DC＝BC所以作出来的射线OC是∠BAD的平分线！我们能否依据这个原理设计出一个作∠AOB角平分线的方法呢？ABOEDC尺规作图已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.作法:用尺规作角的平分线.1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.3.作射线OC.请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.老师提示:作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要准确掌握.ABOC则射线OC就是∠AOB的平分线.ED探究2：角平分线有什么性质呢？作∠AOB的平分线OC，点P是射线OC上的任意一点.

1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：____________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDE角的平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等AOBPED证明结论：CAOBEDPC∵OC平分∠AOB,∴

∠AOC＝∠BOC∵

PD⊥OA，PE⊥OB证明：∴

∠PDO=∠PEO=90°在△POD和△POE中

∴△PDO≌△PEO（AAS）

∠PDO＝∠PEO∠AOC＝∠BOCOP=OP∴

PD＝PE已知：如图所示，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.你能用三角形全等证明这个性质吗？

到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上。角平分线的判定定理AOBPDEC用符号语言表示为：∵PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB∴∠AOC=∠BOC.1.填空：(1).∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(___________________________________________)(2).∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE∴__________(___________________________________________)ACDEB12∠1=∠2DC=DE到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。角平分线上的点到角的两边的距离相等基础练习：图1图2B（1）下列两图中，能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是（）图12.选择题：基础练习：（2）下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是（）图1图1图2基础练习：（1）∵如图，AD平分∠BAC（已知）

∴

=

，()角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BDCD基础练习：3.判断：（）×（2）∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BDCD（×）基础练习：4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，BC=8，BD=5，求DE。ABCDE12证明：∵∠C=90°（已知）∴DC⊥AC（垂直的定义）又∵AD是∠CAB的角平分线，

DE⊥AB（已知）∴CD=DE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）又∵BC=8，BD=5∴CD=BC－BD=8－5=3∴DE=3基础练习：5.已知：如图，∠C=∠C′=90°，AC=AC′.求证（1）∠ABC=

∠ABC

′

；（2）BC=BC′.（要求不用三角形全等的判定）CBAC′基础练习：证明：∵∠C=∠C′=90°，AC=AC′

（已知）∴∠ABC=

∠ABC

′

（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上）又∵∠ABC+∠BAC=∠ABC

′+∠BAC′=90°（直角三角形的两锐角互余）∴

∠BAC=∠BAC′（等角的余角相等）又∵∠C=∠C′=90°

（已知）∴BC=BC′（角平分线上的点到角的两边的距离相等）1.已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

求证：（1）点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

（2）AP平分∠A.证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF（等量代换）.即点P到边AB、BC、CA的距离相等∴AP平分∠A（在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）DEFABCPMN提高训练证明：∵AD平分∠CAB，

DE⊥AB，∠C＝90°（已知）∴CD＝DE(角平分线的性质)在Ｒt△FCD和Rt△DBE中

CD=DE（已证）

DF=DB（已知）∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)∴CF=DE（全等三角形对应边相等）