三角形的高中线与角平分线 省赛获奖

§11.1.2三角形的高、中线与角平分线1.垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。相关知识回顾你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?012345678910012345012345画法012345678910012345012345012345678910012345012345三角形的高三角形高的定义：从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边的高。动手：请你画一个锐角△ABC

作BC边上的高AD

作AC边上的高BE

作AB边上的高CF三角形的三条高请你画一个直角三角形，并作出它的三条高请你画一个钝角三角形，并作出它的三条高BACDEF直角三角形的三条高ABC直角边BC边上的高是

;AB直角边AB边上的高是

;CB直角三角形的三条高交于直角顶点.D斜边AC边上的高是

;BD●钝角三角形的三条高ABCDEF(1)

钝角三角形的三条高交于一点吗？钝角三角形的三条高不相交于一点它们所在的直线交于一点吗？钝角三角形的三条高所在直线交于一点O小结:三角形的高注意：1、三角形的高有三条

2、三条高所在直线交于1点（垂心）

3、高是线段∵AD是△ABC的高（已知）∴∠ADC=∠ADB=90

（高的定义）几何概念：BACD相关知识回顾1.线段中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点。做一做动手：请你任意画△ABC

取BC中点D,连接AD

取AB中点F,连接CF

取AC中点E,连接BE三角形的中线中线的定义：在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形这边的中线.问：对于任意一个三角形，中线的交点在哪里呢？ABCD●●三角形的中线ABCD∵AD是△ABC的中线（已知）∴BD=CD=

12BC●●EFO（中线的定义）注意：1三角形的中线有三条

2三条中线交于1点（重心）

3中线是线段相关知识回顾角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。A BC

请你画出任意一个△ABC所有的角平分线。三角形的角平分线ABCD●●︶︶12三角形的角平分线的定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。问：对于任意一个三角形，三角形的角平分线的交点在哪里呢？三角形的角平分线∵AD是△ABC的角平分线（已知）∴∠BAD=∠CAD=１２∠BAC注意：1三角形的角平分线有三条2三条角平分线交于1点（内心）3三角形的角平分线是线段（角平分线定义）ABCD●●︶︶12例1、点D是△ABC的BC边上的一点。∵BD=CD，∴线段AD是△ABC的___∵∠BAD=∠CAD，∴线段AD是△ABC的_____∵∠ADC=90°，∴线段AD是△ABC的___中线角平分线高例题讲解（一）例1、如图，BD=DE=EF=FC。AD是△____的中线，____是△AEC的中线，AE是△____和△_____的中线。

BDEFCA例题讲解（二）ABEAFABCADF2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形B3.在下图中，如果AE=ED=DC，则BE、BD分别是

的中线，图中有没有面积相等的三角形？△ABD、△BCE例3、如图，AD是△ABC的角平分线，AC∥DE,DE交

AB于E，DF∥AB,DF

交AC

于F，图中∠1与∠2有什么关系？为什么？解:相等,理由是:∵AD是△ABC的角平分线(已知)∵∠3=∠4(角平分线定义)∵AC∥DE(已知)∴∠1=∠4(两直线平行,内错角相等)∵DF∥AB(已知)∴∠3=∠2(两直线平行,内错角相等)∴∠1=∠2(等量代换)三角形的重要线段概念图形表示法三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段∵AD是△ABC的BC上的高线.∴AD⊥BC∠ADB=∠ADC=90°.三角形的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段∵

AD是△ABC的BC上的中线.∴

BD=CD=

½BC.

三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线∴∠1=∠2=½∠BAC

小结：如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了。三角形的稳定性拓广探索要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，