直线与平面垂直的判定

直线、平面垂直的判定及其性质

直线与平面垂直的判定1.理解并掌握直线与平面垂直的判定定理.（重点）2.掌握直线与平面垂直的判定定理的应用.（难点）3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题，进一步了解线线垂直与线面垂直之间的转化关系.旗杆与地面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.思考1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系.ABα1.旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直.2.事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的.ABαCBB1C1

直线和平面垂直的定义

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.记作l⊥α.

l平面α的垂线直线l的垂面A垂足直线和平面垂直的画法αP注：画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直。l思考2

若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？不一定如图：BCBCl①“任何”表示所有.②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.③

等价于对任意的直线，都有利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.ABCDABDC思考3(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直？当折痕AD⊥BC且翻折后BD与DC不在一条直线上时,折痕AD与桌面所在平面垂直.ABDCABDCABDCABDCABDCABDCABDCABDCABDCABDCABDCBDCABD,CD都在桌面内，BD∩CD=D，AD⊥CD,AD⊥BD,直线AD所在的直线与桌面垂直mnP

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．直线和平面垂直的判定定理mnP符号表示：“平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少简记为：线线垂直线面垂直定理补充例1如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.直线m，n．证明：在平面内作两条相交分析：在平面内作两条相交直线.因为直线

根据直线与平面垂直的定义知又因为所以又因为是两条相交直线，所以结论：两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这一个平面.若m,n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为()①若m∥n,n⊥α,则m⊥α②若m⊥α,n⊥α,则m∥n③若m⊥α,n∥α,则m⊥n④若n⊥m,m∥α,则n⊥α(A)1(B)2(C)3(D)4解：选C.由线面垂直的性质易知，①②③正确，④不正确.探究：如何求直线与平面所成的角？OPAα斜线斜足线面所成角（锐角∠PAO）射影关键：过斜线上一点作平面的垂线线面所成的角一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角.一条直线在平面内，或与平面平行，它们所成的角是0°的角.A1B1C1D1ABCD例2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.分析:找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影,就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.OVABC.DVA=VC，AB=BC,ABCV-求证:VB⊥AC.中，在三棱锥1.如图，提示：找AC中点D,连接VD,BD中外垂1.(2012·唐山模拟)已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a，在平面α内一定存在一条直线b,使得a与b()(A)平行 (B)相交(C)异面 (D)垂直【解析】选D.当aα或a∥α时，显然存在b⊥a;当a与α斜交时，过a上一点A作AB⊥α于B，设a与α的交点为O，连接OB，在α内过B作BC⊥OB,又∵AB⊥BC,∴BC⊥平面AOB,而a平面AOB，∴a⊥BC,∴存在b，使得a⊥b；当a⊥α时，显然存在b,使b⊥a,综上可知，选项D正确.2.已知：正方体中，AC是面对角线，BD′是与AC异面的体对角线.求证：AC⊥BD′ABDCA′B′C′D′在正方体ABCD-A′B′C′D′中∵

DD′⊥正方形ABCD，DD′⊥AC证明：连接BDABDCA′B′C′D′∵AC、BD为对角线∴AC⊥BD∵DD′∩BD=D∴AC⊥平面D′DB且BD′⊂面D′DB∴AC⊥BD′3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面BB1C1C所成的角；（2）A1C1与面ABC1D1所成的角.45oA1D1C1