中考数学复习：第19节　直角三角形与勾股定理

第19节直角三角形与勾股定理1．(2020·黔东南期末)已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为(BA．2cmB．4cmC．6cmD．8cm2．(2021·乐山)如图，已知直线l1，l2，l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为(C)A．120°B．130°C．140°D．150°eq\o(\s\up7(),\s\do5(第2题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3题图))3．(2021·福建)如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于(DA．2kmB．3kmC．2eq\r(3)kmD．4km4．(2021·自贡)如图，A(8，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为(D)A．(0，5)B．(5，0)C．(6，0)D．(0，6)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5题图))5．(2021·宜宾)一块含有45°的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数是(B)A．30°B．35°C．40°D．45°6．(2021·成都)如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为100．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))7．(2021·盐城)如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，若CD＝2，则AB＝4．8．(2021·扬州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD＝5，BC＝8，则DE＝3．9．(2020·毕节期末)有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？解：如图，设大树高AB为10米，小树的高CD为4米，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝4米，EC＝8米，AE＝AB－EB＝10－4＝6(米)，在Rt△AEC中，AC＝eq\r(AE2＋EC2)＝eq\r(62＋82)＝10(米)，故小鸟至少飞行10米10．(毕节期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm.求BC解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB⊥AD，∴BD＝2AD＝2×4＝8(cm)，∠B＋∠ADB＝90°，∴∠ADB＝60°，∵∠ADB＝∠DAC＋∠C＝60°，∴∠DAC＝30°，∴∠DAC＝∠C，∴DC＝AD＝4cm，∴BC＝BD＋DC＝8＋4＝12(cm)11．(2021·襄阳)我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭(jiā)生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”(丈、尺是长度单位，1丈＝10尺)其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为(C)A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺eq\o(\s\up7(),\s\do5(第11题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第12题图))12．(2021·贵港)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是(B)A．3B．4C．5D．6【点拨】取BC的中点T，连接AT，ET.首先证明∠CEB＝90°，求出AT，ET，根据AE≥AT－ET，可得结论．13．(2021·乐山)在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4.若点P在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠PCB＝30°，则CP的长为2或eq\r(3)或2eq\r(3).【点拨】分∠ABC＝60，∠ABC＝30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．14．(2021·鄂州)如图，四边形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥BD于点D.若BD＝2，CD＝4eq\r(2)，则线段AB的长为2eq\r(26)．【点拨】过点C作CE⊥CD交AD于点E，得∠ACE＝∠BCD，由对顶角的余角相等得∠CAE＝∠CBD，进而利用ASA得△ACE≌△BCD，得出AE＝BD＝2，CE＝CD，进而利用勾股定理求出DE＝8，即AD＝10，最后用勾股定理即可得出结论．15．(遵义期末)如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点．(1)求证：DE＝DF；(2)试猜想△DEF是不是等边三角形？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由．解：(1)∵BE⊥AC，CF⊥AB，点D是BC的中点，∴DF＝eq\f(1,2)BC，DE＝eq\f(1,2)BC，∴DE＝DF(2)△DEF是等边三角形．理由如下：∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°，∵BE⊥AC，CF⊥AB，点D是BC的中点，∴DB＝DF，DC＝DE，∴∠DFB＝∠ABC，∠DEC＝∠ACB，∴∠DFB＋∠DEC＝∠ABC＋∠ACB＝120°，∴∠BDF＋∠CDE＝120°，∴∠EDF＝60°，又DE＝DF，∴△DEF是等边三角形16．(2020·遵义期中)观察，思考与验证：(1)如图①是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(2)如图②所示，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE＝90°；(3)伽菲尔德(1881年任美国第20届总统)利用(1)中的公式和图②证明了勾股定理(发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上)，请你写出验证过程．解：(1)这个公式是完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；理由如下：∵大正方形的边长为a＋b，∴大正方形的面积＝(a＋b)2，又∵大正方形的面积＝两个小正方形的面积＋两个矩形的面积＝a2＋b2＋ab＋ab＝a2＋2ab＋b2，∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；故答案为：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(2)∵△ABC≌△CDE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠ACB＋∠DCE