中考数学复习：专题(五)　函数应用型问题

专题(五)函数应用型问题1．(2021·资阳)我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．(1)求甲、乙两种奖品的单价；(2)根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的eq\f(1,2)，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．解：(1)设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，依题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝40，,2x＋3y＝70，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝10，))答：甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件(2)设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品(60－m)件，设购买两种奖品的总费用为w元，∵购买甲种奖品的件数不少于乙种奖品件数的eq\f(1,2)，∴m≥eq\f(1,2)(60－m)，∴m≥20.依题意，得w＝20m＋10(60－m)＝10m＋600，∵10＞0，∴w随m值的增大而增大，∴当该中学购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最小，最小费用是800元2．(2021·丽水)李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s(千米)与行驶时间t(小时)的关系如图所示(中途休息、加油的时间不计).当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：(1)直接写出工厂离目的地的路程；(2)求s关于t的函数表达式；(3)当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？解：(1)由图象，得t＝0时，s＝880，∴工厂离目的地的路程为880千米(2)设s＝kt＋b(k≠0)，将(0，880)和(4，560)代入s＝kt＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(880＝b，,560＝4k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－80，,b＝880，))∴s关于t的函数表达式：s＝－80t＋880(0≤t≤11)(3)当油箱中剩余油量为10升时，s＝880－(60－10)÷0.1＝380(千米)，∴380＝－80t＋880，解得t＝eq\f(25,4)(小时)，当油箱中剩余油量为0升时，s＝880－60÷0.1＝280(千米)，∴280＝－80t＋880，解得t＝eq\f(15,2)(小时)，∵k＝－80＜0，∴s随t的增大而减小，∴t的取值范围是eq\f(25,4)＜t＜eq\f(15,2)3．(2021·陕西)在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y(m)与时间x(min)之间的关系如图所示．(1)在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1m/min(2)求AB的函数表达式；(3)求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．解：(1)由图象知：“鼠”6min跑了30m，∴“鼠”的速度为：30÷6＝5(m/min)，“猫”5min跑了30m，∴“猫”的速度为：30÷5＝6(m/min)，∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1m/min，故答案为：1(2)设AB的表达式为：y＝kx＋b，∵图象经过点A(7，30)和点B(10，18)，把点A和点B坐标代入函数表达式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30＝7k＋b，,18＝10k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－4，,b＝58，))∴AB的表达式为：y＝－4x＋58(3)令y＝0，则－4x＋58＝0，∴x＝14.5，∵“猫”比“鼠”迟一分钟出发，∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5－1＝13.5(min).答：“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间13.5min4．(2021·遂宁)某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．(1)服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？(2)当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？解：(1)设T恤的销售单价提高x元，由题意列方程得(x＋40－30)(300－10x)＝3360，解得x1＝2或x2＝18，∵要尽可能减少库存，∴x2＝18不合题意，应舍去．∴T恤的销售单价应提高2元，答：T恤的销售单价应提高2元(2)设利润为M元，由题意可得：M＝(x＋40－30)(300－10x)＝－10x2＋200x＋3000＝－10(x－10)2＋4000，∴当x＝10时，M最大值＝4000元，∴销售单价：40＋10＝50(元)，答：当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4000元5．(2021·武汉)在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg.生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，(1)求每盒产品的成本(成本＝原料费＋其他成本)；(2)设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围)；(3)若每盒产品的售价不超过a元(a是大于60的常数，且是整数)，直接写出每天的最大利润．解：(1)设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，根据题意，得eq\f(900,m)－eq\f(900,1.5m)＝100，解得m＝3，∴1.5m＝4.5，∴每盒产品的成本是：4.5×2＋4×3＋9＝30(元)，答：每盒产品的成本为30元(2)根据题意，得w＝(x－30)[500－10(x－60)]＝－10x2＋1400x－33000，∴w关于x的函数解析式为：w＝－10x2＋1400x－33000(3)由(2)知w＝－10x2＋1400x－33000＝－10(x－70)2＋16000，∴当a≥70时，每天最大利润为16000元，当60＜a＜70时，每天的最大利润为(－10a2＋14006．(2021·广西)2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝－eq\f(1,12)x2＋eq\f(7,6)x＋1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝－eq\f(1,8)x2＋bx＋c运动．(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．解：(1)由题意可知抛物线C2：y＝－eq\f(1,8)x2＋bx＋c过点(0，4)和(4，8)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝c，,8＝－\f(1,8)×42＋4b＋c，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\f(3,2)，,c＝4，))∴抛物线C2的函数解析式为：y＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(3,2)x＋4(2)设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得－eq\f(1,8)m2＋eq\f(3,2)m＋4－(－eq\f(1,12)m2＋eq\f(7,6)m＋1)＝1，整理得(m－12)(m＋4)＝0，解得m1＝12，m2＝－4(