我所认识的应力应变关系

我所认识的应力应变关系应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。在力学上由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的关系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的连系。所以平衡方程与几何方程是两类完全相互独立的方程，它们之间还缺乏必要的联系，这种联系即应力和应变之间的关系。有了可变形材料应力和应变之间关系和力学参数及运动学参数即可分析具体的力学问题。由平衡方程和几何方程加上一组反映材料应力和应变之间关系的方程就可求解具体的力学问题。这样的一组方程即所谓的本构方程。讨论应力和应变之间的关系即可变为一定的材料建立合适的本构方程。一.典型应力■应变关系图1-1典型应力-应变曲线1）弹性阶段（OC段）该弹性阶段为初始弹性阶段OC（严格讲应该为CA’），包括：线性弹性分阶段OA段，非线性弹性阶段AB段和初始屈服阶段BC段。该阶段应力和应变满足线性关系，比例常数即弹性模量或杨氏模量，记作：。=E8，即在应力-应变曲线的初始部分（小应变阶段），许多材料都服从全量型胡克定律。2） 塑性阶段（CDEF段）CDE段为强化阶段，在此阶段如图1中所示，应力超过屈服极限，应变超过比例极限后，要使应变再增加，所需的应力必须在超出比例极限后继续增加，这一现象称为应变硬化。CDE段的强化阶段在E点达到应力的最高点，荷载达到最大值，相应的应力值称为材料的强度极限（ultimatestrength），并用ub表示。超过强度极限后应变变大应力却下降，直到最后试件断裂。这一阶段试件截面积的减小不是在整个试件长度范围发生，而是试件的一个局部区域截面积急剧减小。这一现象称为“颈缩”（necking）。此时，由于颈缩现象的出现，在E点以后荷载开始下降，直至在颈缩部位试件断裂破坏。这种应力降低而应变增加的现象称为应变软化（简称为软化）。该阶段应力和应变的关系：。二顿£）。3） 卸载规律如果应力没有超过屈服应力，即在弹性阶段OC上卸载，应力和应变遵循原来的加载规律，沿CBO卸载。在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任一点D处卸载，应力与应变之间将不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于OA的直线DO'变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。如果用OD'表示总应变切。'D'表示可以恢复的弹性应变弭OO'表示不能恢复的塑性应变m则有8=8e+£P （1-1）即总应变等于弹性应变加上塑性应变。该阶段应力和应变的关系满足Aa=E安。4） 卸载后重新加载DO'段若在卸载后重新加载，则。一£曲线基本上仍沿直线O'D变化，直全应力超过D点的应力之后，才会产生新的塑性变形。由此看来，在经过前次塑性变形后，屈服应力提高了，这种现象称为应变强化（简称为硬化）现象。为了与初始屈服相区别，我们把继续发生新的塑性变形时材料的再度屈服称为后继

屈服，相应的屈服点D称为后继屈服点，相应的应力称为后继屈服应力，并。S，用表示。显然，由于硬化作用，。S,>。S，而且与。S不同，。s/不是材料常数，它的大小与塑性变形的大小和历史有关。5)卸载全部载荷后反向加载如果在完全卸载后施加相反方向的荷载，譬如由拉伸改为压缩，则o—e曲线上弹性阶段OC段沿曲线OA，变化，有G) )。DO,。，段沿DO'的延长线下降，开始是呈直线关系，但到达D〃点后又开始进入屈服，此时C'^>C')，即出现反方向的屈服应力降低的现象，这种现象称为BauschingerS+ S—效应。这个效应说明材料在某一个方向的硬化将引起反方向的软化。这样，即使是初始各向同性的材料，在出现塑性变形之后，就变为各向异性。虽然在多数情况下为了简化而忽略Bauschinger效应，但对有反复加载和卸载的情形，必须予以考虑。二.线性弹性体线性弹性体本构方程的一般形式在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系很简单，即bx=EE疽即胡克定律。如果在三维应力状态下，应力应变之间仍然满足类似的一一对应的关系，则称这类弹性体为线弹性体。对线弹性体，把单向应力状态下得胡克定律推广到三维应力状态下。其一般形式为：b=Ce+Ce+Ce+Cy+Cy+Cyx11x12y13z14xy15yz16zxTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"b =C e +C e +C e +C y +C y +C yy 21 x 22 y 23 z 24 xy 25 yz 26 zxb =C e +C e +C e +C y +C y +C yz 31 x 32 y 33 z 34 xy 35 yz 36 zxt =c e +c e +c e +c y +C y +C yxy 41 x 42 y 43 z 44 xy 45 yz 46 zxt =C e +C e +C e +C y +C y +C yyz 51 x 52 y 53 z 54 xy 55 yz 56 zx(2-1)(2-2)t=Ce+Ce+Ce+Cy+(2-1)(2-2)zx61x62y63z64xy65yz6zx式(2-1)可简写为ij Cijkiki由于应力张量和应变张量的对称性，弹性张量具有对称性：C闽=C网、Ck=Cjiki，从弹性应变能密度函数的概念出发，可以证明上述36个常数中，实际上独立的弹性常数只有21个，即C闽="。满足广义胡克定律的线弹性体称为各向异性弹性体，各向异性弹性体是线弹性体的最一般情况。各向同性弹性体的本构方程各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足：b=C£+C£+C£尤11尤12y13zb=C£+C£+C£y21x22y23zTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"b=C£+C£+C£ （2-3）z31x32y33z£对b的影响与£对b以及£对b的影响是相同的，即有C=C=C；£xx yyzz 11 22 33y和£对b的影响相同，即C=C，同理有C=C和C=C等，则可统一写为：zx 12 13 21 23 31 32C=C=C=aC=C=C=C=C=C=b （2-4）所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。弹性应变能密度函数弹性体受外力作用后，不可避免地要产生变形，同时外力的势能也要产生变化。根据热力学的观点，外力所做的功，一部分将转化为弹性体的动能，一部分将转化为内能；同时，在物体变形过程中，它的温度也将发生变化，或者从外界吸收热量，或者向外界发散热量。分析弹性体内任一有限部分E的外力功和内能的变化关系，设弹性体内取出部分£的闭合表面为S，它所包围的体积为V。以SW表示外力由于微小位移增量在取出部分£上所作的功，SU表示在该微小变形过程中取出部分£的内能增量，SK表示动能增量，SQ表示热量的变化（表示为功的单位），根据热力学第一定律，则有

6W=0K+6U-6Q (2-5)假设弹性体的变形过程是绝热的，即假设在变形过程中系统没有热量的得失。再假设弹性体在外力作用下的变形过程是一个缓慢的过程，在这个过程中，荷载施加得足够慢，弹性体随时处于平衡状态，而且动能变化可以忽略不计(这样的加载过程称为准静态加载过程)，则根据上式表示的热力学第一定律，外力在变形过程中所做的功将全部转化为内能储存在弹性体内部。这种贮存在弹性体内部的能量是因变形而获得的，称之为弹性变形能或弹性应变能。由于弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程，所以，卸载后，弹性应变能将全部释放出来。以X，y，z表示单位体积的外力，X，r，Z表示作用在弹性体内取出部分£表面上单位面积的内力。对上述的准静态加载过程，认为弹性体在外力作用下始终处于平衡状态。外力所做的功W包含两个部分：一部分是体力X，Y，Z所做的功W1；另一部分是面力X，r，Z所做的功W2，它们分别为吗顼jXudV=jjj(Xu+Yv+Zw)dV (2-6)TOC\o"1-5"\h\zV Vff-一ff---一 、W^UXudS=明(Xu+Yv+Zw)dS (2-7)S S则：(2-8)(2-9)W=W+吃=BI(Xu+Yv+Zw)dV+皿(Xu+Yv(2-8)(2-9)V外力由于微小位移增量在取出部分£上所做的功5W表示为:8W=5W+5W=jjjX5udV+UjX5udS1 2VS将平衡微分方程和静力边界条件代入上式，利用散度定理可得:

8W=jjj(-b5u)dV+皿(c8u)ldSTOC\o"1-5"\h\zii，ji iijV S(2-10)项(-c8u)dV+皿(c5u),dV顼(2-10)i,ii iij ii,iV S V因为c因为c8e_1——c8(uc •- ••2 i i，j所以内能增量8U为:所以内能增量8U为:8U—8W-jjjc8udV-jjjc8£dV

iji,j ijijVV(2-11)定义函数U0(8.)，使之满足((2-12)把它代入(2-11)有:8U-jjjc88dV-jjj^oSEdV-jj』8UdV=8』jjUdV (2-13)ijij 88 ij 0 0V Vij V VU0(8.)表示单位体积的弹性应变能，称之为弹性应变能密度函数(或弹性应变比能函)，简称应变能。对(2-12)取积分，得jU0(8j)dU=j%cd8—U(8)-U(0) (2-14)0 0 0ijij0ij0假如U0(8.)的具体函数形式能够确定的话，弹性体的应力与应变之间的关系也就完全确定了。这可表明，弹性应变能密度函数是弹性材料本构关系的另一种表达形式。假设U0(8i.)对8.有二阶以上的连续偏导数，有式(2-12)可得

(2-15)(2-15)—j=—k-klij式（2-15）为广义格林公式。(2-16)将式（2-2(2-16)W-Ckiij*-Cjki

kl ij即各向异性弹性体独立的弹性常数只有21个。三.屈服条件研究材料的塑性特性时，首先要弄清楚材料什么时候进入塑性变形阶段，即什么时候达到屈服。固体在载荷作用下，最初处于弹性状态，随着载荷逐步增加至一定程度使固体内应力较大的部位出现塑性变形，固体由初始弹性状态进入塑性状态的过程就是初始屈服。需要找到确定材料初始弹性状态的界限的准则，这个准则就称为初始屈服条件，简称屈服条件。1.屈服函数与屈服曲面在简单应力状态下，如前面所述的应力应变关系曲线可知，当固体内部应力达到初始屈服极限时将产生初始屈服。在复杂应力状态下，一般屈服条件可以表示为应力分量、应变分量、时间t和温度T的函数，它可写成：f（七，七,t,T）=0 （3-1）不考虑时间效应和接近常温的情况下，时间t和温度T对塑性状态没什么影响，在初始屈服之前，应力和应变之间具有一一对应关系，所以应变分量匕可以用应力分量。表示，因此屈服条件就仅仅是应力分量的函数了，它可表示为:ijf&）=0 （3-2）ij以应力张量的六个分量为坐标轴，就建立起一个六维应力空间，屈服函数f9）=0表示应力空间中的一个曲面，即屈服曲面（简称屈服面）。当应力点aij ij位于该曲面之内时（即f（aj<0），材料处于弹性状态；当应力点位于此曲面上时（即f（a..）=0），材料由初始弹性开始屈服；如果应力进一步增加，材料进入塑性状态。假设：1） 材料是初始各向同性的。屈服函数与坐标的选取无关，它可写成应力张量不变量的函数TOC\o"1-5"\h\zf（I1，12,13）=0 （3-3）或写成主应力的函数f9*2,a3）=0 （3-4）2） 平均应力（静水应力）不影响塑性状态。屈服函数只应与应力偏量的不变量有关，即f（J2,J3）=0 （3-5）或者写成只是应力偏量主值的函数f（S],S2,S3）=0 （3-6）这个假设对金属材料成立，但对于一些非金属材料，如混凝土、岩石等则不成立。通过第一个假设，屈服面由六维空间中的一个超曲面简化为三维主应力空间中的一个曲面；通过第二个假设，屈服面简化为一条曲线。在主应力空间中，固体一点的应力状态可以用一个矢量0P来描述（图3-5）,矢量0P可写为：TOC\o"1-5"\h\zOP=gi+bj+gk （3-7）分解成为偏量部分与球量部分有：OP=Si+Sj+Sk+（bi+bj+bk）=OQ+ON （3-8）12 3 mmm有上述第二个假定，ON与材料的塑性状态无关。从几何上看ON与气，”203轴的夹角相等，且正交于过原点的一个平面，这个平面的方程为：b+b+b=0 （3-9）这个平面平均应力等于0，习惯称之为丸平面。根据第二个假定，在主应力空间中，屈服面必定是一个垂直与兀平面的等截面的柱面，它的母线与矢量ON平行。屈服面是一个等截面的柱面，它在任意垂直与ON的平面上的投影曲线都是一样的，研究这个柱面的特征，只要研究它在丸平面上的投影曲线即可，这条投影曲线称为屈服曲线。图3.5主应力空间里的屈服面图图3.5主应力空间里的屈服面图3.6刀平面上的屈服曲线W弋厂\侦建林服曲线2.常用屈服条件（1）Tresca屈服条件1864年，法国人Tresca做了一系列的金属挤压试验来研究屈服条件。根据实验，他提出假设：当最大剪应力达到某一极限值时，材料发生屈服。这个条件称为Tresca屈服条件，也称为最大剪应力条件。t=k （3-10）k是和屈服有关的材料常数，可由单向拉伸实验或纯剪切实验确定。（2）Mises屈服条件Tresca屈服条件在兀平面上的几何图形是一个正六边形，它的六个顶点是由试验得到的，但是连接这六个点得直线却是假设的，而且Tresca正六边形的角点也给问题的数学处理带来了不便。在1913年，Mises提出采用一个圆来连接Tresca正六边形的六个顶点可能更加合理，它可以避免由于屈服曲线不光滑而造成的数学困难。Mises提出的屈服条件为：J2=C （3-11）其中，C也是和材料性质有关的一个常数。它可通过实验确定。若做简单拉伸实1验，则材料屈服时有。='Q=。=0,J=3（2=C，所以：1 / 、C=—（2 （3-12）3s若做纯剪实验，则材料屈服时有气=92=Tsq3=0，J2=T2=C，所以C=T2 （3-13）s对大多数材料，实验证明Mises屈服条件比Tresca屈服条件更接近实验结果。四.加载条件加载和卸载准则1.理想塑性材料加载和卸载

由于理想塑性材料的加载面和屈服面总是保持一致，所以，加载函数和屈服函数可以统一表示为艺并旷或/（%）二。它们均与塑性变形的大小和加载历史无关。于是，在荷载改变的过程中，如果应力点保持在屈服面上，即df=0，此时塑性变形可以任意增长，就称为加载。当应力点从屈服面上退回屈服面内，即df<0，就表示变形状态从塑性变为弹性，此时不产生新的塑性变形，称为卸载。理想塑性材料的上述加载和卸载准则，可以用数学形式表示为（弹性状态）.f6）=8宓=+d%）— =*如=0（加载）/（缶）二。序二/（缶+d缶）-7（㈤）二<0（卸载）2.强化材料加载、卸载力>0即da/z力>0即da/z>0（加载）=0姑,找二0（中性变载）<0即d<y-n<0（卸载）五.塑性本构关系各种描述塑性变形规律的理论大致可以分为两大类，即增量理论和全量理论。增量理论建立了塑性状态下塑性应变增量与应力及应力增量之间的关系，属于这类理论的主要有：Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论。全量理论则建立了塑性状态下应力全量与应变全量之间的关系，属于这类理论的主要有：1924年Hencky提出的不考虑弹性变形和材料强化的理论；1938年Nadai提出的考虑有限变形和材料强化，但总变形中仍不计弹性变形的理论；1943年依留申提出的考虑弹性变形和材料强化的理论。1.增量理论两个常用的增量理论：Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论。a.Levy-Mises理论:Levy在1871年提出假设，即应变张量各分量与相应的应力偏量各分量成比例（VonMises在1913年又独立地提出）。数学形式表示为:d8d8x=dXSxd8x=dXtyyxd8=dXSd8=dXtyyyzyzd8=dXSd8=dXtzzzxzx（4-1）式中的比例系数dX取决于质点位置和载荷水平。最后可推得d8=07 3d8d8=isii2bi（4-2（4-2）d8=i23其中dsd8=i23，、一 ，、一 ，、3，， ，、—d8 )2+(d8 —d8 )2 +(d8—d8 )2 +— (dy 2+ dy 2+ dy 2)尤y yz z尤2 尤y yz yz（4-3）适用于理想刚塑性材料，即不考虑弹性变形b.Prandtl-Reuss理论：1924年，Prandtl将Levy-Mises关系式推广应用于塑性平面应变的问题，他

考虑了塑性状态的总应变中的弹性应变部分，认为弹性应变服从广义胡克定律，并假定