状态方程讲解

第十四章状态方程§14-1电路的状态、状态变量及状态方程一、状态和状态变量典型法分析一阶、二阶电路时，求响应除了要懂得电路构造及参数和外加激励之外，还必须懂得电路中电容电压，和电感电流的初始值。有了这些初始值才干拟定积分常数，才干拟定唯一解，即电路在换路后任意时刻的状况。及的初始值称为电路的初始状态。只要懂得了一种已知电路在换路时的初始状态和换路后作用于电路的外加激励。就能够拟定在换路后任何时刻的电路的响应。普通意义上的定义：一种电路在时的状态，是指能完全描述在这一时刻电路性能的最小变量组（的值）。这个变量组中的每一种变量，称为状态变量。完全描述电路性能──如果给定时这组变量的值和时的外加激励，就能完全拟定电路在的任何时刻的任一响应。在电路分析中，这些所谓变量，就是各元件（支路）电流、电压（电荷、磁链）。最小是指这些变量组中每一种变量都是独立的，不可能用其它变量的线性组合来表达。对应的，电路中时刻的其它任何一种电压、电流都能够用状态变量和激励的线性组合来体现。若一种电路中有几个状态变量，这几个状态变量就构成了一种数学上的矢量。（变量组）称为电路的状态矢量。 一种电路能够选出多个不同的状态矢量，但其中最容易选用的是由电容电压、电感电流构成的状态矢量。结合以上定义和讨论能够看出，及确实满足状态变量的基本定义。因此，普通在电路中将各独立电容的，各独立电感的作为一组状态变量，有时也能够将、作为一组状态变量（多用于非线性电路）。例：如图所示，已知某一时刻及的值，选用一组状态变量，并将其它电压、电流表达为状态变量与激励的线性组合。uuR3uR2uR1uCuLiLiciR3iR2iR1R2R3R1Ce(t)L 解：觉得状态变量，记为 二、电路的状态方程和输出方程从有关电路初始值问题的讨论中懂得，如果已知时的状态和输入，就能够拟定电路中任一电流、电压在这一时刻的响应值。也就是说，时每一种可能的电路响应，都能用该时刻的状态变量和输入（激励）来表达。因此，如果我们拟定了状态变量的时间特性（即与时间的函数关系），就能拟定在给定输入下每一种响应的时间特性。──这就是电路的状态变量分析法的思想：先求得状态变量，再求其它响应。用状态变量分析法求解动态电路有两个环节，需要建立与求解两组方程：1.有关状态变量与时间关系的状态方程我们觉得状态变量，建立将各用状态变量与激励体现的方程，其中：。经整顿后，可得一组将或以状态变量和激励表达的方程———电路的状态方程组。其中每一种方程中只含有一种状态变量的一阶微分。对于一种含有n个状态变量，m个激励的电路，状态方程（组）的普通形式为： …… 矩阵形式为： 简写为：其中： ──状态向量（矢量） ——状态变量的一阶微分矢量 ──输入向量（矢量） 、——系数矩阵 状态方程是一种一阶线性微分方程组，求解状态方程便可得到状态变量的时间函数形式。2.有关输出变量（响应）与状态变量及激励之间关系的输出方程：将输出变量以状态变量及激励的线性组合表达即为输出方程。若有k各输出变量，输出方程普通表达为: 其中：——输出向量（矢量） 、——系数矩阵输出方程是一组代数方程，或者说是一组代数体现式。状态变量法是动态电路的一种重要办法。其特点是它阐明了电路的外加激励、状态变量、输出变量之间的关系，即电路运动的外因、内因和成果之间的关系。让我们不仅看到电路的输出变化过程，也清晰地理解到电路内部状况的变化过程，因此也称“内部描述法”。状态变量分析法的优点：1.对于含有多个独立储能元件的较复杂电路，只需建立、求解一组联立的一阶微分方程，比求解高阶微分方程相对容易。并且更适合于多输入、多输出电路的求解。2.状态方程含有原则矩阵形式，便于用计算机编程求解。3.可推广到对非线性网络的分析。§14-2状态方程的建立建立状态方程是状态变量分析法的核心环节，有不少办法。本节介绍其中三种惯用基本办法。一、电容节点──电感回路法（直观法）取、为状态变量，则、能够用、及输入来体现。而，。含有及的一阶微分。具体的体现方式（方程建立）上，可对于建立节点KCL方程，对于建立KVL方程。换句话说，为了建立有关的方程，我们对接有电容的节点建立KCL方程，而为建立有关的方程，对包含电感的回路来建立KVL方程。基本环节：（1）选用电路中各独立电容的电压、各独立电感的电流为电路的状态变量。注意：只有被确认是独立的电容电压或电感电流才干作为状态变量。独立——其中任何一种或都不可能用其它电容电压或电感电流及电流激励的线性组合来表达。如果电路中有下列状况，就会存在非独立的电容与电压：1）与抱负电压源并联的电容为非独立的；2）与抱负电流源串联的电感为非独立的；3）若全部由电容及电压源构成的回路中有n个电容，只有个电容是独立的。4）若全部由电感支路及电流源构成的节点（或割集）上有m个电感，只有个独立电感是独立的。（2）对每个独立电容，选用它所连接的一种结点，建立KCL方程。方程中含有该电容的电流，而。若将此方程中全部非状态变量代换为状态变量和激励，再加以整顿，便可得到一种有关的方程。注意：这个方程中只能含有一种独立电容电压的一阶微分，所觉得避免麻烦，应当选择只接有一种电容的结点建立方程。（3）对每个独立电感，找出一种包含它的回路，建立KVL方程。回路中也应当只含有这一种电感。KVL方程中必然含有，将方程中全部非状态变量都代换为状态变量和激励，经整顿可得到一种有关的方程。最后，联立所得方程，或将其表达为矩阵形式，即得到电路的状态方程。要领：节点应选用只有一种电容的，回路应选只包含一种电感的。uR3uR2uR3uR2uR1uCuLiLiciR3iR2iR1R2R3R1Ce(t)L（1）选、为状态变量 （2）建立节点KCL： （3）建立电感回路KVL 状态方程∴ 输出方程： 例2如图，列出电路的状态方程及输出方程iiLic2ic1iSuc1uRSuLuc2uRLRLC2LC1RSeS①②解：状态变量 三维状态矢量。节点① 节点② ，即 对电感所在网孔列KVL： 整顿，可得： 输出方程： ∴二、电容割集－电感回路法（拓扑法）（观察法）电容割集－电感回路法是电容结点－电感回路法的一种改善办法。如果一种电容的两端结点上都连接有其它电容，则无论取其中那一种结点建立KCL方程，方程中都含有两个电容电压的一阶微分，要消去其中不要的那一种将十分麻烦。为避免出现这类问题，能够不对电容结点，而对电容割集建立KCL方程，使方程中只含有一种电容电压的一阶微分。其环节：首先画电路拓扑图，选一种适宜的“树”，然后分别建立包含单个独立电容的基本割集的KCL方程，包含单个独立电感的基本回路的KVL方程，再经代换、整顿得到状态方程及输出方程。选树的原则：1）树支选择优先次序为：独立电容支路、电压源支路、电阻支路。2）连支选择优先次序为：独立电感支路、电流源支路、电阻支路。R3R4R3R4LC1C2uC1uSuC2iL6654321解：图为状态变量 割集1 即： 割集2 即 回路方程 即 ∴L5LL5L1L3C4C2u4u2i5i3i1114325列状态方程，状态变量作出拓扑图，以2、4为树支。1回路：， 2割集：3回路： 4割集：5回路： 三、迭加法迭加法是应用替代定理和叠加定理来列写状态方程的办法。只合用于线性电路。具体办法和环节：1.选独立的、为状态变量。（独立的）2.应用替代定理，用独立电压源替代电容，电压源电压为；用独立电流源替代电感，电流源电流为。3.应用叠加定理，让激励电源，替代电压源，替代电流源各自单独作用，分别求得对应产生的及分量，然后叠加求得总的、的体现式。4.整顿、体现式，得状态方程。iLic2ic1iSiLic2ic1iSuc1uRSuLuc2uRLRLC2LC1RSeS①②RRLRSiLiC1iC2uC1uC2uLeS解：单独作用： ，， 单独作用： ，；单独作用： ，，单独作用： ∴ 例：如图，列写状态方程。UUsR1R2isL1L2C2C1uc2uc1uL1uL2iL2iL1iC1解：拟定状态变量：与并联，显然非独立。，也只有一种独立。因此状态变量为与，即 ∴以上三种办法各有特点。直观法与观察法直观、明了，但对其中非状态变量的代换有可能十分困难；叠加法不存在对非状态变量的代换问题，但过程比较繁琐。课堂练习：，，，，。RR1C1R2C22:1LiC2iLiC1uc2uSuc1解： ∴即 §14-3状态方程的频域解法对状态方程等式两端取拉氏变换：