复杂图形的比例与面积

复杂图形的比例与面积基础知识：

1.三角形面积由两个因素决定：底和高

两个三角形，底相等，面积比等于高的比；

两个三角形，高相等，面积比等于底的比。

2.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，

（1）；

（2）；

（3）。

3.如图，在梯形ABCD中，存在下列关系：

（1）左、右部分的面积相等，即S3＝S4；

（2）S1︰S2︰S3︰S4＝

4.燕尾定理：

在三角形中，AD，，相交于同一点，那么.

例1.图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍.那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?

[答疑编号]

【答案】22.5

【解答】△ABD，ABC等高，因此面积的比为底的比，

有,因此180＝90（平方厘米）.

同理有（平方厘米），

×30＝22.5（平方厘米）.

即三角形AEF的面积是22.5平方厘米.

例2.如图1，5个正方形拼在一起，图中三角形ABC部分的面积是60，则正方形的边长是.

[答疑编号]

【答案】10

【解答】比较有相似底边的两个三角形ABC和BCD，它们的高的比是3:2，因此三角形BCD的面积是.于是三角形ACD的面积是60＋40＝100.

注意ACD的底边是小正方形边长的2倍，而高就是小正方形的边长，因此它的面积与一种小正方形的面积是相等的，应当都是100，因此小正方形的边长就是10（由于10×10＝100）.

例3.如图2，在15个小正方形拼成的长方形中，三角形ABC的面积是120（其中C是大长方形的对角线与B所在竖线的交点）.那么小正方形的边长是.

[答疑编号]

【答案】10

【解答】以下图，三角形ABC与三角形BCD的底边都是BC，而高的比是3∶2，因此三角形BCD的面积是，那么三角形ABD的面积就是

120＋80＝200。

三角形ABD的面积是大三角形ADG的面积减去三角形ABE、长方形BEGF、三角形BDF的面积，也就是等于个小正方形的面积，因此每个小正方形的面积是200÷2＝100，那么边长为10。

例4.如图，四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷.那么4个小三角形中最大的一种三角形的面积是多少公顷?

[答疑编号]

【答案】21

【解答】

,因此，三角形ABO的面积是18公顷，三角形BOC的面积是21公顷.因此，最大的三角形的面积为21公顷.

例5.已知ABCD是一种梯形，BO＝3OD，AD＝4，S△ABO＝12，则梯形的高是多少？

梯形的下底BC是多少？

[答疑编号]

【答案】12

【解答】由于△ABO和△AOD是等高的三角形，并且BO＝3OD，可得S△ABO＝3S△AOD，因此S△AOD＝4，这样S△ABD＝12＋4＝16。换一种角度去观察钝角三角形ABD，将AD作为它的底，将B作为它的顶点。从而根据S△ABD＝16和AD＝4可知△ABD在底边AD上的高为16×2÷4＝8，而这个高也是梯形的高。

由于△ABC和△DBC是同底等高的三角形，因此S△ABC＝S△DBC，从而S△ABO＝S△DOC＝12。由于△DOC和△OBC是等高的三角形，并且BO＝3OD，可得S△OBC＝3S△DOC，因此S△OBC＝36，这样S△DBC＝12＋36＝48。

下面能够用两种办法去求BC的长度，如果把AD当作△ABD的底边，把BC当作△DBC的底边，那么△ABD和△DBC是等高的，由于S△DBC是S△ABD的3倍，因此BC＝3AD，从而BC＝12。

或者能够运用梯形面积的计算公式去求BC的长度，由于梯形的面积＝4＋12＋12＋36＝64，梯形的高为8，梯形的上底AD＝4，

于是下底BC＝64×2÷8－4＝12。

例6.如图，ABCD是梯形，三角形ADE面积是1.8，三角形ABF的面积是9，三角形BCF的面积是27.那么阴影部分面积是多少？

[答疑编号]

【答案】4.8

【解答】设△ADF的面积为“上”，△BCF的面积为“下”，

△ABF的面积为“左”，△DCF的面积为“右”.

左＝右＝9；上×下＝左×右＝9×9＝81，而下＝27，因此上＝81÷27＝3.

△ADE的面积为1.8，那么△AEF的面积为1.2，

则EF：DF＝：＝1.2：3＝0.4.

△CEF与△CDF的面积比也为EF与DF的比，

因此有S△ACE＝0.4×＝0.4×（3＋9）＝4.8.

即阴影部分面积为4.8.

例7.如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC＝2DE，F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米?

[答疑编号]

【答案】

【解答】以下图，连接FC，△DBF、△BFG的面积相等，设为x平方厘米，

△FGC、△DFC的面积相等，设为y平方厘米，那么△DEF的面积为y平方厘米.

＝2x＋2y＝1，＝x＋y＝l×＝.

因此有.

比较②、①式，②式左边比①式左边多2x，②式右边比①式右边大0.5，

有2x＝0.5，即x＝0.25,y＝0.25.

而阴影部分面积为y＋y＝×0.25＝平方厘米.

例8.如图，正方形ABCD的边长是12，BF＝CE＝4，则四边形ABOD的面积是.

[答疑编号]

【答案】

【解答】如图，假设△OBF和△OEC的面积分别为x和y，那么△OCF和△OED的面积就分别为2x和2y.根据△BEC和△OCF的面积，能够列方程组得：

化简即得：

解得，.

因此四边形ABOD的面积为：

12×12-＝.

例1.已知EF＝2BF，AD＝3BD，三角形ABC的面积为36，那么四边形ADFE的面积是多少？

分析：四边形ADFE是一种不规则的四边形，无法直接计算它的面积。做辅助线连接D和E，将四边形ADFE分成2个三角形△ADE和△DFE，三角形的面积就比较好求了。请大家想一想，除了公式以外，还能够运用什么办法去求三角形的面积？

题目中给出的条件是线段与线段之间的关系，一定要将线段与线段的关系转化成图形与图形的关系，这样才有助于计算面积。例如：由EF＝2BF，可知S△DFE＝2S△DBF。这是连接D和E做辅助线的另外一种优点，它将线段之间的倍数关系转化成了三角形面积之间的倍数关系，这就使得线段与图形互相联系了起来。

[答疑编号]

【答案】11

【解答】由EF＝2BF，可知S△DFE＝2S△DBF，S△EFC＝2S△FBC，从而S△EDC＝2S△DBC。由于AD＝3BD，可知S△ADC＝3S△DBC。如果设S△DBC＝“1”，那么S△EDC＝“2”，S△ADC＝“3”，因此S△ADE＝“1”，S△ABC＝“4”。由于大三角形ABC的面积为36，因此S△ADE＝“1”＝36÷4＝9。

下面求△DFE的面积。由于AD＝3BD，可得S△ADE＝3S△DBE，因此S△DBE＝9÷3＝3。由于S△DFE＝2S△DBF，而S△DFE＋S△DBF＝S△DBE，因此S△DFE＝3÷3×2＝2。由S△ADE＝9，S△DFE＝2，可知四边形ADFE的面积是11。

总结：在直线形计算的问题中，如果碰到一种不规则的图形，普通需要添加辅助线将它分割成若干个能够计算面积的图形，例如分割成三角形、平行四边形或者梯形。如果题目中的条件给出了线段与线段之间关系，也能够运用添加辅助线的办法将线段与三角形（或者其它的图形）联系起来，这样线段之间的关系就变成了三角形（或者其它图形）之间的关系，从而有助于计算图形的面积。

例2.如图1，在rABC中，DC＝3BD，rABC的面积是84，DE＝EA，则阴影部分的面积是.

[答疑编号]

【答案】36

【解答】连结DF，由于DE＝EA，因此三角形ACE的面积与三角形CDE的面积相等，三角形AEF的面积与三角形DEF的面积相等.因此阴影部分的面积等于三角形CDF的面积，也等于三角形ACF的面积.

又由于CD＝3×BD，因此三角形DEF的面积是三角形CDF面积的，因此阴影部分的面积.

例3.如图1，已知三角形ABC的面积为1，AF＝FD，BF＝3FE.则阴影部分的面积是.

[答疑编号]

【答案】97.5

【解答】连DE.

由BF＝3FE＝3

由AF＝FD＝

记＝2a，则＝6a，S□ABDE＝8a

而，即

从而阴影部分的面积是.

例4.如图，△ABC的面积是1，且，则△OAB的面积是.

[答疑编号]

【答案】

【解答】

△OAB的面积是.

例5.在长方形ABCD中，E是AD的中点，F在CE上且EF∶FC＝3∶1，已知三角形BFD的面积是60，则长方形ABCD的面积是.

[答疑编号]

【答案】192

【解答】

OE∶OC=1∶2，EF∶FC＝3∶1,

三角形BED的面积∶三角形BFD的面积=,

由于三角形BFD的面积是60，因此，三角形BED的面积是48，

则长方形ABCD的面积是48×4＝192.

例6.如图，梯形ABCD外有一点E，使得△ABE、△ADE和△EDC的面积相等.

（1）证明：△ABF和△AFD的面积相等；

（2）证明：△ADF和△AHD的面积相等；

（3）如果已知△ABF和△DGH的面积分别为3和1，求梯形ABCD的面积.[答疑编号]

【答案】18

【解答】（1）证明：由于△ABE与△ADE都是以AE为底且面积相等，因此△ABE在边AE上的高与△ADE在边AE上的高相等.

由于△ABF与△AFD同底（AF）等高，因此△ABF与△AFD的面积相等。

（2）证明：由（1）同理，△AHD与△HDC面积相等，因此△ADF是△ABD面积的二分之一，△AHD是△ACD面积的二分之一.

由于梯形ABCD中，△ABD与△ACD的面积相等，因此△ADF和△AHD面积相等.

（3）解：由△ABF的面积是3，可得△ADF、△HDC面积都是3，因此△AGD的面积是

3-1＝2.

由于△ABG与△ADG有相似的高，且面积分别为4和2，因此BG是DG的2倍.

由于△CBG与△CDG有相似的高，因此△CBG的面积是△CDG的2倍，为8，因此梯形ABCD的面积为2＋4＋4＋8＝18.

例7.如图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点.三角形ABC由①～⑥这6部分构成，其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形ABC的面积是多少平方厘米?

[答疑编号]

【答案】48

【解答】由于E是DC中点，F为AC中点，有AD＝2FE且平行于EF，则四边形ADEF为梯形.在梯形ADEF中有③＝④，②×⑤＝③×④，②：⑤＝：＝4:1.

又已知②－⑤＝6