第一轮复习自己整理绝对经典2016概率文科

第4页共14页概率与统计题型总结(文科)一:随机抽样（系统抽样、简单随机抽样、分层抽样）【例1】在个有机会中奖的号码（编号为）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为00的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（）A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．以上均不对一年级二年级三年级女生男生【例2】某校共有学生名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取名，抽到二年级女生的概率是．现用分层抽样的方法在全校抽取名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）A． B． C． D． 【例3】一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这人中再用分层抽样方法抽出人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出人.【例4】用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是()A． B．C． D．【例5】为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔为()A．40B．30C．20D．12【例6】某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员()A．3人B．4人C．7人D．12人真题：【2014·广东卷6】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1­1和图1­2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()图1­1图1­2A．200，20B．100，20C．200，10D．100，10【2014·湖南卷】对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2＜p3B．p2＝p3＜p1C．p1＝p3＜p2D．p1＝p2＝p3【2014天津高考理第9题】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.二：概率基本性质及古典概型题型一：古典概型古典概型的定义：（1）每次试验的结果只有一个基本事件出现；（2）试验结果具有有限性；（3）试验结果出现等可能性.【例7】若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为【例8】袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（B）（C）（D）【例9】现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的的概率是___________【例10】从中任取个不同的数,则取出的个数之差的绝对值为的概率是_________【例11】从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等),则2名都是女同学的概率等于_____【例12】现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取3道题解答.试求:(=1\*ROMANI)所取的2道题都是甲类题的概率;(=2\*ROMANII)所取的2道题不是同一类题的概率.【例13】有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率_________【例14】某小组共有五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千克/米2)如下表所示:ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率(Ⅱ)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率【2014·福建卷14】如图1­4，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．【2014·辽宁卷】正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图1­3所示．若将—个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．【2014·陕西卷】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)题型三：线性规划及二维概率型【例43】设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）（A）（B）（C）（D）【例44】已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为,则=_____________ 【例45】若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P（m，n）落在圆内的概率是____________【例46】在区间上随机地取一个数x,若x满足的概率为,则_________【例47】设关于x的一元二次方程若a是从0,1,2,3四个数中任取一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若a是从区间任取的一个数，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率【例48】不等式组（其中）表示的平面区域记为，，的最大值和最小值分别为、，已知．①求和的值；②在中随机取一点，求的概率．真题：【2014·湖北卷7】由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,4)D.eq\f(7,8)题型四：约会问题【例49】甲乙二人相约定7：00-8：00在预定地点会面，先到的人要等候另一人20分钟后，方可离开，求甲乙二人能会面的概率，假定他们在7：00-8：00内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的.【例50】小明订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到小明家,小明离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间，则小明在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？【例51】甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.四：频率直方图【例52】经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直图,如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位:t≤100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(Ⅰ)将T表示为X的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.【例53】假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率。【例54】对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,下图喂检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为()A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45【例55】为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A.6B.8C.12D.18真题：【2014·江苏卷】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图1­2所示，则在抽测的60株树木中，有__________株树木的底部周长小于100cm.【2014高考辽宁理第18题】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差.五：线性回归方程【例56】四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:①y与x负相关且;②y与x负相关且;③y与x正相关且;④y与x正相关且.其中一定不正确的结论的序号是()①②B.②③C.③④D.①④【例57】已知与之间的几组数据如下表:123456021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为.若某同学根据上表中前两组数据和求得的直线方程为,则以下结论正确的是()A.B.C.D.【例58】设，，，是变量x和y的n个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线，以下结论中正确的是（）（A）x和y相关系数为直线l的斜率（B）x和y的相关系数在0到1之间（C）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同（D）直线过点【例59】从某居民区随机抽取10个家庭,获得第个家庭的月收入(单位:千元)与月储蓄(单位:千元)的数据资料,算得,,,.(Ⅰ)求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程;(Ⅱ)判断变量与之间是正相关还是负相关;(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.附:线性回归方程中,,,其中,为样本平均值,线性回归方程也可写为.【例60】下列命题中,其中假命题是()A．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”可信程度越大B．用相关指数R2来刻画回归的效果时，R2的值越大，说明模型拟合的效果越好C．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1D．一定在回归直线方程上【例61】给出下列四个命题，其中正确的一个是（）A．在线性回归模型中，相关指数R2=0.80，说明预报变量对解释变量的贡献率是80%B．在独立性检验时，两个变量的2×2列表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大C．相关指数R2用来刻画回归效果，R2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好D．随机误差e是衡量预报精确度的一个量，它满足E（e）=0真题：【2014·湖北卷4】根据如下样本数据：得到的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，则()x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b>0D．a<0，b<0【2014高考全国2第19题】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，六：随机变量的概率问题例62：某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示（1）求甲、乙两名运动员得分的中位数；（2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？（3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．（参考数据：，）例63：在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第三组的频数为12，请解答下列问题：(1)本次活动共有多少件作品参加评比？(2)哪组上交的作品数量最多？共有多少件？(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？例64：已知向量，．（1）若，分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率；（2）若实数，求满足的概率．例65：某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：分组[500，900)[900，1100)[1100，1300)[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，)频数4812120822319316542频率（1）将各组的频率填入表中；（2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管2支，若将上述频率作为概率，试求恰有1支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．例66：为研究气候的变化趋势，某市气象部门统计了共100个星期中每个星期气温的最高温度和最低温度，如下表：（1）若第六、七、八组的频数、、气温（℃）频数频率0．038122225合计1001为递减的等差数列，且第一组与第八组的频数相同，求出、、、的值；（2）若从第一组和第八组的所有星期中随机抽取两个星期，分别记它们的平均温度为，，求事件“”的概率．例67：某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人.抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图5所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人.(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人?(2)在抽取的所有学生中,任取一名学生,求分数不小于90分的概率.例68：某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组；第二组，……，第五组．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（I）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（II）设、表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知，求事件“”的概率.例69：一人盒子中装有4张卡片，每张卡上写有1个数字，数字分别是0，1、2、3。现从盒子中随机抽取卡片。（I）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于等于5的概率；（II）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字2的概率。例70：为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中