七年级数学上册知识点练习专题4.6 线段中的动点问题专项训练（40道）（举一反三）（华东师大版）（解析版）

第页专题4.6线段中的动点问题专项训练（40道）【华东师大版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了线段中的动点问题的所有类型！一．解答题（共40小题）1．（2022·山东省商河实验中学七年级阶段练习）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．(1)出发3秒后，AM＝，PB＝．（不必说明理由）(2)出发几秒后，AP＝3BP？(3)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否为定值，若是，请给出证明；若不是，请说明理由．【答案】(1)3；18(2)出发9秒或18秒后，AP＝3BP(3)是；理由见解析【分析】（1）先根据路程＝速度×时间求出AP，再根据中点的定义求出AM，根据线段的和差关系求出PB；（2）分两种情况：①当点P在线段AB上时，②当点P在AB延长线上时，根据题意列出方程求解即可；（3）PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x−24，PN＝12PB＝x−12，分别表示出MN，MA＋PN（1）解：出发3秒后，AM＝2×3÷2＝3，PB＝24−2×3＝18．故答案为：3；18．（2）解：分两种情况：①当点P在线段AB上时，设出发t秒后，AP＝2t，BP＝24−2t，∵AP＝3BP，∴2t＝3（24−2t），解得t＝9；②当点P在AB延长线上时，设出发t秒后，AP＝2t，BP＝2t−24，∵AP＝3BP，∴2t＝3（2t−24），解得t＝18．综上分析可知，出发9秒或18秒后，AP＝3BP．（3）解：是，理由如下：设运动时间为x秒，则有PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x−24，PN＝12PB＝x∴MN＝PM−PN＝x−（x−12）＝12，即MN的值为定值．【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度，有一定难度．2．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且AB=12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．(1)当t=1秒时，写出数轴上点B，P、Q所表示的数分别为_______________、_______________、_______________；(2)若点P，Q分别从A，B两点同时出发，当点P与点Q重合时，求t的值；(3)若M为线段AQ的中点，点N为线段BP的中点．当点M到原点的距离和点N到原点的距离相等时，求t的值．【答案】(1)−4；5；−2(2)2.4(3)8【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为8﹣12；点P表示的数为（2）点P运动x秒时，与Q重合，则AP＝3x，BQ＝2x，根据AP+BQ＝（3）根据动点P在数轴上运动，点M到原点的距离等于点N到原点的距离相等，故OM=ON，由此可得出结论；（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB＝∴点B表示的数是8−12=−4，∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴点P表示的数是8−3×1=5，∵动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴点Q表示的数是−4+2×1=−2，故答案为：−4,5,−2；（2）设点P运动t秒时，与点Q重合，则AP＝∵AP+BQ=AB，∴3t+2t=12，解得：t=2.4，∴点P运动2.4秒时与点Q重合；（3）由（1）知，A表示8，B表示−4，P表示8−3t，Q表示2t−4，∵M为AQ中点，∴M表示8+2t−4∵N为BP中点，∴N表示−4+8−3t∵点M到原点的距离等于点N到原点的距离相等，∴t+2−0=即t+2=当t+2=2−32t当t+2=−2−32答：当t=8时，点M到原点的距离等于点N到原点的距离相等．【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．3．（2022·江苏·启东市长江中学七年级期中）已知多项式(a+10)x3+20x2−5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为(1)a=___________，b=___________，线段AB=___________；(2)若数轴上有一点C，使得AC=32BC，点M为(3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以56个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（t＜30），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GE=13GB，在G【答案】(1)−10，20，30；(2)3或75；(3)252【分析】（1）由题意直接可求解；（2）①当点C在AB之间时，如图1，②当点C在点B的右侧时，如图2，分别计算AC和AM的长，相减可得结论；（3）本题有两个动点G和H，根据速度和时间可得点G表示的数为：−10+t，点H表示的数为：20+56t，根据中点的定义得点D和F表示的数，由EG=13BG（1）解：由题意知：a+10=0，∴a=∴AB的距离为20故答案为：−10（2）分两种情况：①当点C在AB之间时，如图1，∵AC=32∴AC=18∵M是AB的中点，∴AM=15∴CM=18②当点C在点B的右侧时，如图2，∵AC=32∴AC=90∵AM=15∴CM=90综上，CM的长是3或75；（3）由题意得：点G表示的数为：：−10+t，点H表示的数为：∵t<30，AB∴点G在线段AB之间，∵D为BG的中点，∴点D表示的数为：20+(−10+t)2∵F是DH的中点，∴点F表示的数为：5+1∵BG=20∵EG=∴EG=30−t3∴点E表示的数为：−10+t+10−13∴DE+DF=(5+12【点睛】本题考查多项式和数轴；与中点有关的计算，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据点的运动特点，分情况列出合适的方程，进行求解是关键．4．（2022·湖北·公安县教学研究中心七年级期末）如图，P是线段AB上任意一点，AB=15cm，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2cm/s，点D的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．（其中一点到达点A(1)若AP=10①运动1s后，求CD的长；②当点D在线段PB上运动时，试说明：AC=2(2)如果t=3s时，CD=1cm，试探索【答案】(1)①CD=4(2)AP的长为11cm或13cm【分析】（1）①先求出PB、CP与DB的长度，然后利用CD=②用t表示出AC、DP、CD的长度即可求证AC=2（2）当t=3时，求出CP、DB的长度，由于没有说明D点在C（1）①当t=1时，CP=2t∵AP=10cm，AB∴PB=∴CD=②∵AP=10，AB∴BP=5∵CP=2t，∴AC=AP−∴CD=∴AC=2（2）当t=3时，CP=2t当点D在C的右边时，如图：CD=∴AP=11当点D在C的左边时，如图：CD=∴AP=13综上可得，AP的长为11cm或13cm．

【点睛】本题考查了两点间的距离，涉及列代数式，注意分类讨论是解题关键．5．（2022·湖北·十堰市郧阳区教学研究室七年级期末）如图，已知线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t>0），点M为(1)若点P在线段AB上运动，当t为多少时，PB=(2)若点P在射线AB上运动，N为线段PB上的一点．①当N为PB的中点时，求线段MN的长度；②当PN=2NB时，是否存在这样的t，使M，N，P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出【答案】(1)8；(2)①12．②当t=487时，P是MN的中点；当t=96【分析】（1）根据M是线段AP的中点，可得AM=12AP=（2）①分两种情况讨论：当点P在B点左侧时；当点P在B点或B点右侧时，即可求解；②分三种情况讨论：当0<t≤12时，当12<t（1）解∶根据题意得：AP=2∵M是线段AP的中点，∴AM=12∵PB=∴24−2t解得t=8∴当t=8时，PB（2）①当点P在B点左侧时．∵M是线段AP的中点，∴PM=∵N是线段PB的中点，∴PN=∴MN=当点P在B点或B点右侧时．∵M是线段AP的中点，∴PM=∵N是线段PB的中点，∴PN=∴MN=综上所述，线段MN的长度为12；②当PN=2NB时，存在这样的t，使M、N、当0<t由题意得：PM=∵PM=∴t=23当12<t由题意得：PM=∵PM=2∴t=2×23当t>48由题意得：PM=∵PN=2∴2t=2综上，当t=487时，P是MN的中点；当t=96【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本题是动点问题，解题时可根据图形，用t表示出相应线段的长，再根据已知条件列出方程．解题时要按照点的不同位置进行分类讨论，避免漏解．6．（2022·重庆綦江·七年级期末）点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2．(1)如图1点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝12x﹣5的解，在数轴上是否存在点P使PA+PB＝12BC+AB？若存在，求出点(2)如图2，若P点是B点右侧一点，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PM﹣34BN的值不变；②12【答案】(1)存在满足条件的点P，对应的数为﹣92和72；(2)正确的结论是：PM﹣3【分析】（1）先利用数轴上两点间的距离公式确定出AB的长，然后求得方程的解，得到C表示的点，由此求得12BC+AB＝8设点P在数轴上对应的数是a，分①当点P在点a的左侧时（a＜﹣3）、②当点P在线段AB上时（﹣3≤a≤2）和③当点P在点B的右侧时（a＞2）三种情况求点P所表示的数即可；（2）设P点所表示的数为n，就有PA＝n+3，PB＝n﹣2，根据已知条件表示出PM、BN的长，再分别代入①PM﹣34BN和②12PM+3【详解】(1)∵点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，∴AB＝5．解方程2x+1＝12x﹣5得x所以BC＝2﹣（﹣4）＝6．所以．设存在点P满足条件，且点P在数轴上对应的数为a，①当点P在点a的左侧时，a＜﹣3，PA＝﹣3﹣a，PB＝2﹣a，所以AP+PB＝﹣2a﹣1＝8，解得a＝﹣，﹣＜﹣3满足条件；②当点P在线段AB上时，﹣3≤a≤2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝2﹣a，所以PA+PB＝a+3+2﹣a＝5≠8，不满足条件；③当点P在点B的右侧时，a＞2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝a﹣2．，所以PA+PB＝a+3+a﹣2＝2a+1＝8，解得：a＝，＞2，所以，存在满足条件的点P，对应的数为﹣和．(2)设P点所表示的数为n，∴PA＝n+3，PB＝n﹣2．∵PA的中点为M，∴PM＝12PA＝．N为PB的三等分点且靠近于P点，∴BN＝PB＝×（n﹣2）．∴PM﹣34BN＝﹣34××（n﹣2），＝（不变）．②12PM+34BN＝+34××（n﹣2）＝34n﹣（随P∴正确的结论是：PM﹣BN的值不变，且值为2.5．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，解答时了灵活运用两点间的距离公式求解是关键．7．（2022·上海市民办新北郊初级中学七年级期末）如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQAB（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有CD=12AB，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣【答案】（1）点P在线段AB上的13处；（2）13；（3）②【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的13（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；（3）当点C停止运动时，有CD＝12AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以MN＝PN−PM＝1【详解】解：（1）由题意：BD=2PC∵PD=2AC，∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.∴点P在线段AB上的13（2）如图：∵AQ-BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ，∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴PQ=13∴PQAB（3）②MNAB理由：如图，当点C停止运动时，有CD=12∴CM=14∴PM=CM-CP=14∵PD=23∴PN=12（2∴MN=PN-PM=112当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以MNAB【点睛】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．8．（2022·湖北·武汉七一华源中学七年级阶段练习）已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点．（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长；（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求BCMN（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中：①AC+BPEF②AC−BPEF【答案】（1）AB＝30；（2）2;（3）①详见解析;②详见解析.【分析】（1）由AC=AB+BC=3AB可得；（2）分三种情况：①D在BC之间时②D在AB之间时③D在A点左侧时；（3）分三种情况讨论：①F、E在BC之间，F在E左侧②F在BC之间，E在CP之间③F、E在BC之间，F在E右侧；【详解】（1）∵BC＝60，AC＝AB+BC＝3AB，∴AB＝30；（2）∵点M为BD中点，点N为CD中点，∴BM＝BD，DN＝NC，①D在BC之间时：BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，∴BCMN②D在AB之间时：BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN，∴BCMN③D在A点左侧时：BC＝DN+NB＝MN+DN﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN，∴BCMN故BCMN（3）点E是AP的中点，点F是BC的中点．∴AE＝EP，BF＝CF，①EF＝FC﹣EC＝12BC﹣AC+AE＝12（AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE﹣12AB＝BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB，∴AC−BPEF②EF＝12BC+CE＝12BC+AE﹣AC＝12（AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE﹣12ABBP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，∴AC−BPEF③EF＝CE﹣CF＝CE﹣12BC＝AC﹣AE﹣12BC＝AC﹣AE﹣12（AC﹣AB）＝12AC﹣AE+1BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，∴AC−BPEF【点睛】本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键．9．（2022·湖北·武汉六中上智中学七年级阶段练习）如图，线段AB和CD数轴上运动，A开始时与原点重合，且CD=3AB+(1)若AB=10，且B为线段AC的中点，求线段AD的长.

(2)在(1)的条件下，线段AB和CD同时开始向右运动，线段AB的速度为5个单位/秒，线段CD的速度为3个单位/秒，经过t秒恰好有AC+BD=38，求t的值.(3)若线段AB和CD同时开始向左运动，且线段AB的速度大于线段CD的速度，在点A和C之间有一点P(不与点B重合)，且有AB+【答案】（1）52；（2）t=6或25；（3）BP=1为定值，理由见解析.【分析】（1）根据CD=3AB+（2）由题知A：5t，B：10+5t，C：20+3t，D：52+3t，再写出AC和BD长，代入AC+BD=38中解出t即可；（3）由CD=3AB+2，在点A和C之间有一点P，得到AC=AP+CP，【详解】解：（1）∵CD=3AB+∴CD=3×10+∵B为线段AC的中点，∴AC=2AB=20，∴AD=AC+CD=20+32=52；（2）由题知A：5t，B：10+5t，C：20+3t，D：52+3t，∴AC=5t−20+3t=∵AC+BD=38，∴2t−20+①当0≤t＜10时，−2t+20−2t+42=38，解得：t=6，0≤6＜10，成立；②当10≤t＜21时，2t−20−2t+42=38，方程无解；③当21≤t时，2t−20+2t−42=38，解得：t=25，21≤25，成立；t=6或25；（3）∵CD=3AB+∴AC=AP+CP，DP=CP+DC=CP+3AB+2，∴ABAB2AP=2AB+2AP=AB+1∴BP=1，为定值.【点睛】本题是对线段动点问题的考查，熟练掌握直线动点知识点及解一元一次方程是解决本题的关键，属于压轴题.10．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，点A，B，C，D为直线l上从左到右顺次的4个点．(1)①直线l上以A，B，C，D为端点的线段共有条；②若AC=5cm，BD=6cm，BC=1cm，点P为直线l上一点，则PA+PD的最小值为cm；(2)若点A在直线l上向左运动，线段BD在直线l上向右运动，M，N分别为AC，BD的中点（如图2），请指出在此过程中线段AD，BC，MN有何数量关系并说明理由；(3)若C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD=9cm，E，F两点同时从C，D出发，分别以2cm/s，1cm/s的速度沿直线l向左运动，Q为EF的中点，设运动时间为t，当AQ+AE+AF=32AD时，请直接写出t【答案】(1)①6条；②10；(2)MN=12AD−【分析】（1）①根据线段的定义结合图形即可得出答案；②PA+PD最小，即P为AD的中点，求出AD的长即可；(2)根据M，N分别为AC，BD的中点，得到MC=12AC，BN=(3)根据C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD=9cm，得到AC=3，CD=6，并可得到EC=2t，FD=t，EQ=t+62，代入AQ+AE+AF=32AD【详解】解：(1)①线段有：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6条；②∵BD=6，BC=1，∴CD=BD-BC=6-1=5，当PA+PD的值最小时，P为AD的中点，∴PA+PD=AD=AC+CD=5+5=10；(2)MN=1如图2示：∵M，N分别为AC，BD的中点，∴MC=12∴MN=MC+BN−BC====1(3)如图示：∵C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD=9cm，∴AC=3，CD=6，根据E，F两点同时从C，D出发，速度是2cm/s，1cm/s，Q为EF的中点，运动时间为t，则有：EC=2t，FD=t，EQ=当AQ+AE+AF=32AD则有：AE+EQ+AE+AD−FD=3即是：3−2t解之得：t=1.【点睛】本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是依据线段的和差关系列方程．11．（2022·四川眉山·七年级期末）如图，A、B、C三点在数轴上，点A表示的数为−10，点B表示的数为14，点C为线段AB的中点.动点P在数轴上，且点P表示的数为x.（1）求点C表示的数；（2）点P从点A出发，向终点B运动.设BP中点为M.请用含x的整式表示线段MC的长.（3）在（2）的条件下，当x为何值时，AP−CM=2PC？【答案】（1）2；（2）MC=5+x2；（3）当x=−25或【分析】（1）根据中点的定义，即可求出点C的坐标；（2）先表示出点M的数，然后利用线段上两点之间的距离，即可表示出MC的长度；（3）分别求出AP，MC和PC的长度，结合题意，分为三种情况进行讨论，即可求出x的值.【详解】解：（1）点A表示的数为−10，点B表示的数为14，∴线段AB=14−(−10)=24，∴点C表示的数为：14−24÷2=2；（2）根据题意，点M表示的数为：14+x2∴线段MC的长度为：14+x2（3）根据题意，线段AP的长度为：x+10，线段MC的长度为：5+x线段PC的长度为：2−x，∵AP−CM=2PC，∴x+10−(5+x整理得：2−x=①当点P在点C的左边时，x<2，则2−x>0，∴2−x=1解得：x=−2②当点P与点C重合时，x=2，∴14解得：x=−10（不符合题意，舍去）；③当点P在点C的右边时，x>2，则2−x<0，∴x−2=1解得：x=6.∴当x=−25或x=6时，有【点睛】本题考查了数轴上的动点的问题，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，以及绝对值的意义，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离.12．（2022·福建·七年级期末）如图，在三角形ABC中，AB=8，BC=16，AC=12．点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→A的方向运动，点Q从点B沿B→C→A的方向与点P同时出发；当点P第一次回到A点时，点P，Q同时停止运动；用t（秒）表示运动时间．（1）当t为多少时，P是AB的中点；（2）若点Q的运动速度是23个单位长度/秒，是否存在t的值，使得BP=2BQ（3）若点Q的运动速度是a个单位长度/秒，当点P，Q是AC边上的三等分点时，求a的值．【答案】（1）2；（2）存在，t=125；（3）54【分析】（1）根据AB的长度和点P的运动速度可以求得；（2）根据题意可得：当BP=2BQ时，点P在AB上，点Q在BC上，据此列出方程求解即可；（3）分两种情况：P为接近点A的三等分点，P为接近点C的三等分点，分别根据点的位置列出方程解得即可.【详解】解：（1）∵AB=8，点P的运动速度为2个单位长度/秒，∴当P为AB中点时，4÷2=（2）由题意可得：当BP=2BQ时，P，Q分别在AB，BC上，∵点Q的运动速度为23∴点Q只能在BC上运动，∴BP=8-2t，BQ=23则8-2t=2×23解得t=125当点P运动到BC和AC上时，不存在BP=2BQ；（3）当点P为靠近点A的三等分点时，如图，AB+BC+CP=8+16+8=32，此时t=32÷2=16，∵BC+CQ=16+4=20，∴a=20÷16=54当点P为靠近点C的三等分点时，如图，AB+BC+CP=8+16+4=28，此时t=28÷2=14，∵BC+CQ=16+8=24，∴a=24÷14=127综上：a的值为54或12【点睛】本题考查了一元一次方程的应用—几何问题，在点的运动过程中根据线段关系列出方程进行求解，需要一定的想象能力和计算能力，难度中等.13．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知式子M=(a−16)x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，在数轴上有点A、B、C三个点，且点A、B、C三点所表示的数分别为a、（1）a=_______；b=_______；c=________．（2）若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，向右运动，且点Q不超过点A．在运动过程中，点E为线段AP的中点，点F为线段BQ的中点，若动点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，求BP−AQEF（3）点P、Q分别自A、B同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点M自点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t（秒），3<t<72时，数轴上的有一点N与点M的距离始终为2，且点N在点M的左侧，点T为线段MN上一点（点T不与点M、N重合），在运动的过程中，若满足MQ−NT=3PT（点T不与点P重合），求出此时线段PT【答案】（1）16，20，-8；（2）BP−AQEF【分析】（1）先根据多项式的定义、系数定义求出a、b的值，再根据数轴的定义及AC=6AB即可求出c的值；（2）设运动时间为t秒，先求出CP、OQ的长，再根据线段的和差求出BP−AQ的长，然后根据线段的中点定义求出EF的长，从而即可得出答案；（3）设点T所表示的数为x，先求出点P,Q,M,N所表示的数，再用含t，x的式子表示MQ,NT,PT的长，代入MQ−NT=3PT即可求出PT的值．【详解】（1）由题意得：a−16=0,b=20则a=16∴AB=b−a=20−16=4,AC=a−c=16−c∵AC=6AB∴16−c=6×4∴c=−8故答案为：16；20；−8；（2）由（1）知，AB=4,AC=16−c=16−(−8)=24,BC=b−c=20−(−8)=28设运动时间为t秒如图，由题意得：CP=2t,OQ=3t∴BP−AQ=(BC−CP)−(AO−OQ)=(28−2t)−(16−3t)=12+t∵点E为线段AP的中点，点F为线段BQ的中点∴∴EF=AE−AF=AE−(BF−AB)=12−t−(10−=6+∴故BP−AQEF（3）设点T所表示的数为x由题意得：点P所表示的数为a−2t=16−2t点Q所表示的数为b−2t=20−2t点M所表示的数为6t−8点N所表示的数为6t−8−2=6t−10∵3<t<∴MQ=20−2t−(6t−8)=28−8tNT=x−(6t−10)=x−6t+10PT=∵MQ−NT=3PT∴28−8t−(x−6t+10)=3整理得：2+16−2t−x=3∴2+PT=3PT或2−PT=3PT解得：PT=1或PT=0.5故此时线段PT的长度为1或0.5．【点睛】本题考查了线段的中点定义、线段的和差、数轴的定义，较难的是题（3），依据题意，正确求出点P,Q,M,N所表示的数是解题关键．14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，点P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从点P、B出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线AB向左运动（点C在线段AP上，点D在线段BP上）．（1）若点C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明点P在线段AB上的位置；（2）在（1）的条件下，点Q是直线AB上一点，且AQ−BQ=PQ，求PQAB（3）在（1）的条件下，若点C、D运动5秒后，恰好有CD=12AB，此时点C停止运动，点D继续运动（点D在线段PB上），点M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM−PN【答案】（1）点P在线段AB的13处；（2）13或1；（3）结论②MNAB【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据PD=2AC，可知点P在线段AB上的位置；（2）由AQ−BQ=PQ可知AQ=PQ+BQ，当点Q在线段AB上时，等量代换可得AP=BQ，再结合AP=13AB可得PQAB的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得（3）点C停止运动时，CD=12AB【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则PD=PB−2t,PC=AP−t，由PD=2AC得PB−2t=2(AP−t)，即PB=2AP∵AP+PB=AB，∴AP+2AP=AB，∴3AP=AB，即AP=所以点P在线段AB的13（2）①如图，当点Q在线段AB上时，由AQ−BQ=PQ可知AQ=PQ+BQ，∵AQ=AP+PQ∴PQ=AP=1∴②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，∵AQ−BQ=AB，AQ−BQ=PQ∴AB=PQ∴综合上述，PQAB的值为13或（3）②MNAB由点C、D运动5秒可得CP=5,BD=5×2=10，如图，当点M、N在点P同侧时，点C停止运动时，CD=1∵点M、N分别是CD、PD的中点，∴CM=1∴CM=1∴PM=CM−CP=1∵PD=PB−BD=2∴PN=1∴MN=PN−PM=1当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以MNAB如图，当点M、N在点P异侧时，点C停止运动时，CD=1∵点M、N分别是CD、PD的中点，∴CM=1∴CM=1∴PM=CP−CM=5−1∵PD=PB−BD=2∴PN=1∴MN=PN+PM=1当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以MNAB所以②MNAB的值不变正确，MN【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键.15．（2022·北京四中七年级期中）在数轴上，a表示数a的点到原点的距离．如果数轴上两个点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为：AB=a−b，这是绝对值的几何意义．已知如图，点A在数轴上对应的数为－3，点B（1）求线段AB的长．（2）若点C在数轴上对应的数为x，且是方程x+1=12x−2的解，在数轴上是否存在点M，使MA+MB=AB+BC（3）若点N是数轴上在点A左侧的一点，线段BN的中点为点Q，点P为线段AN的三等分点且靠近于点N，当点N在点A左侧的数轴上运动时，请直接判断14【答案】（1）5；（2）−7或6；（3）随着点N的移动，14【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式计算便可．（2）根据已知线段的关系式，列出绝对值方程进行解答即可．（3）用点N表示的数n，列出14AP−1【详解】解：（1）∵点A在数轴上对应的数为−3，点B对应的数为2，∴AB=|−3−2|=5．（2）存在．设M点对应的数为m，解方程x+1=12x−2∴点C对应的数为−6，∵MA+MB=AB+BC，∴|m+3|+|m−2|=|−3−2|+|−6−2|，即，|m+3|+|m−2|=13，①当m⩽−3时，有−m−3+2−m=13，解得m=−7；②当−3<m⩽2时，有m+3+2−m=13，此方程无解；③当2<m时，有m+3+m−2=13，解得m=6；综上，M点的对应数为−7或6．（3）设点N对应的数为n，则NA=−n−3，NB=2−n，∵若点N是数轴上在点A左侧的一点，线段BN的中点为点Q，点P为线段AN的三等分点且靠近于点N，∴NQ=1−12n，则点Q对应的数为12n+1；NP=−∴AP=−23n−2∴随着点N的移动，14【点睛】本题是数轴的一个综合题，涉及一元一次方程的应用，两点距离公式，利用绝对值的性质化简绝对值代数式是解题的关键．16．（2022·全国·七年级）在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离．（1）①AB＝；②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝；③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝．（2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数．（3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？【答案】（1）①14，②8，③12或16；（2）−452或252；（3）当时间为54秒时，M代表﹣1【分析】（1）①根据数轴上两点间的距离直接写出AB即可；②由P在AB之间，则直接由AB-AP得到BP；③根据点P在A，B之间或者之外分情况讨论即可；（2）结合题意可知C应该位于线段AB之外，从而分两种情况分别计算即可；（3）设运动时间为T秒，则分别表示出各线段的长度，从而分三种情况讨论即可．【详解】（1）①AB之间的距离为2﹣（﹣12）＝14．②AB总距离是14，P在数轴上点A与B之间，所以BP＝AB﹣AP＝14﹣6＝8．③P在数轴上点A与B之间时，AP＝AB﹣BP＝14﹣2＝12；当P不在数轴上点A与B之间时，因为AB＝14，所以P只能在B右侧，此时BP＝2，AP＝AB＋BP＝14＋2＝16．（2）假设C为x，当C在A左侧时，AC＝﹣12﹣x，BC＝2﹣x，AC＋BC＝35，解得x＝−452当C在B右侧时，AC＝x﹣（﹣12），BC＝x﹣2，AC＋BC＝35，解得x＝25∴C表示的数为−452或25（3）设经过时间T秒，则P点表示﹣12﹣6T，Q点表示﹣8T，M点表示2﹣2T．当Q在P和M的正中间，即Q为PM的中点时，2（﹣8T）＝（﹣12﹣6T）＋（2﹣2T），解得T＝54当P在Q和M的正中间，即P为QM的中点时，2（﹣12﹣6T）＝（﹣8T）＋（2﹣2T），解得T＝﹣13＜0，不合题意，舍掉．当PQ重合时，即M到P、Q距离相等时，此时MP＝MQ，∴﹣12﹣6T＝﹣8T，∴T＝6s．因此，当T＝54秒时，此时，M表示﹣12，Q表示﹣10，P表示﹣当T＝6秒时，此时，M表示﹣10，Q表示﹣48，P表示﹣48．【点睛】本题考查数轴上两点间的距离及动点问题，以及线段中点有关的计算和一元一次方程，能够灵活根据题意进行分类讨论是解题关键．17．（2022·广东汕头·七年级期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1．点C在线段AB上，且AC:CB=1:2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE=15cm，点P是DE的三等分点，则DP=__________cm（2）已知，线段AB=15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当Q与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒3cm①若点P点，Q同时出发，且当点Q是线段AB的三等分点时，求PQ的长．②若点P点，Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．【答案】（1）DP=5或10cm；（2）①PQ的长为253或53或56或256；②t=5【分析】（1）直接由题目讨论DP为哪一个三等分点即可.(2)①由题意进行分类，分别求出当BQ=5和当BQ=10时t的值即可.②分别讨论P，Q重合之前与之后的三等分点即可.【详解】（1）当DP为短的部分时，DP：PE=1：2，可得DP=5当DP为长的部分时，DP：PE=2：1，可得DP=10综上：DP=5或10cm．（2）①当BQ=5时，3t=5，即t=5∴AP=t=5∴PQ=15−5−53当BQ=10时，3t=10，即t=10∴AP=t=10∴PQ=15−5−10②当P，Q重合前点P是线段AQ的三等分点时，AQ=15−3t，AP1解得t=52当P，Q重合后时点P是线段AQ的三等分点时，当P，Q重合时，t+3t=15，即t=15∴P是线段AQ的三等分点时，AQ=15或AP3解得t=5．综上述：解得t=52或t=10【点睛】本题考查的知识点是与线段有关的动点问题，解题的关键是找准数量关系，列出方程，注意分类讨论.18．（2022·北京市第七中学七年级期中）如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点．例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点．（1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是；NM的内二倍分割点表示的数是．（2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒．①线段BP的长为；（用含t的式子表示）②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．【答案】（1）4；1；（2）①线段BP的长为2t；②当t为253或503或752或75秒时，P、A【分析】（1）根据内二倍分割点的定义，找到MN的三等分点表示的数即可；（2）①根据速度与路程的关系，可得BP=2t,②分P为其余两点的内二倍分割点和A为其余两点的内二倍分割点两种情况，按照内二倍分割点的定义，列方程求解即可．【详解】解：（1）MN的内二倍分割点就是MN的三等分点且距N近，MN=9，则MN的内二倍分割点在N的左侧，距N点3个单位，所以，表示的数为4；同理，则NM的内二倍分割点在N的左侧，距N点6个单位，所以，表示的数为1；（2）①则线段BP的长为2t．②当P在线段AB上时，有以下两种情况：如果P是AB的内二倍分割点时，则AP=2BP，所以50-2t=2×2t，解得t=253如果P是BA的内二倍分割点时，则BP=2AP，所以2t=2（50-2t），解得t=503当P在点A左侧时，有以下两种情况：如果A是BP的内二倍分割点时，则BA=2PA，所以50=2（2t-50）解得t=752如果A是PB的内二倍分割点时，则PA=2BA，所以2t-50=2×50，解得t=75；综上所述：当t为253或503或752或75秒时，P、A【点睛】本题考查了新定义内二倍分割点、速度与路程的关系和分类讨论的思想；准确理解定义，恰当的用速度与时间表示线段长，分类讨论，建立方程是解题的关键．19．（2022·山东济南·七年级期末）已知线段AB=12个单位长度．（1）如图1，点P沿线段AB自点A出发向点B以1个单位长度每秒的速度运动，同时点Q沿线段BA自点B出发向点A以2个单位长度每秒的速度运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？（2）如图1，几秒后，P、Q两点相距3个单位长度？（3）如图2，AO=3个单位长度，PO=1个单位长度，当点P在AB的上方，且∠POB=60°时，点P绕着点O以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点Q沿线段BA自B点向A点运动，假若P、Q两点能相遇，求点Q的运动速度．【答案】（1）4；（2）3或5；（3）每秒52个单位长度或每秒4【分析】（1）设经过ts后，点P、Q相遇，根据相遇问题列方程t+2t=12解答；（2）设经过x秒，P、Q两点相距3个单位长度，列方程x+2x+3=12或x+2x−3=12，计算解答；（3）点P、Q只能在线段AB上相遇，计算点P旋转到直线AB上的时间为：12030=4s或120+18030=10s，设点Q的速度为【详解】解：（1）设经过ts后，点P、Q相遇．t+2t=12，解得：t=4．答：经过4秒钟后，点P、Q相遇；（2）设经过x秒，P、Q两点相距3个单位长度，x+2x+3=12或x+2x−3=12，解得：x=3或x=5．答：经过3秒钟或5秒钟后，P、Q两点相距3个单位长度．（3）点P、Q只能在线段AB上相遇，则点P旋转到直线AB上的时间为：12030=4s设点Q的速度为y，则有4y=12−2，或10y=12−4，解得：y=52或答：点Q的速度为每秒52个单位长度或每秒4【点睛】此题考查数轴上动点问题，一元一次方程的实际应用，理解行程问题中的相遇问题的思考方法及解法是解题的关键．20．（2022·湖北武汉·七年级阶段练习）如图，线段AB=24cm，O为线段AB上一点，且AO：BO=1：2，C、E顺次为射线AB上的动点，点C从A点出发向点B方向运动，E点随之运动，且始终保持CE=8cm（C点到达B点时停止运动），F为OE中点．（1）当C点运动到AO中点时，求BF长度；（2）在C点运动的过程中，猜想线段CF和BE是否存在特定的数量关系，并说明理由；（3）①当E点运动到B点之后，是否存在常数n，使得OE-n·CF的值不随时间改变而变化．若存在，请求出n和这个不变化的值；若不存在，请说明理由．②若点C的运动速度为2cm/秒，求点C在线段FB上的时间为秒（直接写出答案）；【答案】（1）FE=2，BE=12，BF=14cm（2）2CF=BE（3）①16cm②4秒【详解】试题分析：（1）先求出AO，BO的长，再求当C点运动到AO中点时，AC，CE，OE的长．根据F为OE中点，即可求出BF的长；

（2）设AC=x，分别表示出CO，OE，FE，CF，BE的长，即可得到结论；

（3）①设OF=EF=x，得到OE–nCF=（2-n）x+8n，可以得到当n=2时，OE-2CF=16cm．

②根据时间=路程÷速度即可得到结论．试题解析：解：（1）∵AB=24cm，AO：BO=1：2．

∴AO=8，BO=16．当C点运动到AO中点时，AC=4，CE=8，OE=4．∵F为OE中点，∴FE=2，BE=12，BF=14cm．

（2）设AC=x，CO=8-x，OE=AC=x，FE=FO=FE=FO=12x，CF=8-12BE=24-8-x=16-x，∴2CF=BE

（3）①设OF=EF=x，OE–nCF=2x-n（x-8）=（2-n）x+8n当n=2时，OE-2CF=16cm．

②8÷2=4秒．点睛：本题考查线段的有关计算，正确理解题意是关键．21．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，P点从点A开始以2cm/s的速度沿A→B→C的方向移动，Q点从点C开始以1cm/s的速度沿C→A→B的方向移动，在直角三角形ABC中，∠A=90°，若AB=16cm，AC=12cm，（1）如图1，若点P在线段AB上运动，点Q在线段CA上运动，当t为何值时，QA=AP；（2）如图2，点Q在CA上运动，当t为何值时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的14（3）如图3，当P点到达C点时，P，Q两点都停止运动，当t为何值时，线段AQ的长度等于线段BP的长．【答案】（1）4，（2）9，（3）283【分析】（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可．（2）当Q在线段CA上时，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，根据三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的14（3）分三种情形讨论即可①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动．②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动．③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，分别列出方程求解即可．【详解】解：（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，∵AQ＝AP，∴12﹣t＝2t，∴t＝4．∴t＝4时，AQ＝AP．（2）当Q在线段CA上时，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，∵三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的14∴12•AB•AQ＝14×12•AB∴12×16×（12﹣t）＝18×16×12，解得∴t＝9时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的14（3）由题意可知，Q在线段CA上运动的时间为12秒，P在线段AB上运动时间为8秒，①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，BP＝16﹣2t，∵AQ＝BP，∴12﹣t＝16﹣2t，解得t＝4．②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，BP＝2t﹣16，∵AQ＝BP，∴12﹣t＝2t﹣16，解得t＝283③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，∵AQ＝t﹣12，BP＝2t﹣16，∵AQ＝BP，∴t﹣12＝2t﹣16，解得t＝4（舍去），综上所述，t＝283或4时，AQ＝BP【点睛】本题考查线段和差、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．22．（2022·河南漯河·七年级期末）新规定：点C为线段AB上一点，当CA=3CB或CB=3CA时，我们就规定C为线段AB的“三倍距点”．如图，在数轴上，点A所表示的数为−3，点B所表示的数为5．（1）确定点C所表示的数为___________；（2）若动点P从点B出发，沿射线BA方向以每秒2个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．①求AP的长度（用含t的代数式表示）；②当点A为线段BP的“三倍距点”时，求出t的值．【答案】（1）-1或3；（2）①AP=8−2t或AP=2t−8；②t=16【分析】（1）设点C表示的数为c，根据定义即可求解；（2）①根据点P的位置即可求出AP的长度；②由题意易得AB=8，然后由题意可分当AP=3AB时，当AB=3AP时，进而分类求解即可．【详解】解：（1）设点C表示的数为c，当CA=3CB时，∴c+3=35−c，解得：c=3当CB=3CA时，则有：3c+3解得：c=−1；故答案为-1或3；（2）①由题意得：AB=8，当点P在点A的右侧时，则有AP=8−2t；当点P在点A的左侧时，则有AP=2t−8；②设点P表示的数为p，当AP=3AB时，此时−3−p=3×8，解得：p=−27，∴BP=5+27=32，∴t=32当AB=3AP时，此时3−3−p解得：p=−17∴BP=5+17∴t=32综上所述：当点A为线段BP的“三倍距点”时，t=16【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及线段的和差关系，熟练掌握一元一次方程的应用及线段的和差关系是解题的关键．23．（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示）（1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为；（2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数；（3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动．求：①P、Q相遇时求P对应的数；②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？（直接写出结果）【答案】（1）4；（2）﹣6或14；（3）①43，②【分析】（1）根据中点的定义可得；（2）设点C表示的数为x，分点C在A、B之间，点C在点A左侧和点C在点B右侧三种情况，根据两点间的距离公式分别列方程求解可得；（3）①设t秒后，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为12﹣2t，根据相遇时点P、Q所表示的数相同，列方程求解可得；②由①知点P、Q从出发到相遇用时163秒，据此知点M的运动时间为16【详解】解：（1）根据题意知点C表示的数为−4+122故答案为：4；（2）设点C表示的数为x，当点C在A、B之间时，由题意知（x+4）+（12﹣x）＝20，即16＝20，不合题意，舍去；当点C在点A左侧时，由题意知（﹣4﹣x）+（12﹣x）＝20，解得：x＝﹣6，当点C在点B右侧时，由题意知x﹣12+x﹣（﹣4）＝20，解得：x＝14，即点C表示的数为﹣6或14；（3）①设t秒后，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为12﹣2t，由题意知﹣4+t＝12﹣2t，解得：t=16则相遇时点P对应的数为﹣4+16②∵由①知点P、Q从出发到相遇用时163∴点M的运动时间为163则点M所经过的总路程是3×16【点睛】本题主要考查数轴、两点间的距离公式及一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式和分类思想的运用是解题的关键．24．（2022·福建省永春第一中学七年级阶段练习）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足(a+1)2(1)填空：a＝，b＝，AB＝；(2)若数轴上存在一点C，且AC＝2BC，求C点表示的数；(3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．【答案】(1)－1，3，4(2)53或(3)①甲：t+1；乙：3−2t或2t−3；②t=23秒或【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据两点间的距离公式求得A、B两点之间的距离；（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解；（3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜t≤32时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t＞32时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程-②分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤32，（Ⅱ）t＞32，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于（1）因为(a+1)2所a+1=0,b−3=0，所以a=−1,b=3；所以AB的距离＝|b−a|=4，故答案为：－1，3，4；（2）设数轴上点C表示的数为c．因为AC=2BC，所以|c−a|=2|c−b|，即|c+1|=2|c−3|．因为AC=2BC>BC，所以点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上．①当C点在线段AB上时，则有−1<c<3，得c+1=2(3−c)，解得c=5②当C点在线段AB的延长线上时，则有c>3，得c+1=2(c−3)，解得c=7．故当AC=2BC时，c=53或（3）①因为甲球运动的路程为：1×t=t,OA=1，所以甲球与原点的距离为：t+1；乙球到原点的距离分两种情况：（I）当0<t≤32时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点因为OB=3，乙球运动的路程为：2×t=2t，所以乙球到原点的距离为：3−2t；（II）当t>32时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：②当0<t≤32时，得解得t=2当t>32时，得解得t=4．故当t=23秒或【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，方程的解法，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．25．（2022·河南·郑州中学七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，AB=32BC．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值．【答案】(1)16，24．(2)当x=45，即运动45秒时，机器狗P在点A与机械猫(3)当x=32或x=52或x=194，即运动x=32或x=52或x=19【分析】（1）由AB=32BC且AC=8cm得8+BC=32BC（2）先确定机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，再根据线段AP=12AQ列方程求出x（3）分三种情况，一是点P在线段AQ上，可根据AP+2=AQ列方程求出x的值；二是点P在线段BQ上且点P到达点B之前，可根据AP-2=AQ列方程求出x的值；三是点P在线段BQ上且点P从点B返回时，可根据2AB减去点P运动的距离等于AQ+2列方程求出x的值即可．(1)解：∵AB=32BC，AB=AC+BC，AC∴8+BC=32BC，解得：BC=16∴AB=32×16=24m故答案为：16，24．(2)解：由题意可得：：机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，∴6x=12{8+2x），解得x=4答：当x=45，即运动45秒时，机器狗P在点A与机械猫(3)解：当点P在线段AQ上且PQ=2m时，则6x+2=8+2x，解得x=32当点P在线段BQ上且PQ=2m时，则6x-2=8+2x或24×2-6x=8+2x+2，解得x=52或194答：当x=32或x=52或x=194，即运动x=32或x=52或x=19【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的应用、线段上的动点问题的求解等知识点，正确地用含x的代数式表示线段AP和AQ的长是解答本题的关键.26．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且AB=12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的运动时间为t秒．(1)解决问题：①当t=1时，写出数轴上点B，P所表示的数；②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？(2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）．【答案】(1)①点B表示-4，点P表示5；②1.8秒或3秒(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，过程见解析【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为8-12；点P表示的数为8-3t；②点P运动x秒时，与Q相距2个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，根据AP+BQ=AB-3，或AP+BQ=AB+3，列出方程求解即可；（2）根据点P在点A、B两点之间运动，故MN=MQ+NP-PQ，由此可得出结论．（1）解：①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，∴点B表示的数是8-12=-4，∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴点P表示的数是8-3×1=5．②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，∵AP+BQ=AB-3，∴3x+2x=9，解得：x=1.8，∵AP+BQ=AB+3，∴3x+2x=15解得：x=3．∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．（2）2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ=12AQ+12BP=12（AQ+BP-PQ）-1=12AB-1=12（12-PQ即2MN+PQ=12．同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12．【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．27．（2022·天津外国语大学附属外国语学校七年级期末）如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止．(1)a＝，b＝；(2)点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC＝13，求x的值．(3)点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值．【答案】(1)﹣3，﹣1；(2)13或1或53或(3)1，2617，16【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求出a，c；根据最大的负整数求出b；（2）先由PA+PB+PC＝13计算出P点的位置，再根据P点的运动轨迹计算出总长度，进而计算时间；（3）根据P、M、N三点的位置关系判断中点：开始P在中间，PM相遇后M在中间（BA和AC上），MN相遇后N在中间，PN相遇后P在中间（AC和CA上），分别讨论t的取值；(1)解：b是最大的负整数，即b=﹣1，|a+3|+（c﹣9）2＝0，∴|a+3|=0，（c﹣9）2＝0，∴a=﹣3，c=9，故答案为：﹣3，﹣1；(2)解：AB=2，BC=10，AC=12，PA+PB+PC＝13，PA+PC=12，则PB=1，∴此时P点位置为﹣2或0，根据P的运动轨迹得：由B到A时：x=1÷3=13由A到B时：x=3÷3=1，由B到C时：x=5÷3=53由C到B时：x=23÷3=233故x的值为:13或1或53或(3)解：当P点由B到A运动时P=﹣3t－1（0≤t＜23当P点由A到C运动时P=﹣3＋（3t－2）=3t－5（23≤t＜14当P点由C到B运动时P=9－（3t－14）=﹣3t＋23（143≤t当M点由A到C运动时M=4t－3，当N点由C到A运动时N=﹣5t＋9，PM相遇时3t＋4t=2，t=27MN相遇时4t＋5t=12，t=43PN相遇时3t＋5t=12＋2，t=740≤t＜27，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t－1）解得t=﹣827＜t＜23，M在中间，则﹣5t＋9﹣3t－1=2（4t－3）解得t=23≤t＜43，M在中间，则﹣5t＋9＋3t－5=2（4t－3）解得43＜t＜74，N在中间，则4t－3＋3t－5=2（﹣5t＋9）解得t=74＜t＜143，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（3t－5）解得t=143≤t≤8，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t＋23）解得t故t的值为：1，2617，16【点睛】本题主要考查了数轴上点的位置关系，中点公式，一元一次方程的运用；用t的代数式表示出P、M、N三点的位置，根据三点的位置判断中点是解题的关键．28．（2022·全国·七年级课时练习）【新知理解】如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”．(1)线段的中点

这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）；(2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝

cm；(3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．【答案】(1)是(2)6或4或8c(3)t为3或307或154或458【分析】（1）若点M是线段AB的中点时，则AB＝2AM＝2BM，由此即可得到答案；（2）分①当N为中点时，CN＝12CD＝6cm；②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝13CD＝4cm；③N为CD的三等分点且N靠近D时，（3）分P为A、Q的和谐点，Q为A、P的和谐点，两种情况讨论求解即可．（1）解：若点M是线段AB的中点时，满足AB＝2AM＝2BM，∴线段的中点是这条线段的“和谐点”，故答案为：是；（2）解：①当N为中点时，CN＝12②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝13③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝23故答案为：6cm或4cm或8cm；（3）解：∵AB＝15cm，∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5），由题意可知，A不可能为P、Q的和谐点，此情况排除；①P为A、Q的和谐点，有三种情况：1）P为中点，AP＝12AQ，即t＝12（15﹣2解得t＝1542）P为AQ的三等分点，且P靠近A，AP＝13AQ，即t＝13（15﹣2解得t＝3；3）P为AQ的三等分点，且P靠近Q，AP＝23AQ，即t＝23（15﹣2解得t＝307②Q为A、P的和谐点，有三种情况：1）Q为中点，AP＝12AQ，即15﹣2t＝12解得t＝6；2）Q为AP的三等分点，且P靠近A，AP＝13AQ，即15﹣2t＝13解得t＝4573）Q为AP的三等分点，且P靠近Q，AP＝23AQ，即15﹣2t＝23解得t＝458综上所述，t为3或307或154或458或457或6时，A、【点睛】本题主要考查了与线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．29．（2022·四川成都·七年级期末）如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是-8，点C在数轴上表示的数是10，若线段AB以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动．(1)线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过多长时间；(2)问运动多少秒时BC=2（单位长度）；(3)设线段AB，CD开始运动后的运动时间为t秒，当t为何值时，恰好满足AD=2BC．【答案】(1)t=3秒；(2)①B、C相遇之前：t=7秒，②B、C相遇之后：t=9秒(3)当t为5秒或9秒后恰好满足AD=2BC【分析】（1）根据线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开相当于线段AB比线段CD多走的路程为AB+CD，由此求解即可；（2）分B、C相遇之前和B、C相遇之后，两种情况讨论求解即可；（3）由题可得，t秒后A，B，C，D可分别表示为：A：−8+3t，B：−6+3t，C：10+t，D：14+t．则：AD=14+t−−8+3t=22−2t，BC=10+t−−6+3t=16−2t，然后分分（1）解：B、C相遇后到A点完全离开：t=AB+CD（2）解：①B、C相遇之前：t=BC−2②B、C相遇之后：t=BC+2（3）由题可得，t秒后A，B，C，D可分别表示为：A：−8+3t，B：−6+3t，C：10+t，D：14+t．则：AD=14+t−−8+3t=①B、C相遇之前，由题可得：22−2t=22t=10t=5②B、C相遇之后，由题可得：22−2t=2−6t=−54t=9综上所述：当t为5秒或9秒后恰好满足AD=2BC．【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，正确理解题意是解题的关键．30．（2022·广西河池·七年级期末）如图，点M位于数轴原点，C点从M点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，D点从B点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．(1)若点A表示的数为−3，点B表示的数为7，当点C，D运动时间为2秒时，求线段CD的长；(2)若点A，B分别表示−2，6，运动时间为t，当t为何值时，点D是线段BC的中点．(3)若AM=14AB，N是数轴上的一点，且AN−BN=MN【答案】(1)CD=3(2)当t=65时点D是线段(3)MNAB【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出C、D运行的路程，进而求出MD的值，根据CD=CM+MD可求；（2）先表示出BD和CD，再根据点D是线段BC的中点，列方程求解；（3）分N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况，分别求解．（1）解：∵CM=2×1=2，BD=2×3=6，又∵点A表示−3，点B表示7，∴AM=3，BM=7∴MD=BM−BD=7−6=1∴CD=CM+MD=2+1=3．（2）解：∵点A，B分别表示−2，6，所以AM=2，BM=6，MC=t，BD=3t，MD=6−3t，CD=MD+MC=t+6−3t当D是BC的中点时CD=BD，即t+6−3t=3t，t=∴当t=65时点D是线段（3）解：①当点N在线段AB上时，如图∵AN−BN=MN，又∵AN−AM=MN∴BN=AM，又∵AM=∴MN=12②当点N在线段AB的延长线上时，如图∵AN−BN=MN，又∵AN−BN=AB∴MN=AB，即MN综上所述MNAB【点睛】本题考查了线段的和差和中点，及两点间的距离，一元一次方程，解题分关键是掌握点的移动路程与线段的关系．31．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．(1)P在线段AB上运动，当PB=2AM时，求x的值．(2)当P在线段AB上运动时，求2BM−BP的值．(3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由．【答案】(1)x=6；(2)2BM−BP为定值24；(3)MN=12．【分析】（1）根据PB=2AM建立关于x的方程，解方程即可；（2）将BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化简即可得出结论；（3）利用PA=2x，AM=PM=x，PB=2x−24，PN=1（1）解：∵M是线段AP的中点，∴AM=1PB=AB−AP=24−2x，∵PB=2AM，∴24−2x=2x，解得x=6．（2）解：∵AM=x，BM=24−x，PB=24−2x，∴2BM−BP=224−x即2BM−BP为定值24．（3）解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧．∵PA=2x，AM=PM=x，PB=2x−24，PN=1∴MN=PM−PN=x−x−12所以MN的长度无变化是定值．【点睛】本题是动点问题，考查了两点间的距离，解答的关键是用含时间x的式子表示出各线段的长度．32．（2022·全国·七年级课时练习）如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，已知AB=20，BC=80，点M、N分别从A、B两点同时出发向点C运动．当其中一动点到达C点时，M、N同时停止运动．已知点M的速度为每秒2个单位长度，点N速度为每秒1个单位长度，设运动时间为(1)用含t的代数式表示线段AM的长度为________；(2)当t为何值时，M、N两点重合?(3)若点Р为AM中点，点Q为BN中点．问：是否存在时间t，使PQ长度为5?若存在，请说明理由．【答案】(1)2t(2)20(3)30或50【分析】（1）由点M的速