幂零矩阵性质及应用

)其中阶数为令为的若当块为的若当块由于由引理8，得且即可逆有由（1.4）式，知A与J相似，且从而，得与相似，综上可得，且即得证（2）、由（1）知，使得又已知得证特别当时，可得2、A，B为阶方阵，B为幂零矩阵且，则有证明：由引理10，在复数域上，存在可逆矩阵T，使得又B为幂零矩阵所以B的特征值全为0，即又可逆由知为A的特征值由引理7，得从而得证3、A为阶方阵，求证，B可对角化，C为幂零矩阵且证明：由性质3，知存在幂零矩阵N，使得可对角化即存在可逆T，使得即有由性质11，知N幂零矩阵则也幂零矩阵又与D相似，可对角化令，则有可对角化为幂零矩阵又为对角阵得证4、A，B，C为阶方阵，且，证明：存在自然数证明：由于，由引理11，得由性质2，得C为幂零矩阵由性质9，知得证5、在复数域上，阶方阵A相似于对角阵等价于对于A的任一特征值，有与的秩相同。证明：因为A对角化，则存在可逆矩阵T，使得从而有所以与相同即与的秩相同由于在复数域上，存在可逆矩阵T使得其中阶数为若不全为对角阵，则不妨令不可对角化，且有，有从而知的秩大于的秩，即有的秩大于的秩也即的秩大于的秩，这与已知矛盾所以所有为对角阵，从而得证A相似于对角阵例求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆解其中且有例求特别的a也是1可表为若当块的幂的矩阵和逆解：其中性质1：当k=2即复数域C上的n阶2-幂零矩阵A的Jordan标准型为，其中（），，且至少存在一个j，使即至少存在一个性质2：设C是复数域，而A是C上2-幂零矩阵，设A的秩为r，则，而A的Jordan标准型为，其中对角线上有r个。性质3：两个2-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相同。引理1.2：设，则，而。定理1：复数域C上的k-幂零矩阵A的标准型具有形式，其中（），且至少存在一个若当块，使。证明：因为A为幂零矩阵，故A的特征值全为0，于是A的特征多项式为。设幂零矩阵的A的初等因子为可能相同，且），每一个初等因子对应一个J块（），这些J块构成一个若当形矩阵因为A为k-幂零矩阵，所以J中存在即至少存在一个j，使推论2：秩不大于3的两个3-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相等。定理可逆矩阵A的逆矩阵与伴随矩阵都可以表示为A的多项式证明：设A特征多项式利用hamilaon-cayley定理则有而A可逆，得从而以及一、定理:若A是幂零矩阵，则A不可逆.性质幂零矩阵的转置矩阵、数乘矩阵、K次幂、伴随矩阵都是幂零矩阵性质幂零矩阵的特征值为零，特征值为零矩阵为幂零矩阵。性质幂零矩阵的相似矩阵是幂零矩阵。《幂零矩阵的性质》性质同阶可交换的矩阵的幂零矩阵的乘积是幂零矩阵。性质设A为菲零的幂零矩阵，且r是A的幂零矩阵，则E、A、…Ak线性无关.性质相似于对角矩阵的幂零矩阵是零矩阵。性质若A2=0且AT=A,则A=0二、性质幂零矩阵与一个与之可交换的矩阵的乘积仍为幂零矩阵。性质与幂零矩阵可交换的矩阵仍为幂零矩阵。《幂零矩阵的性质及其应用》性质菲零的幂零矩阵A不能对角化，对任意的矩阵B，存在幂零矩阵M使得可以B+M对角化性质任意的n节下三角矩阵都相似与一个上三角矩阵。《幂