医学统计学：第十五章 协方差分析

第十五章协方差分析

（Analysisofcovariance)主要内容第一节协方差分析的基本思想和步骤第二节完全随机设计（多个独立样本）

资料的协方差分析第三节随机区组设计资料的协方差分析第一节

协方差分析的基本思想和步骤问题的提出在研究食品营养价值的动物实验中，各组动物的初始体重、进食量等对其体重的增加量都有很大的影响。降压药物疗效考核的临床试验中，病人的初始血压水平对服药一段时间后血压下降的量有相当的影响。除研究因素外影响观察指标的变量称为混杂因素，又称协变量(covariate)。在实际工作中，类似于以上的影响因素在实验设计时是难以控制的，如何扣除或均衡这些不可控因素的影响，可在统计分析阶段采用协方差分析的方法。问题的解决协方差是两个变量的协变异数，用COV(x,y)表示。对于一个具有N对(x,y)的有限总体，x与y的总体协方差定义为双变量离均差积和的平均数，即：

一、什么是协方差？

对于具有n对观测值的样本，x与y的样本协方差COV（x,y）定义为双变量离均差乘积和与自由度的商，即：

样本协方差是总体协方差的估计值。

1.方差：是用来度量单个变量“自身变异”大小的总体参数，方差越大，该变量的变异越大。2.协方差：是用来度量两个变量之间“协同变异”大小的总体参数，即两个变量相互影响大小的参数，协方差的绝对值越大，两个变量相互影响越大。3.对于涉及两个变量的试验资料：由于每个变量的总变异既包含了“自身变异”又包含了“协同变异”(是指由另一个变量所引起的变异)，须采用协方差分析法来进行分析，才能得到正确结论。二、协方差分析的基本思想协方差分析是将线性回归与均数比较的方差分析方法结合起来的一种统计方法。协方差分析的基本思想将那些对观察指标Y（应变量）有影响的定量变量X作为协变量，建立应变量Y随协变量X变化的线性回归关系，并利用这种回归关系把X值化为相等后再进行各组Y的修正均数（adjustedmean）间比较的假设检验。修正均数(adjustedmean)

：假定协变量取值固定在其总均数时的观察变量Y的均数。协方差分析的基本思想协方差分析的基本思想三、应用协方差分析的条件理论上要求各样本均来自总体方差相等的正态总体，各观察值相互独立。各总体因变量与协变量间存在回归关系（≠0），且各总体回归直线的回归系数相等，即各条回归直线平行（协变量与处理因素无交互作用）。第二节

完全随机设计资料的协方差分析

【例13-1】为研究Ａ、B、C三种饲料对猪的催肥效果，用每种饲料喂养8头猪一段时间，测得每头猪的初始重量（X）和增重（Y）数据见表13-3。试分析三种饲料对猪的催肥效果是否不同。表13-3三种饲料喂养猪的初始重量与增重（单位：kg）

分析：

该研究中，各饲料组的猪的增重（Y）既包含了不同饲料所引起的“自身变异”，也包含了不同初始体重（X）所引起的“协同变异”，因此应采用协方差分析将“协同变异”从Y的总变异中剔除，获得Y的“自身变异”，然后才能正确地检验三种饲料喂养的猪的平均增重是否有显著差异。分析的基本步骤表13-3三种饲料喂养猪的初始体重和增重（单位：kg）以上步骤3、4涉及到的计算参见后面（1）~（5）。1.确定协变量（即未加以控制或难以控制的因素），观察变量是否符合条件（正态性、独立、方差齐）。2.协变量和观察变量间是否存在线性关系，各斜率是否相等。3.利用回归关系把协变量X化为相等后再进行各组Y的修整均数间比较的假设检验。4.修整均数间的多重比较。计算公式：SS修正＋SS组内残差＝SS总残差

协方差分析的步骤小结第三节

随机区组设计资料的协方差分析【例13-2】为研究三种饲料对增加大白鼠体重的影响，有人按随机区组设计将初始体重相近的36只大白鼠分成12个区组，再将每个区组的3只大白鼠随机分入A、B、C三种饲料组，但在实验设计时未对大白鼠的进食量加以限制。三组大白鼠的进食量（X）和体重增量（Y）的原始数据见表13-6。问题：现欲推断三组大白鼠体重增量的总体均数是否有差别，同时要扣除进食量因素的影响。分析：本例属于随机区组设计，且只有1个协变量X（进食量）。在随机区组设计的资料中，观测变量Y（增重）的大小在受到不同处理（饲料）的影响外，还受到协变量X（进食量）和区组（大白鼠）因素的影响，因此必须将这两方面的影响扣除，才能分析不同处理对Y的影响作用。随机区组设计协方差分析的基本思想协变量的影响作用采用线性回归分析方法扣除。

根据方差分析原理，将总的离均差平方和分解为处理间（饲料）、区组间（大白鼠）和误差项平方和三个部分。将处理间和误差项的

相加，得到一个“处理加误差项”，将它的估计误差与“误差项”的估计误差相减得到修正均数项的估计误差。这样可以同时扣除协变量X和区组的影响。基本思想表13-6三组大白鼠的进食量与增重（单位：g）表13-7例13-2的协方差分析表(二)

协方差分析SPSS操作

协方差分析是将线性回归与均数比较的方差分析方法结合起来的一种统计方法。其实质就是从Y的总平方和中扣除协变量X对Y的回归平方和，对残差平方和作进一步分解后再进行方差分析，以便更好地评价各种处理的效应。实例分析例3．为研究Ａ、B、C三种饲料对猪的催肥效果，用每种饲料喂养8头猪一段时间，测得每头猪的初始重量（X）和增重（Y）数据见表8。试分析三种饲料对猪的催肥效果是否不同。表8三种饲料喂养猪的初始重量与增重（单位：kg）协方差分析的应用条件理论上要求各组资料（样本）均来自方差相同（方差齐性）的正态总体，各观察变量相互独立。各总体因变量与协变量间存在回归关系（≠0），且各总体回归直线的回归系数相等（即三条回归直线平行）。SPSS软件操作数据格式： 定义3个变量：1个因变量、1个分组变量，1个协变量（ancova_1.sav）。操作过程： 分析->常规线性模型->单变量

Analysis->

Generallinearmodel->Univariate

（1）定义因子列表框：因变量：Y

固定因子：group

协变量：X

（2）指定模型：全因子（3）选项->显示均值：group

选项->方差齐性检验：group输出结果（1）协方差分析结果结论：1）在扣除了初始体重（X）的影响以后，3种饲料喂养猪的体重增量（Y）的总体均