平面向量的基本定理及坐标表示与运算

会挽雕弓如满月西北望,射天狼2.3.1平面向量基本定理向量的数乘运算的定义：向量的数乘运算满足如下运算律：向量共线定理：向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得b=λa

如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有3BN=BD，求证：M、N、C三点共线。提示：设AB=aBC=b则MN=…=a+

bMC=…=a+

b向量的夹角

两个非零向量a和b

，作，，则

叫做向量a

和b

的夹角．向量夹角要有共同起点，范围是[0，π]OABOAB若，a

与b

同向OAB若，a

与b

反向OAB若，a

与b

垂直，记作平面向量基本定理

一向量有且只有一对实数、使共线向量，那么对于这一平面内的任

如果、是同一平面内的两个不示这一平面内所有向量的一组基底。我们把不共线的向量、叫做表问:一个平面向量的基底有多少对？（有无数对）例32.3.2平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？任一向量a，用这组基底可表示为a1001001．在平面内有点A和点B，怎样表示向量？3．分别与x

轴、y

轴方向相同的两单位向量i、j能否作为基底？Oxyija=xi+yj．有且只有一对实数x、y，使得（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=xi+yj那么i=（，）j=(，)0=（，）2.3.2平面向量的坐标表示两者相同一一对应概念理解3．两个向量相等的等价条件，利用坐标如何表示？由a唯一确定2．点A的坐标与向量a的坐标的关系？向量a坐标（x

，y）OxyijaA(x,y)a1．以原点O为起点作，点A的位置由谁确定?2.3.2平面向量的坐标表示解：由图可知同理，例1．如图，用基底i，j分别表示向量a、b

、c

、d

，并求它们的坐标．AA2A12.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差1.已知a

，b

，求a+b，a-b．解：a+b=(i+j)+(i+j)=（+)i+（+)j即a+b同理可得a-b2.3.3平面向量的坐标运算2．已知．求xyO解：

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．

实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标．2.3.3平面向量的坐标运算解：a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；

例2．已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，a-b，3a+4b的坐标．3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）

=（6，3）+（-12，16）

=（-6，19）a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；2.3.3平面向量的坐标运算

例3．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．解：设顶点D的坐标为（x，y）2.3.4平面向量共线的坐标表示如何用坐标表示向量平行(共线)的等价条件?

会得到什么样的重要结论?向量与非零向量平行(共线)的等价条件是有且只有一个实数,使得设即中,至少有一个不为0,则由得这就是说:的等价条件是

3.向量平行(共线)等价条件的两种形式:2.3.4平面向量共线的坐标表示例题已知已知求证:A、B、C三点共线。若向量与共线且方向相同,求x.2.3