第四章 解析几何的产生与数形结合思想

第四章解析几何的产生与数形结合思想在17世纪以前，代数和几何基本是分离的。代数主要研究“数”，而几何主要研究“形”。第一个在代数和几何上架起一座桥梁的人是法国的笛卡尔。

第一节笛卡尔与解析几何的产生一、笛卡尔生平笛卡尔（1596-1605）生活在资产阶级与封建领主、科学与神学进行激烈斗争的时代。从读书始便对僵化的说教有强烈的怀疑批判精神，坚定不移地寻找真理。

笛卡尔在获得法学博士学位后，为了“读世界这本大书”，曾到荷兰服役，一边到各地旅行，一边和朋友讨论数学和科学问题。他探求正确的思想方法，认为创立为实践服务的哲学“才能成为自然的主人”。退伍以后，主要居住在荷兰，也曾回到法国，从事学术研究。1649年应邀去瑞典担任女王的教师，最后因肺炎病逝在异国。笛卡儿的主要著作都是在荷兰完成的，其中1637年出版的《方法论》一书成为哲学经典。这本书中的3个著名附录《几何》《折光》和《气象》更奠定了笛卡儿在数学、物理和天文学中的地位。在《几何》中，笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺点，并由此创立了解析几何。所以说笛卡尔是解析几何的创始人。恩格斯对笛卡尔的这一贡献给予高度评价，他在《自然辩证法》中说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，微分和积分也就成为必要的了。二、解析几何的产生15、16世纪，欧洲由封建社会向资本主义社会过渡，进入文艺复兴时期。特别是从17世纪起，从封建社会内部产生出来的资本主义生产关系，处于它的上升时期，曾促进了社会生产的迅速发展。远洋航行、矿山开采、机械制造以及资本的对外扩张，向自然科学提出了大量的问题。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，相应地要求数学提出新的概念与方法，于是产生解析几何的条件便成熟了，导致了解析几何的出现。笛卡儿（Descartes,1596年~1650年）由于亲自参加社会实践，重视对机械曲线的探讨，终于突破了用综合法研究静止图形的局限性，在他所著的《方法论》一书的附录《几何学》中引进了变数，开始应用代数思想解决几何作图问题；后来逐渐出现用方程来表示曲线的思想。他的基本思想是借助坐标法，把反映同一运动规律的空间图形（点、线、面）同数量关系（坐标和它们所满足的方程）统一起来。从此，由曲线或曲面求它的方程，以及由方程的讨论研究它所表示的曲线或曲面的性质，就成了解析几何学的两大基本问题。第二节解析几何的基本思想一、解析几何的方法论基础《几何学》作为笛卡儿哲学著作《方法论》的附录，意味着他的几何发现乃至其他方面的发现都是在其方法论原理指导下获得的。笛卡儿方法论原理的本旨是寻求发现真理的一般方法，他称自己设想的一般方法为“通用数学”（mathesisuniversalis），即：

任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。

为了实施这一计划，笛卡儿首先通过“广延”（extension）的比较，将一切度量问题化为代数方程问题，为此需要确定比较的基础，即定义“广延”单位，以及建立“广延”符号系统及其算术运算，特别是要给出算术运算与几何图形的对应，这就是笛卡儿几何学的方法论背景。二、解析几何的基本思想笛卡