高中统计中∑的运用 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选高中统计中∑的运用摘2022高考数学全国乙卷19题考后反馈的情况来看，其中的一个难点是识进行了新旧教材的对比，最后给出了教学中的一点建议。关键词：∑，回归分析，方差，算理算法。引言：“整体稳定，适度创新”是近几年高考命题的基本原则。为应对高考试题的核心素养。一、真题再现，抓住难点分析【2022年高考全国乙卷·第19题】某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.60材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9010 10 10并计算得：x20.038,y21.6158,xy

0.2474i

i

ii（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0．01)；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数12022年安徽省中小学教育教学论文评选据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数

ixyiy n r in n n i

x2yii

y2【试题分析】换，计算也不是很复杂。总体来说难度不大，处在19题的位置是比较合理的。但恰恰是由于对∑这个符号的不理解，导致对公式的结构不熟练，对公式的变形更是困难重重。重点高中的学生可能好些，但普通中学的很多同学正是被第二问中的相关系数吓到了。原因就是：一方面，在人教版的旧教材中没有对这个求和符号∑做一个系默认大家都懂得这个符号是怎么回事。所以，学生就一直不是很明白求和符号是怎么回事，只能死套公式，凭感觉做题，一旦参考公式与参考数据不匹配就抓瞎。本题就是给出了公式（回归方程及相关系数的公式大纲不要求记忆），但与参考数据不配套，如果直接用公式来运算的话，不仅耗时间，而且容易出错。所以我们在平时的教学中，有必要花一点时间来介绍一下这个求和符号∑，按大纲【∑的引入与性质】1.∑的引入n为了方便书写，求和符号∑在数学中表示对一系列的数进行求和，形如:ai（其im中i是求和变量，

m是求和下限，

n是求和上限，

ai是求和的对象.）naiamam2im

an（求和符号是对求和内容的简写，不是运算！）666如：116662.∑的性质

66622022年安徽省中小学教育教学论文评选n m n（1）aiaiai，其中，m是介于1和n之间的整数，这是加法结合率的必然结果。

im1n n n（2）iiii，由加法交换律和结合率可以推导出来。n n（3）k*aik*ai，这是由乘法分配律推导出来的。【相关系数两公式间的推导】iiin n iii

n

n n n iixii

xy

y

xy

xyi

xyxy

xiyi

xyi

xiy

xyn n n n n

n xiyixyiyxixy1xiyinxynxynxyxiyinxyn n ix2nxix2nx2

x2

in n y2y2nyi

y2 2iin ixyiyn

n xiyinxyr i in n

n n 2 2x2 2

x2y

y2x2nxy2nyi

i

ii1

i与∑有关的计算和变形，首先要求学生明确求和对象与求和变量，另外还要注意转化证明过程中的运算法则（本质是加法以及乘法的相关运算律）。同时引导学生学会观进而帮助学生形成有效的算法思维。二、总结归纳，做一题会一类线性），求相关系数等（这些公式都要用到∑），主要考察形式有三种：1．给公式，并给出相应公式的参考数据，如：【2015年高考数学课标Ⅰ卷文科·第19题】32022年安徽省中小学教育教学论文评选某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量yt)和年利润z8年的年宣传费xi和年销售量yi1,2xyw8 å(x-x)2i8 å(w-w)2i8 å(xi-x)(yi-y)8 å(wi-w)(yi-y)46．656．36．8289．81．61469108．8 8表中

xi,w.（1）根据散点图判断，yabx与ycd

x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；z与x、y的关系为z0.2yx下列问题：(i)年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ii)年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？对于一组数据1,1,u2,v2，……，un,vn,其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为： n iuii

uv

v n i,vun 【试题分析】

uii

u2参考数据代入公式，但要注意代公式时是用w替换u，用y替换v。42022年安徽省中小学教育教学论文评选2．给公式，不给参考数据，如：【2014年高考数学课标II卷·第18赘述.）3.给公式，给出的是另一公式的参考数据，如：【2016年高考数学课标Ⅲ卷·第18题】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1–7分别对应年份2008–2014．y与ty关于t的回归方程(系数精确到2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：7 7 7 参考数据：yi

9.32,tiyi

40.17,

yi

y20.5,

72.646.参考公式：相关系数

tityiyn r in n 2n 2tityiy回归方程中斜率和截距的估计公式为：n ti

ty

y nii,yni【试题分析】

tii

t2（1）本题给的参考数据与公式也是不配套的，而且给的参考数据是混合型的，更要求考生在两个公式之间切换自如。（2）最小二乘法求回归方程的公式同样有两个，证法同相关系数的公式，代数据的时候一样不能生搬硬套公式和数据，要注意相应的变形。52022年安徽省中小学教育教学论文评选四．思维发散，方差中的∑下面我们同样以一道高考真题，来探讨∑在方差中的运用：1．方差变形式的推导【2017年高考数学课标Ⅰ卷·第19题】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:抽取次序12345678零件尺寸9．959．969．969．929．98抽取次序910111213141516零件尺寸9．919．229．95 16

16

16 ii经计算得x1xii

9.97,s

1x

x2

1 2 2 x16x 216

16

16i1 i16 16 iii8.5218.43,xi

xi8.52.78其中x为抽取的第i个零件的尺寸,i16.（1求i,ii,,16的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若r0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．（2一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在x3s,x3s

之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查．(i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?(ii)在x3s,x3s

之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0．01)附:样本i,yii,,

ixyiy n r ，0.008n in n ii

x2y

y262022年安徽省中小学教育教学论文评选【试题分析】（1）本题在代数据前需先理清解释变量为零件尺寸xi，预报变量为抽取次序i。（2）想要用上参考数据，必须很好的掌握相关系数的公式结构，能够看出公式的而发现它与标准差的联系，新教材中就特别强化了这一点），证明方法如下：n n n iiis21iii

xx2

x

x2s2

x

x2 nsn新教材中就是利用标准差

sx

1n 2xini1

nx

2sy

1n 2 yini1

ny

2和协方差Lxy

ixyiy来引入相关系数的这样处理不仅化不熟悉的相关系数为熟悉的n 1nn 1入不仅有助于学生掌握公式的结构，让学生从心理上接受这样一个看起来复杂的公式，更是在潜移默化中培养了学生的统计思维。n 1ixyiyn 1

ixyiyn r n in 1n 2

21n 2

2 n 2

n 2xi

nxyi

ny

ixyiyni1

ni1

布列中不仅给出了公式，并对它的应用做了详细的说明）：s2

1n 2 xi

s2

1n 2xi

2nx

s2

n 212xix12n

ni1

n列中同样适用。差的变形式可以大大简化计算。【剔除离群值9.22后的方差计算】解：剔除离群值9.22后零件尺寸的均值为16x9.22169.979.2210.02,15 1572022年安徽省中小学教育教学论文评选16

xx216x0.212,由s

1x

x2

1 2ii16i

16i1 16i得x20.2122169.9721591.13,i剔除离群值后新的方差为16

1x29.2221510.222

0.0080.09i15i1 i2．方差变形式的应用【2022年黄山市高一下期末·第20题】某校有高中生3600，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取了样本容量为n的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．方案二：按照性别分类进行简单随机抽样，抽取了男、女生样本容量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为172，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20．身高（单位：cm)，155)，165)，175)，185)，195]频数420q64n，q的值并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）；（2）计算方案二总样本的均值及方差；（3）你觉得是用方案一还是方案二总样本的均值作为总体均值的估计比较合适？（说明理由）82022年安徽省中小学教育教学论文评选【试题分析】问题等能力有较高要求,体现了新课改后考试试题注重的基础性、综合性、应用性和创计算量，降低难度，下面提供两种解法供大家对比。【第二问参考答案解答】【第二问优化解答】解：分别记男生样本为，x2， ，x25，女生样本为，y2， ，y25.92022年安徽省中小学教育教学论文评选男生的均值为x，方差为s2，女生的均值为y，方差为s2.x yx 166，则总样本均值z25 25 y25x 166，又因为

2525

2525 502 125 2 2 25 2

2 2 2sx2

xix2525125 2 2

xi25

25sxx2 2

25161722 2sy

yiy2525

yi

25syy

2520160所以总样本方差

2 12550s50i1

x2

25ii

2y2iy21216172222016021662501161722120160216622 2117221662116021662182四、思维拓展，利用∑证明回归分析中的结论回归分析中的一些常用结论的证明也需要用到∑的运算和变形：1.利用∑证明SSTSSESSRn 2 n 2证明：SSRˆiy为总偏差平方和，SSEyiˆi为残差平方，n 2 n

2 n 2 n

n 2yiyyiˆiˆiyyiˆi2yiˆiˆiyˆiyn 2SSTyiy为回归平方和.n欲证SSTSSESS，只需证yiˆiˆiy0nˆiyiˆˆxˆˆix102022年安徽省中小学教育教学论文评选n n

n

n 2yiˆiˆiyyiyyˆiˆiyyiyˆiyˆiyn n

2ˆyiyixˆˆixn yiyixn

iin n iinin

ˆ*ˆi

x2y

yx

xˆi

x2nyiˆiˆiyˆ*00n故：SSTSSESSR2.利用∑证明相关指数相关系数2n ixyiyn 证明：相关系数r i,n 2

n 2ixyiyn 2

n 2ˆi

y

xxi相关指数R21SSESSRi iin 2

n 2SST

SST

yii2

y

yii

ynn n