排列组合问题

排列组合问题也是公考中一个比重较大的问题，也是公考的重点和难点之一，也是进一步解答概率的基础。事实上，许多概率问题也可归结为排列组合问题。这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧，最终达到能够灵活运用。

先说排列组合，

分类用加法，分步用乘法，排列P与顺序有关，排列C与顺序无关

两个大类：

1、分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2

种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1+m2+…+mn种不同的方法．

2、分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1.m2…mn种不同的方法．

分类计数原理和分步计数原理区别

：

1、分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

2、分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

解决排列组合综合性问题的一般过程如下

1.认真审题弄清要做什么事

2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径

以下是解解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略

排列组合从解法上看，大致有以下几种：

(1)有附加条件的排列组合问题，大多需用分类讨论的方法；

(2)排列与组合的混合型问题，需分步骤，要用乘法原理解决；

3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻）那么不同的排法有多少

根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案．

解答：根据题意，使用倍分法，

五人并排站成一排，有A55种情况，

而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，

则其情况数目是相等的，

则B站在A的右边的情况数目为1/2×A55=60，

4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有多少？

首先计算4个数字填入4个空格的所有情况，进而分析计算四个数字全部相同，有1个数字相同的情况，有2个数字相同情况，有3个数字相同的情况数目，由事件间的相互关系，计算可得答案．

解答：根据题意，数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，共A44=24种填法，

其中，四个数字全部相同的有1种，

有1个数字相同的有4×2=8种情况，

有2个数字相同的有C42×1=6种情况，

有3个数字相同的情况不存在，

则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有24-1-8-6=9种，

5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.

例5.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是多少？

首先分析题目求不同的选法种数，故可先从10人中选出4个人，再在这4个人中选两个从事甲任务，剩下的两个人从事乙或丙任务，即可列出式子，求解得到答案．

解答：分析题目先从10人中选出4个人，再在这4个人中选两个从事甲任务，剩下的两个人从事乙丙任务．

故可列出：C104•C42•A22=2520．

6.全员分配问题分组法:

例6.5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）

由题意知先把5本书中的两本捆起来看做一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘得到结果．

解答：由题意知先把5本书中的两本捆起来看做一个元素共有C52，

这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有A44，

所以分法种数为C52•A44=240．

7.名额分配问题隔板法:

例7：10名优秀学生全部保送到7所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

由题意知十个报送名额之间没有区别，可将原问题转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空，使用插空法，相当于用6块档板插在9个间隔中，计算可得答案．

解答：根据题意，将10个名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，

可以转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空；

相当于用6块档板插在9个间隔中，

共有C96=84种不同方法．

所以名额分配的方法共有84种．

8.限制条件的分配问题分类法:

例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：

①若甲乙都不参加，则有派遣方案A84种

②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方