2021-2022学年山东省济南市历下区七年级（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年山东省济南市历下区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（体大题共12个小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、）1．（4分）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，博才实验中学积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）A．有症状早就医 B．防控疫情我们在一起 C．打喷嚏捂口鼻 D．勤洗手勤通风2．（4分）小明有两根长度为5cm，10cm的木棒，他想钉一个三角形木框，桌上有几根木棒供他选择，他有几种选择？（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种3．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数是（）A．35° B．45° C．55° D．125°4．（4分）“梦想从学习开始，事业从实践起步”，近来，每天登录“学习强国”APP，学精神、增能量、看文化、长见识已经成为一种学习新风尚．下面是小颖爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有关数据，则下列说法错误的是（）学习天数n（天）1234567周积分w/（分）55110165220275330385A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量 B．周积分随学习天数的增加而增加 C．周积分w与学习天数n的关系式为w＝55n D．天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同5．（4分）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a6 B．a8÷a4＝a2 C．a2•a3＝a6 D．（3ab）3＝9a3b36．（4分）下列说法正确的是（）A．小丽买一张体育彩票中“一等奖”是随机事件 B．任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“5次正面朝上”是必然事件 C．“清明时节雨纷纷”是必然事件 D．若a是有理数，则“|a|≥0”是不可能事件7．（4分）如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD是否符合标准，这是利用的什么数学原理呢？（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS8．（4分）一个质量均匀的正方体骰子，六个面分别标有1，2，3，4，5，6，任意掷一次骰子，掷出结果为“2的倍数”的概率为（）A． B． C． D．9．（4分）一个袋中装有3个红球，2个白球和4个黄球，每个球除颜色外均相同．从袋中任意摸出一个球，取到黄色球的概率为（）A． B． C． D．10．（4分）如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后再把BE折过去，使之与BA'重合，折痕为BD，若∠ABC＝52°，则∠EBD的度数为（）A．28° B．52° C．48° D．38°11．（4分）小颖给同学们讲了一个她自己编的“龟兔赛跑”的故事，小聪根据小颖讲的故事画出了如图所示的图象，表示了龟和兔已走路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，小华根据小聪画的图象得出了以下结论：（1）l1描述的是乌龟的行进情况，l2描述的是兔子的行进情况；（2）乌龟和兔子是从同一地点出发的；（3）乌龟和兔子在比赛途中相遇了两次；（4）在t3时刻，兔子在乌龟的前面．结论正确的有（）个A．4 B．3 C．2 D．112．（4分）如图，将△ABC沿AC所在的直线翻折得到△AB′C，再将△AB′C沿AB'所在的直线翻折得到△AB′C′，点B，B'，C′在同一条直线上，∠BAC＝∠α，则∠CB′B＝（）A．2α B．α C．90°﹣α D．90°﹣2α二、填空题（体大题共6个小题，每小题4分，共24分、）13．（4分）计算：（x+1）2＝．14．（4分）计算：（a2bc）2÷ab2c＝．15．（4分）如图是一个寻宝游戏的藏宝图，分别有“花朵”，“太阳”，“月亮”三种图案，宝物（只有一个）藏在“月亮”下的概率是．16．（4分）如图，AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上一点，若∠C＝62°，则∠DEB＝°．17．（4分）如图，梯形的上底是x，高是8，下底是15，面积是y，当x增加4时，y增加．18．（4分）如图，△EFG和△HIJ都是等边三角形，连接HG，EI交于点P，则∠EPH＝度．三、解答题（本大题共9个小题，共78分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：（1）（3x﹣y）（3x+y）+y（x+y）；（2）．20．（6分）（1）如图，在方格纸中，画出△ABC关于直线MN对称的图形△A1B1C1；（2）在对称轴MN上求一点P，使得PA+PC最短．21．（6分）先化简，再求值：x（x+y）﹣（x+1）2+2x，其中，x＝，y＝﹣2022．22．（8分）如图，AB＝AD，∠C＝∠E，∠BAE＝∠DAC．求证：AC＝AE．23．（8分）小蒙设计了两个抽奖游戏，游戏一是转盘游戏，如图，转盘被等分成了4个扇形，共有红、黄和蓝三种颜色，自由转动转盘，指针停在红色时会得到奖励；游戏二是摸球游戏，袋子里有2个红球、2个黄球和1个蓝球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球会得到奖励．小雨要参加抽奖游戏，你建议她参加哪一个游戏？请说明理由．24．（10分）如图，小长方形的长为a，宽为b，将七个这样的小长方形放在大长方形ABCD中，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积分别记为S1和S2．（1）若AB＝10，求S1﹣S2的值（用含有a，b的字母表示）；（2）若S1﹣S2的值为ab，求a与b的数量关系．25．（10分）在△ABC中，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD，CE相交于点O．（1）如图1，若∠ABC＝50°，∠ACB＝76°，求∠BOC的度数；（2）借助图1，若∠ABC＝α，∠ACB＝β，求∠BOC与∠A的关系；（3）如图2，若AB＝AC，求证：OE＝OD．26．（12分）小明从学校步行去美术馆，同时小红骑车从美术馆回学校，两人都沿同一条路直线运动，小红回到学校停留三分钟后又以同样的速度去美术馆，小明的速度是80米/分钟，如图是两人与学校的距离s（米）与小明的运动时间t（分钟）之间的关系图．（1）学校与美术馆之间的距离为米；（2）求小红停留再出发后s与t的关系式；（3）请直接写出小明和小红在途中相遇时小明的运动时间．27．（12分）在直角三角形中，三边存在特殊的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方，如图1，因为∠C＝90°，所以a2+b2＝c2．这种特殊的关系被称为勾股定理．勾股定理的证明方法非常丰富，达数百种之多，其中比较出名的，有东汉数学家赵爽的“勾股圆方图”（见《周髀算经》）和欧几里得的证法（见《几何原本》）．（1）赵爽的证明方法：如图2，四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，中间空白的部分是小正方形，设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则小正方形的边长为（b﹣a）；在此基础上，大正方形的面积可以直接表示为，还可以表示为四个直角三角形与小正方形的面积之和，为.于是得到等式；化简后可得a2+b2＝c2（2）欧几里得的证明方法：．①如图3，设Rt△ABC的两条直角边分别为a和b，斜边为c，分别以这三条边为边，向外做三个正方形，得到正方形ADEB，正方形ACFG和正方形BHKC，连接EC与AH，做AN⊥HK交HK于N，交BC于M，首先请证明△EBC≌△ABH．②∵△EBC≌△ABH，∴S△EBC＝S△ABH，∵正方形ADEB与△EBC同底等高，长方形BHNM与△ABH同底等高，∴S正方形ADEB＝2S△EBC，S长方形BHNM＝，∴S正方形ADEB＝，同理可得，S正方形ACFG＝S长方形MNKC，所以S正方形BHKC＝S长方形BHNM+S长方形MNKC＝S正方形ADEB+S正方形ADEB，即c2＝a2+b2．

2021-2022学年山东省济南市历下区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（体大题共12个小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、）1．（4分）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，博才实验中学积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）A．有症状早就医 B．防控疫情我们在一起 C．打喷嚏捂口鼻 D．勤洗手勤通风【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，不合题意．故选：B．2．（4分）小明有两根长度为5cm，10cm的木棒，他想钉一个三角形木框，桌上有几根木棒供他选择，他有几种选择？（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【解答】解：设第三根木棒的长度为xcm，∵小明有两根长度为5cm和10cm的木棒，∴10﹣5＜x＜10+5，即：5＜x＜15，10cm和12cm适合，故选：B．3．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数是（）A．35° B．45° C．55° D．125°【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠3＝∠1＝55°，∴∠2＝∠3＝55°．故选：C．4．（4分）“梦想从学习开始，事业从实践起步”，近来，每天登录“学习强国”APP，学精神、增能量、看文化、长见识已经成为一种学习新风尚．下面是小颖爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有关数据，则下列说法错误的是（）学习天数n（天）1234567周积分w/（分）55110165220275330385A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量 B．周积分随学习天数的增加而增加 C．周积分w与学习天数n的关系式为w＝55n D．天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同【解答】解：A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量，所以选项A正确，不符合题意；B．周积分随着天数的增加而增加，是正确的，因此选项B不符合题意；C．周积分w与学习天数n的关系式为w＝55n，因此选项C正确，不符合题意；D．天数每增加1天，周积分的增长量都是55，因此选项D是错误的，符合题意；故选：D．5．（4分）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a6 B．a8÷a4＝a2 C．a2•a3＝a6 D．（3ab）3＝9a3b3【解答】解：A．因为（a2）3＝a2×3＝a6，所以A选项运算正确，故A选项符合题意；B．因为a8÷a4＝a8﹣4＝a4，所以B选项运算不正确，故B选项不符合题意；C．因为a2•a3＝a2+3＝a5，所以C选项运算不正确，故C选项不符合题意；D．因为（3ab）3＝27a3b3，所以D选项运算不正确，故D选项不符合题意．故选：A．6．（4分）下列说法正确的是（）A．小丽买一张体育彩票中“一等奖”是随机事件 B．任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“5次正面朝上”是必然事件 C．“清明时节雨纷纷”是必然事件 D．若a是有理数，则“|a|≥0”是不可能事件【解答】解：A选项，小丽买一张体育彩票中“一等奖”，这是一个随机事件，故该选项符合题意；B选项，任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“5次正面朝上”，这是一个随机事件，故该选项不符合题意；C选项，“清明时节雨纷纷”，这是一个随机事件，故该选项不符合题意；D选项，若a是有理数，则“|a|≥0”，这是必然事件，故该选项不符合题意；故选：A．7．（4分）如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD是否符合标准，这是利用的什么数学原理呢？（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：∵两根钢条AB，CD的中点O连在一起，∴OA＝OB，OC＝OD，∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS）．∴AC＝BD．故选：B．8．（4分）一个质量均匀的正方体骰子，六个面分别标有1，2，3，4，5，6，任意掷一次骰子，掷出结果为“2的倍数”的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：∵1，2，3，4，5，6中是2的倍数的有2，4，6，∴任意掷一次骰子，掷出结果为“2的倍数”的概率为＝，故选：D．9．（4分）一个袋中装有3个红球，2个白球和4个黄球，每个球除颜色外均相同．从袋中任意摸出一个球，取到黄色球的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：∵一个袋中装有3个红球，2个白球和4个黄球，∴从袋中任意摸出一个球，取到黄色球的概率为＝，故选：C．10．（4分）如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后再把BE折过去，使之与BA'重合，折痕为BD，若∠ABC＝52°，则∠EBD的度数为（）A．28° B．52° C．48° D．38°【解答】解：根据折叠得出∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD，又∵∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD＝180°，∴∠ABC+∠EBD＝90°，∵∠ABC＝52°，∴∠EBD＝38°．故选：D．11．（4分）小颖给同学们讲了一个她自己编的“龟兔赛跑”的故事，小聪根据小颖讲的故事画出了如图所示的图象，表示了龟和兔已走路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，小华根据小聪画的图象得出了以下结论：（1）l1描述的是乌龟的行进情况，l2描述的是兔子的行进情况；（2）乌龟和兔子是从同一地点出发的；（3）乌龟和兔子在比赛途中相遇了两次；（4）在t3时刻，兔子在乌龟的前面．结论正确的有（）个A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：根据“龟兔赛跑”的故事，兔子在比赛过程中睡了一觉，∴l1描述的是乌龟的行进情况，l2描述的是兔子的行进情况，故（1）正确；∵乌龟和兔子刚出发时，S＝0，∴乌龟和兔子是从同一地点出发的，故（2）正确；由图象可知，l1与l2有两个交点，∴乌龟和兔子在比赛途中相遇了两次，故（3）正确；由图象可知，在t3时刻，兔子在乌龟的前面，故（4）正确，∴正确的有（1）（2）（3）（4），故选：A．12．（4分）如图，将△ABC沿AC所在的直线翻折得到△AB′C，再将△AB′C沿AB'所在的直线翻折得到△AB′C′，点B，B'，C′在同一条直线上，∠BAC＝∠α，则∠CB′B＝（）A．2α B．α C．90°﹣α D．90°﹣2α【解答】解：由翻折可知：∠B′AC′＝∠B′AC＝∠BAC＝∠α，∠AB′C′＝∠AB′C，∴∠AB′B＝90°﹣∠B′AC＝90°﹣∠α，∴∠AB′C′＝180°﹣∠AB′B＝180°﹣（90°﹣∠α）＝90°+∠α，∴∠AB′C＝90°+∠α，∴∠CB′B＝∠AB′C﹣∠AB′B＝90°+∠α﹣（90°﹣∠α）＝2∠α，∴∠CB′B＝2α．故选：A．二、填空题（体大题共6个小题，每小题4分，共24分、）13．（4分）计算：（x+1）2＝x2+2x+1．【解答】解：（x+1）2＝x2+2x+1，故答案为：x2+2x+1．14．（4分）计算：（a2bc）2÷ab2c＝a3c．【解答】解：原式＝a4b2c2÷ab2c＝a3c．故答案为：a3c．15．（4分）如图是一个寻宝游戏的藏宝图，分别有“花朵”，“太阳”，“月亮”三种图案，宝物（只有一个）藏在“月亮”下的概率是．【解答】解：∵共有12个方格，其中月亮占5个方格，∴宝物（只有一个）藏在“月亮”下的概率是．故答案为：．16．（4分）如图，AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上一点，若∠C＝62°，则∠DEB＝28°．【解答】解：∵AB是线段CD的垂直平分线，∠C＝62°，∴EC＝ED，∴∠D＝∠C＝62°，∵EB⊥CD，∴∠DEB＝90°﹣∠D＝28°，故答案为：28．17．（4分）如图，梯形的上底是x，高是8，下底是15，面积是y，当x增加4时，y增加16．【解答】解：由图形可得出：y＝×8×（15+x）＝4x+60；由梯形面积公式的函数关系可知，当x每增加1时，y增加4，当x增加4时，y增加16，故答案为：16．18．（4分）如图，△EFG和△HIJ都是等边三角形，连接HG，EI交于点P，则∠EPH＝60度．【解答】解：在等边△EFG中，∠F＝∠G＝60°，FG＝GE，∴∠FHI+∠FIH＝120°，在等边△HIJ中，∠HIJ＝60°，HI＝JI，∴∠FIH+∠JIG＝120°，∴∠FHI＝∠JIG，在△FIH和△GJI中，，∴△FIH≌△GJI（AAS），∴FH＝GI，在△FGH和△GEI中，，∴△FGH≌△GEI（SAS），∴∠FGH＝∠GEI，∵∠FGH+∠HGE＝60°，∴∠GEI+∠HGE＝60°，∴∠EPH＝60°，故答案为：60．三、解答题（本大题共9个小题，共78分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：（1）（3x﹣y）（3x+y）+y（x+y）；（2）．【解答】解：（1）原式＝9x2﹣y2+xy+y2＝9x2+xy．（2）原式＝1÷（﹣3）2＝1÷9＝．20．（6分）（1）如图，在方格纸中，画出△ABC关于直线MN对称的图形△A1B1C1；（2）在对称轴MN上求一点P，使得PA+PC最短．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，点P即为所求．21．（6分）先化简，再求值：x（x+y）﹣（x+1）2+2x，其中，x＝，y＝﹣2022．【解答】解：x（x+y）﹣（x+1）2+2x＝x2+xy﹣x2﹣2x﹣1+2x＝xy﹣1，当x＝，y＝﹣2022时，原式＝×（﹣2022）﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2．22．（8分）如图，AB＝AD，∠C＝∠E，∠BAE＝∠DAC．求证：AC＝AE．【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，即∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（AAS），∴AC＝AE．23．（8分）小蒙设计了两个抽奖游戏，游戏一是转盘游戏，如图，转盘被等分成了4个扇形，共有红、黄和蓝三种颜色，自由转动转盘，指针停在红色时会得到奖励；游戏二是摸球游戏，袋子里有2个红球、2个黄球和1个蓝球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球会得到奖励．小雨要参加抽奖游戏，你建议她参加哪一个游戏？请说明理由．【解答】解：游戏一：由于转盘被等分成了4个扇形，红色占2份，因此指向红色的概率，即获奖的概率为＝，游戏二：袋子里有2个红球、2个黄球和1个蓝球，摸出1球是红色的概率为＝，因为＞，所以选择游戏一获得奖励的可能性较大．24．（10分）如图，小长方形的长为a，宽为b，将七个这样的小长方形放在大长方形ABCD中，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积分别记为S1和S2．（1）若AB＝10，求S1﹣S2的值（用含有a，b的字母表示）；（2）若S1﹣S2的值为ab，求a与b的数量关系．【解答】解：（1）设S1的长为x，宽为a，S2的长为y，宽为2b，则AB＝3b+x，AD＝a+2b，CD＝y+2a，在大长方形ABCD中，AB＝CD＝10，∴3b+x＝y+2a＝10，∴x＝10﹣3b，y＝10﹣2a，∴S1﹣S2＝ax﹣2by＝a（10﹣3b）﹣2b（10﹣2a）＝10a﹣3ab﹣20b+4ab＝10a﹣20b+ab；（2）由（1）知：S1﹣S2＝10a﹣20b+ab，又∵S1﹣S2的值为ab，∴10a﹣20b+ab＝ab，∴a＝2b．25．（10分）在△ABC中，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD，CE相交于点O．（1）如图1，若∠ABC＝50°，∠ACB＝76°，求∠BOC的度数；（2）借助图1，若∠ABC＝α，∠ACB＝β，求∠BOC与∠A的关系；（3）如图2，若AB＝AC，求证：OE＝OD．【解答】（1）解：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝76°，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBC＝∠ABC＝25°，∠ECB＝∠ACB＝38°，∵∠DBC+∠ECB+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180°﹣25°﹣38°＝117°；（2）解：∵∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴180°﹣∠A＝α+β，∵BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBC＝α，∠ECB＝β，∵∠DBC+∠ECB+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180°﹣（α+β），∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A；（3）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB，在△BCE和△CBD中，，∴△BCE≌△CBD（ASA），∴CE＝BD，∵∠DBC＝∠ECB，∴OB＝OC，∴CE﹣OC＝BD﹣OB，即OE＝OD．26．（12分）小明从学校步行去美术馆，同时小红骑车从美术馆回学校，两人都沿同一条路直线运动，小红回到学校停留三分钟后又以同样的速度去美术馆，小明的速度是80米/分钟，如图是两人与学校的距离s（米）与小明的运动时间t（分钟）之间的关系图．（1）学校与美术馆之间的距离为1600米；（2）求小红停留再出发后s与t的关系式；（3）请直接写出小明和小红在途中相遇时小明的运动时间．【解答】解：（1）20×80＝1600（m），∴学校与美术馆的距离是1600m，故答案为：1600；（2）由图可得，小红的速度是1600÷2＝800（m/min），把（5，0）和（7，1600）代入s＝kt+b得，解得：，所以小红停留再出发后s与t的关系式为s＝800t﹣4000；（3）小红从美术馆回学校的途中，设t分钟时两人相遇，则80t+800t＝1600，解得