线性sdof体系共振响应的hh谱分析

线性sdof体系共振响应的hh谱分析

结构动力学研究对线性sdo系统的动态反应分析具有一定的理论和实际意义。结构体系的强迫动力响应时程不仅包含结构自身动力特性方面的信息,而且也包含着体系输入方面的信息。Hilbert变换是一种物理意义明确的积分变换形式,在某些情况下它能够揭示时程或信号所蕴含的物理机制。Feldman曾经将Hilbert变换应用于单自由度体系的动力反应分析方面,并且他也利用Hilbert变换对非线性单自由度体系的动力特性进行了识别,但是其研究存在着一定的局限性。希尔伯特-黄变换(Hilbert-HuangTransform,简称HHT)是由Huang在经典的Hilbert变换的基础上提出的一种新的非平稳信号的处理方法,其处理信号所得到的本征振动模态与Hilbert谱与信号所描述系统的物理机制基本上一致。该方法在场地液化物理过程的识别与双线性动力响应特征的研究中得到了初步的应用。本文将通过利用HHT方法分析线性SDOF体系共振动力响应这一基本的结构动力学问题,一方面深入验证HHT方法所得结果的物理意义,另一方面也为该方法的进一步应用提供一定的思路。基于此,本文重点讨论线性SDOF体系在简谐波、线性调频波与正弦调频波输入下处于共振状态时,其动力响应的Hilbert谱与本征振动模态的特征,并且将Hilbert谱、Morlet小波谱及Fourier幅值谱所蕴含的物理意义及分辨率特性进行了比较。所谓的“共振状态”是指:(1)对于简谐波而言,其频率与结构的自振频率相等;(2)对于线性调频波和正弦调频波而言,其瞬时频率在规则的非平稳变化过程中存在与结构自振频率相等的时刻。1强迫振动反应体系设线性单自由度振动体系在输入加速度ag(t)的作用下产生强迫振动。体系的本构关系为线性弹性,并且其刚度k、质量m与阻尼c在振子振动过程中保持不变。振子振动过程中其输出绝对加速度为aa(t)。1.1系统的振动特性将体系的质量m取为107kg,刚度k取为4×108N/m,则体系无阻尼自振频率fc为1.007Hz;体系的输入加速度ag(t)是幅值为2m/s2、频率为1.007Hz的余弦波。将时间步长取为0.001s,计算总的时间取为20.0s,采用线性加速度法可计算得出结构的绝对加速度反应aa(t),其波形与Fourier幅值谱如图1(a)所示。从中可以看出体系的振动达到了共振状态。在图1(a)所示aa(t)的Fourier幅值谱中可以清楚地看出在1Hz附近出现了一个谱值非常高的峰值点,但从中却无法分辨出aa(t)幅值随时间逐渐增加的共振特性。aa(t)的Hilbert谱与Morlet小波谱分别如图1(b)、图1(c)所示。Hilbert谱与Morlet小波谱均是在时间-频率平面上描述信号或时程能量的分布;在图1(b)、图1(c)中,横轴表示时间,纵轴表示频率,而不同时频坐标处颜色的深浅则描述了信号能量或幅值的大小。aa(t)的Hilbert谱为1.0Hz附近的一条极细的频带,其颜色随时间的加深体现了体系的共振,它所蕴含的信息与结构共振现象所蕴涵的物理机制是一致的,即在共振状态下SDOF体系动力响应的频率与其自振频率相等,而其幅值越来越大,如图1(a)所示。在Morlet小波谱中,能量也是集中在1.0Hz附近的频带上,其颜色也是随时间而加深的,体现出了共振现象,但其带宽却随着时间的持续而加大,这是没有明确物理意义的。1.2furing幅值谱图及自振特性分析将体系的质量m取为107kg,刚度k取为1.6×109N/m,阻尼c取为0,则体系无阻尼自振频率fc为2.013Hz。体系的输入运动ag(t)为幅值为1m/s2、载波频率为0.5Hz的线性调频波:ag(t)=cos(πf1t2+2πf2t)ag(t)=cos(πf1t2+2πf2t)其瞬时频率时程为:fi(t)=12πddt(πf1t2+2πf2t)=f1t+f2(Hz)fi(t)=12πddt(πf1t2+2πf2t)=f1t+f2(Ηz)其中,f1=0.1s-2,f2=0.5Hz。可以看出,在15s处,输入加速度波的瞬时频率为2.0Hz,与体系的自振频率大致相等。因此在15s左右,按照本文对线性调频波输入下“共振状态”的定义,体系的振动将会达到共振状态。首先分析一下无阻尼的情形。在无阻尼条件下,体系输出绝对加速度aa(t)及其Fourier幅值谱如图2(a)所示。在采用线性加速度方法进行数值计算的过程中,时间步长取为0.001s,计算时间从0s取到160s,为了表示清楚,图2(a)仅给出了aa(t)前40s的部分波形。从aa(t)的时程中可以看出,在13s左右由于输入加速度的瞬时频率越来越接近体系的自振频率,体系动力响应的幅值开始增大,在大约18s左右增大到最大值之后,aa(t)的幅值基本保持在20m/s2,频率保持在2.0Hz(体系的自振频率)左右。因此在aa(t)的Fourier幅值谱中,2Hz附近的谱值明显高于其他频率处的谱值,但从中我们不容易直观地识别出输入线性调频波对体系动力响应的直接贡献。aa(t)的Hilbert谱与其前2个主要IMF分量c1(t)、c2(t)的波形分别如图2(b)、图3(a)所示;c1(t)与c2(t)的瞬时频率时程fi1(t)、fi2(t)如图3(b)所示,图中虚线分别表示体系的自振频率与输入线性调频波瞬时频率的变化。其中c1(t)与c2(t)也就是体系强迫动力响应的本征振动模态。从以上3图中可以看出,在大约10s之前的初始阶段,体系动力响应的幅值较小,而且包含2个主要的IMF分量。高频分量c1(t)的频率保持在2Hz左右,描述的是体系的自振特性对体系反应的直接贡献,即体系动力响应的瞬态反应部分;由于体系无阻尼,在该时段,此分量的幅值几乎无衰减,如图3(a)所示。低频分量c2(t)的频率呈线性增加趋势,在此阶段,其描述的是输入加速度ag(t)对体系反应的直接影响,即ag(t)引起的体系动力响应中的稳态反应部分;在该阶段前半段(0~5s),该分量的幅值逐渐增加,而在5s左右达到最大值后开始降低,在10s左右几乎降低为0,如图3(a)所示。此外,在10s附近,由于c1(t)与c2(t)的幅值较低以及Gibbs现象,通过Hilbert变换计算得到的瞬时频率fi1(t)与fi2(t)出现了较大的波动,如图2(b)、图3(b)所示。在大约10s~20s之间的时段内,输入加速度ag(t)的瞬时频率逐渐接近体系的共振频率,在15s附近,ag(t)的瞬时频率与体系自振频率相等。体系动力响应的幅值越来越大,体系的振动逐渐达到共振状态。因此,在该时段,与体系的瞬态反应相比,ag(t)引起的体系稳态反应成为体系动力响应aa(t)的主要成分,aa(t)的能量相对地集中在ag(t)的瞬时频率附近,如图2(b)所示,从中已无法识别出描述体系瞬态反应的成分,而且由于Hilbert变换的Gibbs效应及数值微分所造成的误差,在这一阶段,c1(t)与c2(t)的瞬时频率时程出现了较大的波动,如图3(b)所示。在此阶段,c1(t)的幅值逐渐增加,并在大约18s处增加到最大值;其频率在10s左右由2Hz下降到最小值后开始大体沿着ag(t)瞬时频率的线性方向升高,逐渐达到2Hz;而且相比c2(t),其幅值非常高,因此,它描述了这一阶段ag(t)引起的体系稳态反应部分。而c2(t)的频率则偏离了原来线性增加的方向;其幅值基本保持为0,其瞬时频率fi2(t)出现的较大波动与其非常低的幅值有关。在大约20s之后,体系输入加速度ag(t)的瞬时频率逐渐增高,远离体系的自振频率,体系不再处于共振状态。但是,由于体系无阻尼,因此由前一阶段体系共振所引起的这一阶段体系的瞬态反应无衰减,并且成为体系振动的主要成分;与之相比,由于输入加速度ag(t)的瞬时频率逐渐远离体系的自振频率,所以ag(t)所引起的体系稳态反应在体系动力响应aa(t)中所占比重较小。因此,在这一时间段内,首先,体系动力响应的能量集中在体系的自振频率处,即2Hz处,而且与第一阶段相比,该阶段的谱值非常高,如图2(b)所示;其次,Hilbert谱已识别不出ag(t)所引起的体系稳态反应。在这一阶段中,aa(t)的IMF分量c1(t)的频率与幅值几乎保持不变,它描述了前一阶段体系共振所引起的该阶段体系的瞬态反应。而在此阶段中,分量c2(t)在大约20s~50s之间、60s~90s之间与100s~130s之间出现了一系列波包,这些波包有如下特点:(1)在任一个波包内,振动的幅度先升高后降低,而频率则是先降低后升高,并且频率的升高与降低基本上沿着线性方向;(2)随着时间的延续,波包的幅值下降,而且在初始阶段下降得非常快;(3)波包的形状有一定的相似性,这就导致了不同波包瞬时频率的变化有一定的周期性;(4)20s~50s之间波包的前半部分与10s之前的波包在形状上有一定的对称性;(5)不同波包之间相隔大约10s,在此间隔内c2(t)的幅值基本为0,这就使得在实际计算过程中出现了大量毫无意义的瞬时频率的高频峰值点,事实上在这些间隔内,c2(t)瞬时频率的值应为0。在分量c2(t)中,这些波包的频率与波形都呈现出一定的周期性,因此它们有可能蕴涵着某种物理意义,但是尚需深入研究。从另一种角度来讲,这些波包的幅值是非常小的,最大的幅值仅为c1(t)幅值的1/20,而且在20s之后,经验模态分解(EMD)并未分解出描述输入线性调频波对aa(t)直接影响的IMF分量来,因此,这些波包的出现也有可能是EMD方法本身的数值误差造成的。下面分析一下有阻尼的情形。将体系阻尼比取为0.01,则体系有阻尼自振频率约为2.013Hz。体系输出绝对加速度反应aa(t)及相应的Fourier幅值谱如图4(a)所示。从aa(t)的波形可以看出,在15s左右体系的振动达到共振状态之后,由于阻尼的存在,而且输入运动的频率逐渐远离体系自振频率,体系动力响应的幅值开始呈指数下降;aa(t)的Fourier幅值谱仍然在2Hz附近有一个峰值点,而且其带宽较无阻尼情况有所增加,除此之外,从中很难明确地识别出其他信息。aa(t)的Hilbert谱与前2个主要IMF分量c1(t)、c2(t)如图4(b)、图5(a)所示;c1(t)与c2(t)的瞬时频率时程fi1(t)、fi2(t)如图5(b)所示,图中虚线分别表示体系的自振频率与输入线性调频波瞬时频率的变化。由于体系存在小的阻尼,因此在最初的5s内,描述体系瞬态反应的分量c1(t)的幅值呈指数衰减,其频率保持在2.0Hz左右;描述输入线性调频波引起的体系稳态反应部分的分量c2(t)的频率呈线性增加趋势,其幅值先增加后降低。在5s之后,由于体系瞬态反应几乎衰减为0,而且ag(t)所引起的体系动力响应中的稳态反应部分的幅值随着ag(t)的瞬时频率越来越逼近体系的自振频率而逐渐增加,因此,在5s至大约18s这一时段内,体系的振动主要来自输入加速度ag(t)所引起的稳态反应部分。在图4(b)所示的Hilbert谱中,在该时段,仅有一个主要分量,其频率呈线性增加的趋势,与ag(t)的瞬时频率一致。在这一阶段中,c1(t)的频率自2Hz下降到最低点后开始沿着ag(t)的瞬时频率的发展方向线性增长,所以在该阶段,c1(t)描述了输入加速度所引起的体系稳态反应,并且体系动力响应aa(t)的主要能量都集中在c1(t)上。由于ag(t)的瞬时频率逐渐逼近体系的自振频率,并在15s处等于体系的自振频率,所以c1(t)的幅值越来越大,体系的振动也逐渐达到共振状态。在这一阶段中,c2(t)的幅值基本上为0;由于计算上的误差,此阶段c2(t)的瞬时频率时程fi2(t)出现了许多不规则的峰值点,如图5(b)所示,但是在这些时刻,由于c2(t)的幅值非常小,它们不会在图4(b)所示的Hilbert谱中引起较大的误差,从而导致Hilbert谱失去应有的精度。在大约18s~45s这一时段内,从图4(b)所示的Hilbert谱中可以明显地识别出2个分量:描述体系瞬态反应的分量c1(t)及分量c2(t)。c1(t)的瞬时频率在2.0Hz附近波动,而且波动幅度越来越大,这是由数值误差引起的;由于体系存在着阻尼,所以c1(t)的幅值呈指数衰减,这使得前一阶段体系共振产生的效应越来越小。分量c2(t)的波形与瞬时频率的变化类似于图3(a)所示分量c2(t)在20s~50s之间的波包。在该阶段,尽管描述体系瞬态反应的分量c1(t)的幅值呈指数衰减,但其值仍然较大,输入加速度ag(t)所引起的体系稳态反应在体系总的响应中所占比重依然很低,因此,在该时段,在图4(b)所示的Hilbert谱中我们依然无法识别出输入线性调频波对体系动力响应的直接贡献。在45s之后,由于共振引起的体系瞬态反应衰减到一个非常低的水平,这时输入加速度ag(t)所引起的稳态反应部分在体系总的响应中所占比重不容忽视,因此图4(b)所示的Hilbert谱中的2个IMF分量分别改变了各自原有意义。c1(t)的瞬时频率呈线性增长趋势,与输入波形瞬时频率的变化相一致,它描述了输入加速度ag(t)所引起的体系振动中的稳态反应部分。由于ag(t)的瞬时频率逐渐远离体系的自振频率,所以c1(t)的幅值逐渐降低,在图4(b)中即表现出其颜色越来越浅。分量c2(t)在此阶段则描述了体系振动中的瞬态反应部分,其波形是上一阶段c1(t)波形的延续,其频率保持在2.0Hz附近,其幅值呈指数衰减,并且在90s左右几乎衰减为0,如图4(b)所示。在此阶段,当描述ag(t)所引起的稳态反应的IMF分量出现之后,图4(b)所示的Hilbert谱中并未出现类似于图2(b)所示的Hilbert谱中的波包系列。通过以上讨论可以看出,随着阻尼比的加大,体系共振后,其动力响应的Hilbert谱中描述输入引起的体系振动中的稳态反应部分的IMF分量c1(t)出现得越早,分量c2(t)中的波包消失得也越早。最后,给出阻尼比ζ=0.0与ζ=0.01两种情形下体系动力响应的Morlet小波谱,分别如图6(a)、图6(b)所示。通过图6(a)与图2(b)之间、图6(b)与图4(b)之间的比较可以看出,Morlet小波谱中并未出现类似于Hilbert谱中的波包系列,而且对于0阻尼情形,体系共振后,小波谱也识别不出输入所引起的体系动力响应中的稳态反应部分,而对于有阻尼情形,体系共振后小波谱则也可以识别出体系的稳态反应。但是,从整体来说,小波谱的分辨率明显低于Hilbert谱。Hilbert谱在0阻尼情形下出现的波包系列是否具备物理意义尚需深入研究。1.3体系的自振及幅值调制首先分析一下无阻尼情形。将体系的质量m和刚度k分别取为107kg与4×108N/m,则体系无阻尼自振频率fc为1.007Hz。体系的输入运动为幅值为2m/s2、载波频率为1.0Hz的正弦调频波:ag(t)=2cos[sin(2πf1t)+2πf2t]ag(t)=2cos[sin(2πf1t)+2πf2t]其中,f1=0.5Hz,f2=1.0Hz。该输入加速度的瞬时频率的解析表达式为fi(t)=f1cos(2πf1t)+f2,即它在1Hz上下(即体系的自振频率上下)作余弦波动,从中可以看出体系的振动每隔一定的时间(T=1/f1=1.0s)就会达到共振状态。0阻尼体系在此输入下的绝对加速度反应aa(t)及其Hilbert谱如图7所示。aa(t)的波形类似于简谐波输入下无阻尼体系共振状态下动力响应的波形。这是因为每隔1s,输入加速度波的瞬时频率就会与体系自振频率相等,体系的振动就会达到共振状态;而且体系无阻尼,由共振状态所导致的体系瞬态反应无衰减,如此累积下来,体系动力响应的幅度就会越来越大。由于aa(t)的波形类似于简谐波输入下共振状态的波形,因此其Hilbert谱在1Hz(体系的自振频率)处有一个极窄的频带,该频带的产生是由数值误差及谱的平滑作用造成的,从理论上应该为1Hz处的一条直线,不存在带宽。这条频带的颜色由浅逐渐加深,描述了体系的共振效应。由于体系处于共振状态,因此从aa(t)的Hilbert谱中无法识别出输入正弦调频加速度波中其他瞬时频率成分的影响。下面再来分析一下有阻尼情形。将体系的质量、阻尼和刚度分别取为:m=1×107kg;c=1×107N·s/m;k=4×108N/m则体系的阻尼比、无阻尼自振频率与有阻尼自振频率分别为:ζ=0.08;fc=1.007Hz;fd=1.003Hz体系的输入依然为上述正弦调频加速度波。体系在此输入下的绝对加速度反应aa(t)及其Fourier幅值谱如图8(a)所示;与图7(a)所示无阻尼情形下体系动力响应的Fourier幅值谱相比,图8(a)所示的Fourier幅值谱在0.5Hz处出现了一个谱值较大的谐波分量,描述了aa(t)波形中的幅值调制现象。aa(t)的Hilbert谱如图8(b)所示。aa(t)的波形类似于简谐波输入下有阻尼体系共振状态下动力响应的波形,但是与它不同的是aa(t)的波形中出现了幅值的调制现象。这是因为在共振状态下,体系输入简谐波的瞬时频率一直保持为体系的自振频率,而体系输入正弦调频波的瞬时频率则在体系的自振频率处作正弦波动,其波动的频率为f1(f1=0.5Hz),即输入加速度的瞬时频率并非一直等于体系的自振频率,而是按照一定的周期在某些时刻使得体系达到共振状态,这就使得图8(a)所示的波形出现了幅值调制现象。也正因为如此,在aa(t)的Hilbert谱中出现了频率为0.5Hz的IMF分量,它即描述了aa(t)波形中出现的幅值调制。此外,由于体系的阻尼比较大,体系共振状态所导致的体系瞬态反应衰减较快,因此输入正弦调频加速度波中在1Hz附近的其他瞬时频率分量对体系动力响应的直接贡献(即它们所引起的体系的稳态反应)在体系总反应中所占比重相对无阻尼体系来讲也是相当大的,所以在aa(t)的Hilbert谱中,1Hz处的能量占优的IMF分量的瞬时频率在1Hz附近有一定的波动,其波动的频率为0.5Hz,与输入波形瞬时频率的波动频率相当,而且其波动的形式也类似于正弦波;但是其波动的幅度明显低于输入波形的瞬时频率波动,这是因为距离1Hz越远瞬时频率分量对体系动力响应的贡献越小,Hilbert谱已无法识别出这些频率分量对体系动力响应的贡献。最后,分别给出图7(a)与图8(a)所示体系输出绝对加速度反应的Morlet小波谱,如图9(a)、图9(b)所示。可以看出,图7(b)与图9(a)、图8(b)与图9(b)之间在能量分