三角形的中位线

如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD、CE，交于点P．求证：四边形ABPE是平行四边形．证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴正五边形的每个内角的度数是AB=BC=CD=DE=AE，∴∠DEC=∠DCE=×(180°-108°)=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°-36°=72°，∴∠BPE=360°-108°-72°-72°=108°=∠A，∴四边形ABPE是平行四边形．ABCDEP第一页第二页，共22页。情境引入学习目标1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.（重点）2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.(重点）第二页第三页，共22页。导入新课复习引入ABC

在三角形中，连接一个

和它的

的

叫做三角形的中线.顶点顶点D中点DE是三角形的什么呢？E中点

它就是我们这节课要学习的三角形的中位线.顶点对边中点线段第三页第四页，共22页。讲授新课三角形的中位线定理一探究与思考1.你能给“三角形中位线”下个定义吗？ABC中点D中点E2.一个三角形有几条中位线？3.三角形的中位线与中线有什么区别？答：三条.答：中位线是连接三角形两边中点的线段.

中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段.F定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.第四页第五页，共22页。问题1：如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？DE两条线段的关系位置关系数量关系分析：DE与BC的关系猜想：DE∥BC？度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论．问题2：第五页第六页，共22页。平行角平行四边形或线段相等一条线段是另一条线段的一半倍长短线分析1：DE猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．问题3：如何证明你的猜想？第六页第七页，共22页。分析2：DE互相平分构造平行四边形倍长DE第七页第八页，共22页。证明：DE延长DE到F，使EF=DE．连接AF、CF、DC

．∵AE=EC，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形．F∴四边形BCFD是平行四边形．∴CF

AD．∴CF

BD．又，∴DF

BC．∴DE∥BC，．第八页第九页，共22页。DE证明：延长DE到F，使EF=DE．F∴四边形BCFD是平行四边形．∴△ADE≌△CFE．∴∠ADE=∠F连接FC．∵∠AED=∠CEF，AE=CE，证法2：，ADCF．∴BDCF．又，∴DF

BC．∴DE∥BC，．第九页第十页，共22页。

三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．DE△ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，则DE∥BC，DE=BC．三角形中位线定理：符号语言：知识要点第十页第十一页，共22页。典例精析

例1

如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长解：∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝2DF＝6.123第十一页第十二页，共22页。

如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点．（1）

若DE=5，则BC=

．（2）

若∠B=65°，则∠ADE=

°．（3）

若DE+BC=12，则BC=

．1065x2xx+2x=12x=48练一练第十二页第十三页，共22页。例1如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．四边形问题连接对角线三角形问题（三角形中位线定理）三角形的中位线的综合运用二第十三页第十四页，共22页。证明:连接AC.∵E,F,G,H分别为各边的中点,∴EF∥HG,EF=HG.∴EF∥AC,HG∥AC,∴四边形EFGH是平行四边形.

顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.归纳第十四页第十五页，共22页。如图,在四边形ABCD中,AD=BC，E,F分别是边AB,CD的中点，G为对角线BD的中点.求证:△EFG是等腰三角形.DCBGAFE证明：在△ABD中∵E,G分别是边AB,BD的中点，∴EG=AD，∴同理FG=BC；又∵AD=BC，∴EG=FG，∴△EFG是等腰三角形.做一做第十五页第十六页，共22页。2.如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长．解：∵▱ABCD的周长为36，∴BC+CD=18．∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，∴OE=BC，∴△DOE的周长为OD+OE+DE=（BD+BC+CD）=15，即△DOE的周长为15．第十六页第十七页，共22页。当堂练习1.已知：如图，点D、E、F分别是△ABC的三边

AB、BC、AC的中点.（1）若∠ADF=50°，则∠B=

°；（2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，则△DEF的周长为

.5015ABCDFE第十七页第十八页，共22页。2.如图：如果AD=AC，AE=AB，DE=2cm，那么BC=

cm.ABDCE3.在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、BD、AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是

.ABDCEFGHHG811第2题图第3题图第十八页第十九页，共22页。4.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样量出A、B两点间的距离？根据是什么？分别画出AC、BC中点M、N，量出M、N两点间距离，则AB=2MN.NM根据是三角形中位线定理．第十九页第二十页，共22页。5.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,CD,AC,BD的中点.求证:四边形EGFH是平行四边形.DCBGAFHE