二次函数之求利润和规律探索(学生用)

...wd......wd......wd...DSE金牌数学专题系列经典专题系列利润最大(小)值问题和规律探索导入知识点回忆一〕、利润大值问题1、众所周知,对于一次函数,具有以下性质:：当时,y随的增大而增大；当时,y随的增大而减小．这实际上就是一次函数的增减性．利用该增减性,我们可以解决实际问题中的一些最值问题．2、利润湿润函数式为()〔1〕假设为()形式化成配方得，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值〔或最小值〕．即：<1>、当时，函数有最小值，并且当，；<2>、当时，函数有最大值，并且当，．<3>、如果自变量的取值范围是，如果顶点在自变量的取值范围内，则当，，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性：如果在此范围内随的增大而增大，则当时，，当时，；②如果在此范围内随的增大而减小，则当时，，当时，．3、商品定价一类利润计算公式：总利润〔W〕=单价商品利润×总销售量－其他本钱二〕规律探索1、根本方法——看增幅

〔1〕如增幅相等〔实为等差数列〕：对每个数和它的前一个数进展比拟，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a1+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。

例：4、10、16、22、28……，求第n位数。

分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)6＝6n－2

〔2〕如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加〔即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列〕。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。

根本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；

2、求出第1位到第第n位的总增幅；

3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。

〔3〕增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.

〔4〕增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加〔即增幅的增幅也不相等〕。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。2、根本公式〔1〕1＋2＋3＋…＋n＝；〔2〕1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝.(3)eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－；(4)eq\f(1,2n－12n＋1)＝；(5)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝.专题讲解【例1】某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县，C，D两县的化肥到A，B两县的运费〔元/吨〕如下表所示．出发地运费目的地CDA3540B3045〔1〕设C县运到A县的化肥为吨，求总运费(元〕与〔吨〕的函数关系式，并写出自变量的取值范围．〔2〕求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台.现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区.两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区1800元1600元B地区1600元1200元〔1〕设派往A地区台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y〔元〕，求与间的函数关系式，并写出的取值范围；〔2〕如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议.【例2】某商场试销一种本钱为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于本钱单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量〔件〕与销售单价〔元〕符合一次函数，且时，；时，．〔1〕求一次函数的表达式；〔2〕假设该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元〔3〕假设该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．1、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大2．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经历，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润【例3】〔2006十堰市〕市“健益〞超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经历知，每天销售量(千克)与销售单价(元)(〕存在如以以下图所示的一次函数关系式．〔1〕试求出y与x的函数关系式；〔2〕设“健益〞超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润最大利润是多少〔3〕根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围〔直接写出答案〕．〔青岛市〕在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进展了调查统计，得到如下数据：销售价x〔元/千克〕…25242322…销售量y〔千克〕…2000250030003500…〔1〕在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对〔x，y〕所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；〔2〕假设樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P〔元〕与销售价x〔元/千克〕之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大【例4】如以下图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第〔是大于0的整数〕个图形需要黑色棋子的个数是▲．1、〔2011内蒙古乌兰察布，18，4分〕将一些半径一样的小圆按如以下图的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有个小圆.〔用含n的代数式表示〕第1个图形第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形第18题图2、观察以下等式：；；；…………则第〔是正整数〕个等式为________.【例5】观察下面的变形规律：＝1－；＝－；＝－；……解答下面的问题：〔1〕假设n为正整数，请你猜测＝；〔2〕证明你猜测的结论；〔3〕求和：＋＋＋…＋.1、公式an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，则a2011＝______，eq\r(10)－3是第_____项．2、〔2011四川成都，23,4分〕设,,,…,设，则S=_________(用含n的代数式表示，其中n为正整数)．稳固练习：〔一〕填空题1、图6是一组有规律的图案，第1个图案由4个根基图形组成，第2个图案由7个根基图形组成，……，第(n是正整数)个图案中由个根基图形组成．图6(1)图6(1)(2)(3)……〔二〕解答题2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额3．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量根本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)4、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，假设按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，假设按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．

(1)试求y与x之间的关系式；

(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润每月的最大利润是多少

．拓展训练5、〔南京市〕如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10．在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN～矩形ABCD．令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值最大值是多少六、反思总结当堂过手训练〔快练5分钟，稳准建奇功〕1、(湖北襄樊)襄樊市认真落实国家关于减轻农民负担,增加农民收入的政策,从2003年开场减征农业税,2002年至2004年征收农业税变化情况见表(1)．2004年市政府为了鼓励农民多种粮食,实行保护收购,并对种植优质水稻(如中籼稻)另给予每亩15元的补贴(摘自《襄樊日报》2004年5月5日)．我市农民李江家有4个劳动力,承包20亩土地,今年春季全部种植中籼稻和棉花,种植中籼稻和棉花每亩所需劳动力和预计每年平均产值见表(2)．设2004年李江家种植中籼稻和棉花的预计总收入为P元,种植中籼稻的土地为亩．表(1)年份200220032004农业税(元╱亩)117．2470．4438．26表(2)农作物产值(元∕亩)劳力(人∕亩)中籼稻7850．15棉花12000．35李江家从国家开场减征农业税后两年可少交农业税多少元?假设不考虑上缴农业税,请写出P(元)与(亩)的函数关系式．李江家在不考虑他人和工等其他因素的前提下,怎样安排中籼稻和棉花的种植面积才能保证P最大?最大值是多少?2、某产品每件本钱10元，试销阶段每件产品的销售价(元)与产品的日销售量(件)之间的关系如下表：假设日销售量是销售价的一次函数．⑴求出日销售量(件)与销售价(元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元此时每日销售利润是多少元x〔元〕152030…y〔件〕252010…3、〔2011四川绵阳18，4〕观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120个。4、观察以下计算：EQ\F(1,EQ\R(2)＋1)·(EQ\R(2)＋1)＝(EQ\R(2)－1)(EQ\R(2)＋1)＝1，(EQ\F(1,EQ\R(2)＋1)＋EQ\F(1,EQ\R(3)＋EQ\R(2)))(EQ\R(3)＋1)＝[(EQ\R(2)－1)＋(EQ\R(3)－EQ\R(2))](EQ\R(3)＋1)＝2，(EQ\F(1,EQ\R(2)＋1)＋EQ\F(1,EQ\R(3)＋EQ\R(2))＋EQ\F(1,EQ\R(4)＋EQ\R(3)))(EQ\R(4)＋1)＝[(EQ\R(2)－1)＋(EQ\R(3)－EQ\R(2))＋(EQ\R(4)－EQ\R(3))](EQ\R(4)＋1)＝3，……从以上计算过程中找出规律，并