专升本高数知识点

精品文档.精品文档Word资料精品文档精品文档第一讲函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。2、函数的性质，奇偶性、有界性奇函数：SKIPIF1<0，图像关于原点对称。偶函数：SKIPIF1<0，图像关于y轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设SKIPIF1<0是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则（1）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是比SKIPIF1<0高阶的无穷小量。（2）若SKIPIF1<0（不为0），则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是同阶无穷小量特别地，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是等价无穷小量（3）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。4、两个重要极限（1）SKIPIF1<0使用方法：拼凑SKIPIF1<0，一定保证拼凑sin后面和分母保持一致（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。5、SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最高次幂是n,SKIPIF1<0的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。SKIPIF1<0,以相同的比例趋向于无穷大；SKIPIF1<0，分母以更快的速度趋向于无穷大；SKIPIF1<0，分子以更快的速度趋向于无穷大。7、左右极限左极限：SKIPIF1<0右极限：SKIPIF1<0SKIPIF1<0注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。8、连续、间断连续的定义：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0间断：使得连续定义SKIPIF1<0无法成立的三种情况SKIPIF1<0记忆方法：1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在，但不相等9、间断点类型（1）、第二类间断点：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0至少有一个不存在（2）、第一类间断点：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都存在SKIPIF1<0注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质最值定理：如果SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上必有最大值最小值。SKIPIF1<0零点定理：如果SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0SKIPIF1<0内至少存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0第三讲中值定理及导数的应用罗尔定理SKIPIF1<0如果函数SKIPIF1<0满足：（1）在闭区间SKIPIF1<0上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）SKIPIF1<0，则在(a,b)内至少存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0bSKIPIF1<0记忆方法：脑海里记着一幅图：bSKIPIF1<0拉格朗日定理如果SKIPIF1<0满足（1）在闭区间SKIPIF1<0上连续（2）在开区间（a,b）内可导；则在(a,b)内至少存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0脑海里记着一幅图：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（*）推论1：如果函数SKIPIF1<0在闭区间SKIPIF1<0上连续，在开区间（a,b）内可导，且SKIPIF1<0，那么在SKIPIF1<0内SKIPIF1<0=C恒为常数。记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。（*）推论2：如果SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，在开区间SKIPIF1<0内可导，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等驻点满足SKIPIF1<0的点，称为函数SKIPIF1<0的驻点。几何意义：切线斜率为0的点，过此点切线为水平线4、极值的概念设SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的极大值，SKIPIF1<0称为极大值点。设SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的极小值，SKIPIF1<0称为极小值点。记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。拐点的概念连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。注SKIPIF1<0在原点即是拐点单调性的判定定理设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内可导，如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调增加；如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调减少。记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，SKIPIF1<0；在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，SKIPIF1<0；取得极值的必要条件可导函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处取得极值的必要条件是SKIPIF1<0取得极值的充分条件第一充分条件：设SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的某空心邻域内可导，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处连续，则如果SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0;SKIPIF1<0,那么SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值SKIPIF1<0；如果SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值SKIPIF1<0；如果在点SKIPIF1<0的两侧，SKIPIF1<0同号，那么SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处没有取得极值；记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。第二充分条件：设函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的某邻域内具有一阶、二阶导数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则（1）如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值SKIPIF1<0；（2）如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值SKIPIF1<0凹凸性的判定设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内具有二阶导数，（1）如果SKIPIF1<0，那么曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内凹的；（2）如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内凸的。图像表现：凹的表现凸的表现渐近线的概念曲线SKIPIF1<0在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。水平渐近线：若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0有水平渐近线SKIPIF1<0(2)垂直渐近线：若存在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0有垂直渐近线SKIPIF1<0求斜渐近线：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为其斜渐近线。罗比达法则遇到“SKIPIF1<0”、“SKIPIF1<0”，就分子分母分别求导，直至求出极限。如果遇到幂指函数，需用SKIPIF1<0把函数变成“SKIPIF1<0”、“SKIPIF1<0”。第二讲导数与微分导数的定义（1）、SKIPIF1<0（2）、SKIPIF1<0（3）、SKIPIF1<0注：使用时务必保证SKIPIF1<0后面和分母保持一致，不一致就拼凑。导数几何意义：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处切线斜率法线表示垂直于切线，法线斜率与SKIPIF1<0乘积为—1导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。求导方法总结（1）、导数的四则运算法则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）、复合函数求导：SKIPIF1<0是由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0复合而成，则SKIPIF1<0（3）、隐函数求导对于SKIPIF1<0，遇到y，把y当成中间变量u，然后利用复合函数求导方法。（4）、参数方程求导设SKIPIF1<0确定一可导函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0(5)、对数求导法先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导（6）、幂指函数求导幂指函数SKIPIF1<0，利用公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导注：优选选择第二种方法。高阶导数对函数SKIPIF1<0多次求导，直至求出。微分SKIPIF1<0记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加SKIPIF1<0，不需要单独记忆。可微、可导、连续之间的关系可微SKIPIF1<0可导可导SKIPIF1<0连续，但连续不一定可导可导与连续的区别。脑海里记忆两幅图（1）（2）SKIPIF1<0在x=0既连续又可导。SKIPIF1<0在x=0只连续但不可导。所以可导比连续的要求更高。第四讲不定积分原函数与不定积分原函数：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的一个原函数；不定积分：SKIPIF1<0的所有原函数SKIPIF1<0+C叫做SKIPIF1<0的不定积分，记作SKIPIF1<0不定积分公式记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式三、不定积分的重要性质1、SKIPIF1<02、SKIPIF1<0注：求导与求不定积分互为逆运算。积分方法基本积分公式第一换元积分法（凑微分法）把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。第二换元积分法SKIPIF1<0三角代换SKIPIF1<0三角代换主要使用两个三角公式：SKIPIF1<0分部积分法SKIPIF1<0第五讲定积分1、定积分定义

SKIPIF1<0如果SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上一定可积。理解：既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为面积是常数，所以定积分如果可积也是常数。2、定积分的几何意义如果SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0表示由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0x轴所围成的曲边梯形的面积。S=SKIPIF1<0。如果SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，且SKIPIF1<0，S=SKIPIF1<0。3、定积分的性质：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（5）如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（6）设m,M分别是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的min,max,则SKIPIF1<0Mm记忆：小长方形面积SKIPIF1<0曲边梯形面积SKIPIF1<0大长方形面积（7）积分中值定理如果SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，则至少存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0记忆：总可以找到一个适当的位置，把凸出来的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲边梯形变成一个长方形。称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的平均值。积分的计算（1）、变上限的定积分SKIPIF1<0注：由此可看出来SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有一个是SKIPIF1<0而不是t（2）、牛顿—莱布尼兹公式设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个原函数，则SKIPIF1<0由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分，只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。SKIPIF1<0奇函数、偶函数在对称区间上的定积分（1）、若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为奇函数，则SKIPIF1<0（2）、若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为偶函数，则SKIPIF1<0注：此方法只适用于对称区间上的定积分。广义积分无穷积分SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0定积分关于面积计算SKIPIF1<0SKIPIF1<0面积SKIPIF1<0，记忆：面积等于上函数减去下函数在边界SKIPIF1<0上的定积分。dSKIPIF1<0SKIPIF1<0c面积S=SKIPIF1<0记忆方法：把头向右旋转90°就是第一副图。旋转体体积ySKIPIF1<0abx曲线SKIPIF1<0绕SKIPIF1<0轴旋转一周所得旋转体体积：SKIPIF1<0（2）、SKIPIF1<0SKIPIF1<0ab阴影部分绕绕SKIPIF1<0轴旋转一周所得旋转体体积：SKIPIF1<0（3）、ydSKIPIF1<0cxSKIPIF1<0绕SKIPIF1<0轴旋转一周所得旋转体体积：SKIPIF1<0(4)、ydSKIPIF1<0SKIPIF1<0cx阴影部分绕绕SKIPIF1<0轴旋转一周所得旋转体体积:SKIPIF1<0第六讲向量、空间解析几何（一）向量的相关考试内容向量的基本概念定义：与起点无关，既有方向又有大小的量称为向量。（生活来源：力、速度、加速度，位移）向量的表示：SKIPIF1<0或记为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴上的投影。其中，SKIPIF1<0为向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴上的单位向量SKIPIF1<0向量的模：SKIPIF1<0，模为1的向量叫做单位向量，模为0的向量叫做0向量。向量SKIPIF1<0的方向余弦：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0并且：SKIPIF1<0SKIPIF1<0为向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴的正方向的夹角，叫做SKIPIF1<0的方向角。5、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0向量的三种不同运算设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）线性运算SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）两向量的数量积SKIPIF1<0SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角：SKIPIF1<0SKIPIF1<0注：因为SKIPIF1<0（3）两向量的向量积定义：SKIPIF1<0，满足下述规则1、SKIPIF1<02、SKIPIF1<0，SKIPIF1<03、SKIPIF1<0成右手系称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的向量积，记作:SKIPIF1<0向量积的坐标表示：SKIPIF1<0SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0的充要条件为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0注：因为SKIPIF1<0（二）、直线与平面的相关考试内容一、空间平面方程在空间直角坐标系下，一次方程SKIPIF1<0表示空间一张平面SKIPIF1<0，这里A,B,C不同时为零。由A,B,C为向量坐标构成得向量SKIPIF1<0叫做平面SKIPIF1<0得法向量。即SKIPIF1<0。（1）平面的位置若A=0,即SKIPIF1<0该平面平行SKIPIF1<0轴。同理B=0,平面平行于y轴。C=0,平面平行于z轴。D=0,过原点。记忆方法：“谁”的系数为0，平面平行于“谁”轴。二、空间直线方程一般式：SKIPIF1<0,(一次项系数不成比例)注：两个平面相交标准式：SKIPIF1<0注：（SKIPIF1<0）为直线上一已知点，向量SKIPIF1<0为直线的方向向量参数式：SKIPIF1<0三、总结：专升本考试中重点考察两平面的位置关系，两直线的位置关系，直线与平面的位置关系，记忆的重点在于：（1）平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0,（2）直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0（3）向量平行需满足：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（4）向量垂直需满足SKIPIF1<0四、两直线的位置关系：设有两直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0的充要条件为SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0得充要条件为SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）直线SKIPIF1<0得夹角可由SKIPIF1<0来确定。五、直线和平面的位置关系：设直线方程为SKIPIF1<0平面方程为SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0的充要条件为SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0的充要条件为SKIPIF1<0（3）直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角SKIPIF1<0可由SKIPIF1<0来确定。六、两平面的位置关系：设有两平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的充要条件是SKIPIF1<0SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0的充要条件是SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角可由SKIPIF1<0确定。（三）、曲面的相关考试内容一、简单的二次曲面（1）柱面方程SKIPIF1<0(2)球面方程SKIPIF1<0(3)椭球面方程SKIPIF1<0（4）旋转面方程以曲线SKIPIF1<0为母线，SKIPIF1<0轴为旋转轴的旋转曲面方程为SKIPIF1<0第七讲多元函数微分学二元函数的概念定义：设有变量SKIPIF1<0，如果当相互独立的变量SKIPIF1<0在一定范围SKIPIF1<0内取定任意一对值时，SKIPIF1<0按照一定法则有唯一确定的数值与之对应，那么，SKIPIF1<0称为SKIPIF1<0的二元函数，记作SKIPIF1<0。注：二元函数的定义域为SKIPIF1<0坐标平面上的一个区域，二元函数是悬浮在空间的一个曲面。二元函数的极限定义：设函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0某邻域有定义（但SKIPIF1<0点可以除外），如果当点SKIPIF1<0无论沿着任何途径趋向于SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0都无限接近于唯一确定的常数A，则称当点SKIPIF1<0趋向于SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0以A为极限，记为SKIPIF1<0二元函数的连续性若SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0连续。注：SKIPIF1<0的不连续点叫函数的间断点，二元函数的间断点可能是一些离散点，也可能是一条或多条曲线。二元函数的偏导数SKIPIF1<0SKIPIF1<0偏导数求法由偏导数定义可看出，对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成自变量，其它的变量都当成常数看待。全微分：SKIPIF1<0二元函数的连续、偏导、可微之间的关系二元函数可微，则必连续，可偏导，但反之不一定成立。若偏导存在且连续，则一定可微。函数SKIPIF1<0的偏导存在与否，与函数是否连续毫无关系。二元复合函数求偏导设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0注：有几个中间变量就处理几次，按照复合函数求导处理。隐函数求偏导方程SKIPIF1<0确定的隐函数为SKIPIF1<0，则对等号两边同时对SKIPIF1<0求导，遇到SKIPIF1<0的函数，把SKIPIF1<0当成中间变量。二元函数的极值二元函数极值存在的必要条件如果SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处取得极值，且两个偏导数存在，则有SKIPIF1<0。若SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的驻点。极值存在的充分条件如果SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的某邻域内有连续的二阶偏导数，且SKIPIF1<0是驻点，设SKIPIF1<0则（1）如果SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是极大值（2）如果SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是极小值（3）如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0不是极值（4）如果SKIPIF1<0则此方法失效。十一、条件极值的拉格朗日乘数法。方法一：（1）从条件SKIPIF1<0中求出SKIPIF1<0（2）将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0化为一元函数（3）利用一元函数求极值的方法求最值方法二：拉格朗日乘数法作拉格朗日函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解上述方程组得驻点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0点就是函数的极值点，依题意，判定它是极大值或是极小值。第八讲多元函数积分学知识点二重积分的概念、性质1、SKIPIF1<0，几何意义：代表由SKIPIF1<0，D围成的曲顶柱体体积。2、性质：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0（3）、SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0,SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0(5)若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0（6）若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0(7)设SKIPIF1<0在区域D上连续，则至少存在一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0SKIPIF1<0计算D:SKIPIF1<0SKIPIF1<0D：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和垂直线的方法确定另一个变量的范围（3）极坐标下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0曲线积分1、第一型曲线积分的计算（1）若积分路径为L：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（2）若积分路径为L：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（3）若积分路为L：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<02、第二型曲线积分的计算若积分路径为L：SKIPIF1<0，起点SKIPIF1<0,终点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0若积分路径为L：SKIPIF1<0，起点SKIPIF1<0，终点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0若积分路为L：SKIPIF1<0，起点SKIPIF1<0，终点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0第九讲常微分方程基本概念（1）微分方程：包含自变量、未知量及其导数或微分的方程叫做微分方程。其中未知函数是一元函数的叫常微分方程。（2）微分方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。（3）微分方程的解：满足微分方程SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。前者为显示解，后者称为隐式解（4）微分方程的通解：含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解（5）初始条件：用来确定通解中任意常数的附加条件。（6）微分方程的特解：通解中的任意常数确定之后的解。一阶微分方程1、可分离变量的微分方程（1）形如SKIPIF1<0的微分方程。解法：变形为SKIPIF1<0，两边作不定积分求出通解。（2）形如SKIPIF1<0的微分方程。解法：令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两边对x求导，然后代入原方程，则变量分离2、一阶线性微分方程一阶线性齐次微分方程形如SKIPIF1<0。解法：变量分离一阶线性非齐次微分方程形如SKIPIF1<0解法：常数变易法或公式法注：一阶线性非齐次微分方程的通解公式为：SKIPIF