甘肃省兰州市第一中学届高三上学期期中考试数学（理）试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精兰州一中2017-2018—1学期高三年级期中考试试题数学（理)说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间150分钟。答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。第Ⅰ卷一．选择题(本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={θ|sinθ〉cosθ｝，B={θ｜sinθ·cosθ〈0},若θ∈A∩B，则θ所在的象限是（） A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．已知A（m,n)是直线l：f（x,y)=0上的一点，B（s,t)是直线l外一点，由方程f(x,y)+f(m，n）+f（s,t）=0表示的直线与直线l的位置关系是（）A．斜交 B．垂直 C．平行 D．重合KS5UKS5U]3．在(x2-1）（x+1)4的展开式中，x3的系数是(） A．0 B．10 C．－10 D．204．正四棱锥的底面边长为a,侧棱长为l，则的取值范围为（）A．（，+∞。 B．（，+∞） C．（1,+∞） D．（2,+∞)5．设函数f（x)=logax(a＞0且a≠1）的定义域为（，+∞）,则在整个定义域上，f(x）＜2恒成立的充要条件充是（)A．0＜a＜B．0＜a≤C．a＞且a≠1D．a≥且a≠16．设，则a=，b=1+x，c=中最大的一个是（） A．a B．b C．c D．不确定7．的值为（） A．2 B． C． D．18．设f(n）=cos(+），则f（1)+f(2)+f（3)+…+f(2006）=（) A．— B．— C．0 D．9．已知O为坐标原点，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点,则的值是（） A． B．- C．3 D．—310．设P是椭圆上任一点，F1，F2是椭圆的两个焦点,若∠F1PF2≤,则这个椭圆的离心率e的取值范围是（）A．0＜e＜1；B。0＜e≤；C。≤e＜1；D.e=11．函数y=e|lnx｜﹣|x﹣1｜的图象大致是（）D．C．B．A． D．C．B．A．12．对于任意实数x,定义[x]为不大于x的最大整数（例如：[3.6］=3，［-3.6］=-4等）,设函数f(x）=x-[x］,给出下列四个结论：①f（x)≥0；②f(x)<1;③f（x）是周期函数；④f(x)是偶函数.其中正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个第Ⅱ卷二、填空题（每小题4分,共16分，把答案填在题中横线上.）13．把复数的共轭复数记作，为虚数单位，若,则=。14．设m=(a,b)，n=(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“”为mn=（ac-bd，ad+bc），若p=（1，2),pq=（-4,-3），则q=.15．设平面上的动点P（1，y）的纵坐标y等可能地取用ξ表示点P到坐标原点的距离，则随机变量ξ的数学期望Eξ=。16．设x、y满足约束条件则目标函数z=6x+3y的最大值是。三。解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c,设向量m=(cosA，sinA）,n=(1,0）,且向量m+n为单位向量，求：(Ⅰ）角A;（Ⅱ）.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中,PB⊥底面ABCD，CD⊥PD,底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．(Ⅰ)证明PC∥平面EBD；（Ⅱ)求二面角A—BE—D的余弦值．19.（本小题满分12分）在同款的四个智能机器人A,B，C,D之间进行传球训练,收集数据，以改进机器人的运动协调合作能力.球首先由A传出，每个“人”得球后都等可能地传给其余三个“人”中的一“人”,记经过第次传递后球回到A手中的概率为Pn。（Ⅰ）求P1、P2、P3的值；（Ⅱ）求Pn关于n的表达式。20。（本小题满分12分)已知椭圆C：，斜率为的动直线l与椭圆C交于不同的两点A，B．（Ⅰ)设M为弦AB的中点，求动点M的轨迹方程;（Ⅱ)设F1，F2为椭圆C在左、右焦点,P是椭圆在第一象限内一点，满足,求△PAB面积的最大值．21。（本小题满分12分）已知函数，。（Ⅰ）求；(Ⅱ)设函数，试确定的单调区间及最大最小值;（Ⅲ）求证：对于任意的正整数n，均有成立.请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）(选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数）.(Ⅰ)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线，设 M（x,y)为上任意一点，求的最小值，并求相应的点M的坐标.23。（本小题满分10）（选修4-5：不等式选讲）设函数．（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣｜x﹣1｜；（Ⅱ）若f（x）≤2的解集为［﹣1，3],，求证：．

兰州一中2017—2018-1学期高三年级期中考试数学（理）参考答案及评分标准一．选择题(本卷共12小题，每小题5分，共60分。)题号123456789101112答案BCABBCDABB[KS5UKS5UKS5U]DC二、填空题：每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．；14．(-2,1)；15．；16．5。三.解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B,C的对边分别为a，b，c,设向量m=（cosA,sinA),n=（1，0），且向量m+n为单位向量，求:（Ⅰ）角A;（Ⅱ）。解:(Ⅰ)∵m+n=（cosA+1，sinA）为单位向量，∴(cosA+1)2+sin2A=1，即得cosA=—，∴A=。………………4分（Ⅱ)∵A=,∴B+C=,即B=—C，结合正弦定理得：======2。………………10分18．（本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．（Ⅰ）证明PC∥平面EBD；（Ⅱ）求二面角A-BE—D的余弦值．（Ⅰ）证明:连接AC交BD于G，连接EG,∵,又，∴,∴PC∥EG，又EG平面EBD,PC平面EBD,∴PC∥平面EBD.……………6分(Ⅱ)解法一:∵PB⊥平面ABCD，∴AD⊥PB。又∵AD⊥AB，∴AD⊥平面EAB.作AH⊥BE于H，连接DH，则DH⊥BE，∴∠AHD是二面角A-BE—D的平面角.在△ABE中，AE=，由余弦定理可得BE=,由△ABE的面积得:AH=,∴tan∠AHD==，故二面角A-BE—D的余弦值为.………………12分解法二:建立如图所示的直角坐标系B—XYZ，设BC=a，则A（0，3,0），P（0，0，3),D（3，3，0),C（a，0，0），=（3—a，3，0），=（3,3，—3）,∵CD⊥PD，∴·=0，即3（3—a)+9=0，∴a=6，∴=（—3,3，0），=（0，3，—3）,=（0,2,1），=（3，3，0），设平面EBD的法向量为n1=（x,y，1），由得∴于是n1=（,-，1)，而为平面ABE的法向量为n2=(1，0，0），∴cos<n1，n2>=，故二面角A-BE-D的余弦值为.………………12分19.（本小题满分12分）在同款的四个智能机器人A，B，C，D之间进行传球训练，收集数据，以改进机器人的运动协调合作能力.球首先由A传出,每个“人”得球后都等可能地传给其余三个“人”中的一“人”，记经过第次传递后球回到A手中的概率为Pn。(Ⅰ)求P1、P2、P3的值；（Ⅱ）求Pn关于n的表达式。解：（Ⅰ）经过一次传球后，球落在B，C,D手中的概率分别为而在A手中的概率为0；因此，两次传球后，球落在A手中的概率为要想经过三次传球后，球落在A手中,只能是经过二次传球后球一定不在A手中，∴……5分（Ⅱ)要想经过n次传球后，球落在A手中,只能是经过次传球后球一定不在A手中，∴，……7分设，则，∴,，即,而,所以，是以（）为首项，（）为公比的等比数列，……9分∴,即，显然当n=1时也适合，［KS5UKS5UKS5U］故。……12分20.(本小题满分12分)已知椭圆C：，斜率为的动直线l与椭圆C交于不同的两点A，B．（Ⅰ）设M为弦AB的中点，求动点M的轨迹方程；［KS5UKS5UKS5U]（Ⅱ）设F1,F2为椭圆C在左、右焦点，P是椭圆在第一象限内一点，满足，求△PAB面积的最大值．解：（Ⅰ）设M（x，y），A（x1，y1）,B(x2，y2），由①，②；﹣②得：，即；∴．………4分由于弦AB的中点在椭圆内部，得,∴M点的轨迹方程为（);………5分（Ⅱ）依题意：F1（，0），F2（，0），设P(x，y）（x＞0,y＞0），则，，由得：，即，与椭圆的方程联立,解得:[KS5UKS5UKS5U］∴P点坐标为;……6分设直线l的方程为，联立，整理得:，由△＞0得﹣2＜m＜2，∴，，于是,点P到直线l的距离，…8分∴；当且仅当m2=4﹣m2,即时，取等号，故，△PAB面积的最大值1．………12分21。（本小题满分12分）已知函数，.(Ⅰ)求；（Ⅱ）设函数，试确定的单调区间及最大最小值；（Ⅲ）求证：对于任意的正整数n，均有成立.解:（Ⅰ)；…………3分（Ⅱ）∵，∴，,∵a>0，∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数的最小值为，函数无最大值；………………7分（Ⅲ）取a=1，由(Ⅱ）知,,∴，即,亦即，………10分分别取得,，,…,，将以上各式相乘,得：………………12分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号。22.（本小题满分10）（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线,设M(x，y)为上任意一点，求的最小值，并求相应的点M的坐标。解：(Ⅰ）圆C的方程为……1分直线L方程为…………3分（Ⅱ）由和得…5分设M为，则……8分所以当M为或时原式取得最小值1．……………10分23.(本小题满分10）选修4-5:不等式选讲设函数．（Ⅰ)当a=2时，解