人教版九年级数学上册 （配方法）一元二次方程教育教学课件

配方法第二十一章

一元二次方程

知识回顾你还记得学过的完全平方公式吗？填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=(

)2；(2)a2-2ab+b2=(

)2.a+ba-b填上适当的数，使下列等式成立1.x2+12x+

=(x+6)22.x2-6x+

=(x-3)23.

x2-4x+

=(x-

)24.

x2+8x+

=(x+

)26232222424

问题：在上面等式的左边，常数项和一次项系数有什么关系？常数项等于一次项系数一半的平方获取新知

探究：怎样解方程x2+6x+4=0？

我们已经会解方程（x

+

3）2=

5.因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.那么，能否将方程x2+6x+4=0转化为可以直接降次的形式再次求解呢？

解方程x2+6x+4=0的过程可以用下面的框图表示：知识：用配方法解一元二次方程两边加9，左边

配成完全平方式移项左边写成完全

平方形式降次解一次方程x2

+6x

+4

=0x2

+6x=-4x2

+6x

+9

=-4+9，或，（x

+

3）=

52

为什么在方程x2+6x=-4的两边加9？加其他数行吗？依据是什么呢？

问题

填上适当的数或式,使下列各等式成立.（1）x2+4x+

=(x+

)2（2）x2-6x+

=(x-

)2（3）x2+8x+

=(x+

)2（4）x2+

px+

=(x+

)2在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.222324234你发现了什么规律？

像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．要点归纳配方法的定义配方法解方程的基本思路

把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．

一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成

(x+n)2=p的形式，那么就有：

①当p>0时，方程有两个不等的实数根②当p=0时，方程有两个相等的实数根

x1=x2=-n③当p<0时，方程无实数根.例题讲解例

解下列方程．(1)x2－8x＋1＝0；(2)2x2＋1＝3x；(3)3x2－6x＋4＝0.分析：(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法．(2)先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2.(3)与(2)类似，方程两边都除以3后再配方

解：(1)移项，得

x2－8x＝－1.配方，得

x2－8x＋42＝－1＋42，

(x－4)2＝15.由此可得

常数项移到“＝”右边两边同时加上一次项系数一半的平方(1)x2－8x＋1＝0；

(2)移项，得2x2－3x＝－1.二次项系数化为1，得

配方，得由此可得

常数项移到“＝”右边两边同时除以2两边同时加上一次项系数一半的平方

(2)2x2＋1＝3x；

（3）移项，得

3x2－6x＝－4二次项系数化为1，得配方，得因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．

x2－2x＝.x2－2x＋12＝＋12.(x－1)2＝

.常数项移到“＝”右边两边同时除以3两边同时加上一次项系数一半的平方(3)3x2－6x＋4＝0.思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要

注意些什么？思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.移项要改变符号.①移项;②二次项系数化为1;③左边配成完全平方式;④降次;⑤解一次方程.1.用配方法解方程x2＋8x＋9＝0，变形后的结果正确的是(

)A．(x＋4)2＝－9B．(x＋4)2＝－7C．(x＋4)2＝25D．(x＋4)2＝7D随堂演练2.填空：(1)x2＋10x＋____＝(x＋____)2；(2)x2－12x＋____＝(x－____)2；(3)x2＋5x＋____＝(x＋____)2；(4)x2－x＋____＝(x－____)2.255366

（1）4x2-6x-3=0；（2）3x2+6x-9=0；（2）x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.3.解下列方程：（3）x2+4x-9=2x-11；（4）x(x+4)=8x+12.（3）x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解；（4）x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.思维拓展当x取何值时，2x2+4x-5的值最小？试求出这个最小值.课堂小结配方法方法步骤一、移项；二、系数化为1；三、配方[配上]，写成（x+n)2=p(p≥0)；四、降次五、解一次方程.在方程两边都配上特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程的二次项系数化为1.配方法第1课时第二十一章一元二次方程

新课导入导入课题

一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，求盒子的棱长.问题1：本题的等量关系是什么？问题2：设正方体的棱长为

xdm，请列出方程并化简.相等6x2×10=1500化简为：x2=25学习目标（1）能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=0的一元二次方程.（2）能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程.（3）体会“降次”的数学思想.知识点1用直接开平方法解一元二次方程问题1

根据平方根的意义解导入列出的方程：

x2=25.解：根据平方根的意义，得x=±5即x1=5，x2=-5因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm.推进新课巩固练习根据平方根的意义解方程x2=36；2x2-4=0；3x2-4=8.x=±6x1=6，x2=-6x2=4x=±2x1=2，x2=-2当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根.当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根

x1=x2=0.当p<0时，方程x2=p无实数根.规律总结知识点2降次你认为应怎样解方程(x+3)2=5?由方程x2=25得x=±5.以此类推：由方程(x+3)2=5，可得解方程(x+3)2=5，实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程即得原方程的解.当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是

,当p<0时，方程(mx+n)2=p

.无实数根巩固练习(x+6)2－9=03(x－1)2－12=0解：(x+6)2=9

x+6=+3x1=－3,x2=－9解：3(x－1)2=12(x－1)2=4

x－1=+2x1=3,x2=－1随堂训练基础巩固1．方程x2＋m＝0有实数根的条件是()A．m＞0B．m≥0C．m＜0D．m≤02．下列方程能用直接开平方法求解的是()A．5x2＋2＝0B．4x2－2x＋1＝0C．x2－2＝4D．3x2＋4＝2DC3．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是()A．0B．1C．2D．34．若关于x的一元二次方程x2－c＝0的一个根为x＝1，则另一个根为____________．Cx＝－1综合应用5．自由下落物体的高度h(米)与下落的时间t(秒)的关系为h＝4.9t2，现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要多少秒？解：当h＝19.6时，4.9t2＝19.6.∴t1＝2，t2＝－2(不合题意，舍去).∴t＝2.答：到达地面需要2秒当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根