人教版八年级数学上册 （角的平分线的性质）全等三角形 教学课件

12.3角的平分线的性质人教版八年级数学上

（1）三角形的判断方法有哪些?SSS,SAS,AAS,ASA,HL（直角三角形）（2）什么是角的平分线?从一个角的顶点出发，把这个角平均分成两个相等的角的射线，叫做角的平分线。探究一：角的平分线的作法请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流分享.法一：对折法二：用量角器法三：用平分角的仪器如果在黑板、墙壁呢？如果画22.5°的角平分线，测量11.25°时，是不是不够精确呢？探究一：角的平分线的作法如图是一个平分角的仪器，其中OA=OB，BC=AC.将点A放在角的顶点，OA和OB沿着角的两边放下，画一条射线OE，OE就是∠AOB的平分线.你能说明它的道理吗?OABCE作法:⑴以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.⑵分别以M,N为圆心,大于的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.⑶作射线OC,射线OC即为所求.温馨提示:

作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!已知:∠AOB.

求作:∠AOB的平分线.探究一：角的平分线的作法

（1）以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短.（2）“以大于MN的长为半径画弧”是因为小于MN的长为半径画弧时两弧没有交点，等于MN的长为半径画弧时不容易操作.如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.探究一：角的平分线的作法BMNABOMNA小于1/2MN:没有交点等于1/2MN:不容易操作探究一：角的平分线的作法练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线．探究二：角的平分线的性质如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？猜想：PD=PE探究二：角的平分线的性质以上结论成立吗？请证明.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOCOP=OP∴PD=PE在

PDO和

PEO中∴

PDO

≌

PEO（AAS）探究二：角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．符号语言：∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）回顾：从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做

.点到直线的距离判一判：（1）∵如下左图，AD平分∠BAC（已知）∴

=

，

（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）BDCD×BADC(2)∵如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）.

∴

=

，

()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC缺少“垂直距离”这一条件缺少“角平分线”这一条件应用所具备的条件：（3）垂直距离.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；探究二：角的平分线的性质下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形()中PD＝PE.ABCD【思路点拨】利用角平分线的性质时，非常重要的条件是PD和PE是到角两边的距离.D【解答过程】选项A中如果增加一个条件OD＝OE，就能得出PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA和OB的距离为PD和PE.练一练：探究三：用角的平分线的性质解决简单问题【思路点拨】证CF和EA所在的两个三角形全等.证明：例：如图,ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F在BC上，AD=DF.求证：CF=EA∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，∴DC=DE又∵AD=DF∴

DCF≌

DEA（HL）∴CF=EA探究三：用角的平分线的性质解决简单问题练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．【思路点拨】利用角平分线的性质可得OD=OE，证明

BOD≌

COE可得OB=OC.证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC，∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°．∵∠BOD=∠COE，∴BOD≌

COE．（AAS）∴OB=OC．课堂总结：用尺规作角的平分线.⑴以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.⑵分别以M,N为圆心,大于

的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.⑶作射线OC角的平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.OC1A2PDE1、如图,

ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2cm，则点D到AB的距离为

cm．2、如图,

ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=7cm，则AD+DE=

cm.作业：完成配套练习和以下两道习题E第十二单元全等三角形角的平分线的性质

情景导入思考：这种平分角的方法告诉了我们一种作已知角的平分线的方法。

教学新知已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.

教学新知思考：【结论】角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

教学新知思考：【结论】我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.知识梳理知识点1：作已知角的平分线

知识梳理

SSS知识梳理知识点2：几何命题的证明证明几何命题的一般步骤：（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.

知识梳理知识点3：角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

知识梳理

15知识梳理知识点4：角平分线的判定

知识梳理

35°知识梳理

知识梳理

特别讲解角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形

特别讲解二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段

特别讲解三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段

补充资料三角形的内切圆与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆，且内切圆圆心一定在三角形内部。在三角形中，三个角的角平分线的交点是