第一章 信号与系统的概念

信号与系统SignalsandSystems第一章信号与系统的概念TheconceptionofSignalsandsystems1.1信号的概念

1.1.1信号的定义信号（signal）是运载信息的工具，在数学上表示为一个或多个自变量的函数，自变量通常是时间，信号表示为函数。正弦信号是电子系统和信号处理技术领域常用到的一种信号，其形式为。根据不同的应用场合和背景，正弦信号的振幅、角频率、初相均可代表（运载）不同的信息。例一：图1.1.2频移键控（FSK）信号的波形频移键控（FSK）信号，常用于二进制数字通信中。例二：图1.1.3周期脉冲信号的波形例三：周期脉冲信号

1.1.2因果信号、逆因果信号的概念

在信号处理中，常将信号值不恒为零的持续时间，称为信号持续时间（signalduration）。下面简要给出与信号持续时间有关的几个术语，这些术语在后面的讨论中将得到应用。1.因果信号当时，若信号，则称为因果信号（causalsignal）。

图1.1.5因果信号(a)(b)2.逆因果信号当时，若信号，则称为逆因果信号或反因果信号（anticausalsignal）。

图1.1.6逆因果信号(a)(b)3.时限信号当和时（

，且

、

均为有界量），若信号

，则称信号为时限信号(finite-durationsignal)。图1.1.7(a)时限信号强调，在一定的时限范围外，信号值恒为零。4.右边信号对有界量，当时，若信号，则称为右边信号（right-sidedsignal）。图1.1.7(b)因果信号一定是右边信号。5.左边信号对有界量，当时，若信号，则称为左边信号(left-sidedsignal)

。图1.1.7(c)逆因果信号一定是左边信号。6.双边信号若信号不恒为零值的时间范围延伸到正、负无穷大，则称信号是双边信号（two-sidedsignal）。图1.1.7(d)1.2信号的分类

信号的分类，是指用不同的信号特征去考察信号得到不同的类型，就好似从不同的角度去观察人类会得到不同的结果一样，如，从肤色的角度去观察会得到黄种人、白种人、黑种人的类别；从财富的角度观察会有穷人和富人之分；从性别观察有男人和女人；等等。

1.2.1确定信号与随机信号

确定信号（deterministicsignal）是指可以用一个确定的数学表达式来描述的信号。

随机信号（randomsignal）是指不能用一个确切的数学表达式来描述的信号，信号各时刻的值是一个随机变量，通常只能用统计方法研究其某些特征，如概率密度函数、均值、方差、相关函数等。是确定信号。电子系统中的噪声信号是一典型的随机信号。1.2.2连续时间信号与离散时间信号

连续时间信号（continuous-timesignal），是指自变量是可以连续取值的信号。连续时间信号有时也称为模拟信号。注意:信号，尽管在时信号无定义，但该信号仍是连续时间信号，因自变量可取包括在内的任意值。图1.2.1方波信号是连续时间信号离散时间信号(discrete-timesignal)，是指仅在某些离散的时刻有定义，而在其他时间无定义的信号，且这些离散时刻通常取整数。离散时间信号也常被称为离散时间序列（discrete-timesequence）。图1.2.2某地7月份日平均温度是离散时间信号例：计算机只能处理离散时间信号，因此，将日常的连续时间信号(如语音信号等)送给计算机处理之前，应先将其转换为离散时间信号。简单的方法如图1.2.3所示，以时间为间隔对连续时间信号进行取样，则可得到一数组，可表为，便是一离散时间信号。图1.2.3对连续时间信号进行取样1.2.3实信号与复信号

实信号(realsignal)，是指可用一实数函数来描述的信号，即信号的取值是实数。前面给出的有关信号的例子都是实信号。下面再给出三个经常用到的实信号的例子。矩形信号（门函数）

图1.2.4门函数的波形函数的下标表示信号的宽度，表示该信号在区间内为1，其余时间信号值为0。

抽样信号（函数）

抽样信号是信号处理中的一个重要信号，在时，函数取得最大值1，而在时（为非零整数），函数值为0，如图1.2.5所示。图1.2.5三角脉冲信号

图1.2.6三角脉冲信号的波形复信号(complexsignal)，是指可用一复函数来描述的信号，即信号的取值可以是复数。就像在实际的日常生活中复数不存在一样，复信号本身也是不存在的。但为了在某些信号处理中描述问题的方便，常人为地将两个实信号组合在一起，构成复信号。将正弦信号描述为令复信号为复信号的典型例子是正弦信号。可以看出，复信号是由两个实信号和构成的，当然也可看成是由两个实信号和构成的，且或

1.2.4周期信号与非周期信号

对连续时间信号，若存在一个非零的最小正数，等式对任意时间均成立，则称

是周期信号。

称为信号

的基本周期，简称周期。对离散时间信号

，若存在一个非零的最小正整数

，等式对任意时间

均成立,则称

是周期信号。

称为信号

的基本周期，简称周期。离散时间信号的周期是正整数。1.2.5能量信号与功率信号

123和对连续时间信号

,信号的能量定义为对离散时间信号,信号的能量定义为信号的平均功率分别定义为和对连续时间信号

,离散时间信号

,信号的瞬时功率分别定义为能量信号(finite-energysignal)：若信号的能量有界，平均功率趋于零，,则称该信号为能量信号。功率信号(finite-powersignal)：若信号的平均功率有界能量趋于无穷大,,，则称该信号为功率信号。若信号的平均功率和能量均趋于无穷大，则称该信号为非能量、非功率信号。1.3信号的自变量变换

1.3.1信号的时移

若已知信号

或

的波形，则信号

或称为信号或

的时移(timeshifting)。(a)信号的波形

(b)时移(c)时移图1.3.1信号

及其时移1.3.2信号的时间反转

若已知信号

或

的波形，则信号

或

称为原信号的时间反转(timereversal)，即求信号关于纵轴的对称波形。

图1.3.2是图1.3.1(a)中信号

的时间反转变换

。图1.3.2信号的时间

反转变换1.3.3信号的时间尺度变换

1.连续时间信号的时间尺度变换连续时间信号的时间尺度变换(timescaling)就是将信号的时间变量

替换为变量

（

）。

(a)信号

的波形

(b)信号

的波形(c)信号

的波形图1.3.3信号

及其尺度变换2.离散时间信号的展宽和压缩设离散时间信号

的波形如图1.3.4(a)所示，其时间展宽

倍的情况可表示为

1.4信号的基本运算

1.4.1两信号相加

两信号相加，是指两信号对应时刻的信号值（函数值）相加，得到一个新的信号。或(a)信号

波形

(b)信号

波形

(c)信号

波形图1.4.1两信号的相加1.4.2两信号相乘

两信号相乘，是指两信号对应时刻的信号值相乘，得到一个新的信号。(a)信号

波形

(b)信号

波形

(d)信号

波形图1.4.1两信号的相乘或

1.4.3连续时间信号的导数和积分

信号

的导数，就是对函数

关于时间变量

求导，为…定义信号

的积分为再积分k次积分将求导和积分两种运算统一表示为(1.4.5)根据函数的微积分理论，按式(1.4.4)对信号

先积分，再求导，仍为信号

。(1.4.6)1.4.4离散时间信号的差分和累加

一阶后向差分(backwarddifference)一阶前向差分(forwarddifference)实际应用中，常用到的是后向差分。12差分仍然是时间n的函数，是信号与其右移一个单位信号之差。3定义信号的二阶差分为4阶差分定义为离散时间信号

的累加(summation)运算，十分相似于连续时间信号的积分，其定义为同积分运算类似，可定义离散时间信号

的m次累加对式(1.4.11)的累加结果再作差分运算为1.4.5信号的奇、偶分解

定义

或（）的偶部(evenpart)为的奇部(oddpart)为是偶函数，为奇函数，且例1.4.1求图1.4.2(a)所示离散时间信号的偶部和奇部。解：按照前面式(1.4.13)和式(1.4.14)信号偶部和奇部的定义，得偶部和奇部如图1.4.2(c)和1.4.2(d)所示。(a)信号的波形(b)信号的波形(c)信号的偶部波形图1.4.2信号的奇偶分解(d)信号的偶部波形1.5单位冲激信号和单位阶跃信号

1.5.1离散时间单位冲激信号和单位阶跃信号

1.离散时间单位冲激信号离散时间单位冲激信号（unitimpulsesignal）定义为

显然有图1.5.1离散时间单位冲激信号2.离散时间单位阶跃信号离散时间单位阶跃信号（unitstepsignal）的定义为图1.5.2离散时间单位阶跃信号3.和的关系与是互为差分和累加的关系。1.5.2连续时间单位冲激信号和单位阶跃信号

1.连续时间单位冲激信号图1.5.4信号的波形方波的面积恒为1。图1.5.5单位冲激信号的波形2.连续时间单位阶跃信号图1.5.6单位阶跃信号的波形连续时间单位阶跃信号和单位冲激信号，常被称为奇异信号（singularsignal）（或奇异函数）3.和间的关系例1.5.2求门函数的导数。解：可用阶跃信号表示为所以，对求导为图1.5.7门函数及其导数的波形1.5.3单位冲激信号的性质

1.单位冲激信号是偶信号2.单位冲激信号的筛选性对离散时间信号

，

一般地，设

在处连续，有对连续时间信号

，

3.单位冲激信号的各阶导数及其筛选性特别地，当

时，有因为两边对参变量求导m次为所以例1.5.3求信号的一阶和二阶导数。解：信号的波形如图1.5.9(a)所示。（1）在或时，信号，所以，或时，因为，有的数学表达式可写为1.5.9(a)也可直接根据的表达式求。因为可看成函数和另一个函数的乘积，根据两函数相乘的求导规则，有根据式(1.5.17)，即，有，所以（2）对继续求导，可得如图1.5.9(c)所示的结果，也可用表达式描述为1.5.9(c)例1.5.4证明

,证明：令，有且1.6系统的概念

1.6.1系统的定义

系统(system)是用于产生、处理、传输信号的物理装置，在数学上表示为输入信号与输出信号间的一种映射关系(mapping)。图1.6.1系统为一映射关系对积分器，其输入输出关系可表示为1.6.2系统的相互连接

1.系统的并联系统的并联(parallelinterconnection)结构如图1.6.2所示，输入信号

同时作为系统

和系统

的输入信号，两个系统响应的和便是整个系统的响应

，可用数学关系描述为且,图1.6.2两个系统的并联2.系统的级联,将上两式合二为一，可表示为图1.6.3两个系统的级联