垂直平分线【原卷版】

第十三章轴对称13.1.2垂直平分线1垂直平分线（1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；如下图，l⊥AB，且AO=BO，则l是线段AB的垂直平分线，或称中垂线（2）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；如下图，若l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l上，则PA=PB.（利用全等三角形可证明）（3）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；如下图，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上；（利用全等三角形可证明）拓展：若PA=PB，QA=QB，则PQ是线段AB的垂直平分线.（4）垂直平分线的尺规作图尺规作图：作线段AB的垂直平分线.作法：以A,B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于P，Q，作直线PQ，则直线PQ（5）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；2三角形的外心（1）定义：三角形外接圆的圆心叫做该三角形的外心.（2）三角形三边的垂直平分线的交点是这个三角形的外心.如下图，直线m，n，l分别是三角形ABC三边AB、AC和BC的垂直平分线，它们会交于一点O，点O就是三角形ABC的外心.证明设直线m，n交于点O，依题意可得AO=BO，AO=CO，则BO=CO，所以点O在线段BC的垂直平分线上，即直线m，n，l交于同一点O.因为AO=BO=CO，所以以点O为圆心，AO为半径画个圆，该圆必过三角形三个顶点A，B，C.【题型1】线段垂直平分线的性质【典题1】如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝°．【典题2】已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．①求证：BE＝CF；②若AF＝6，BC＝7，求△ABC的周长．【巩固练习】1.如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°．AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，则△AEF的周长为()A．2 B．1 C．4 D．32.如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为()A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则∠DBC的度数是()​A．22° B．27° C．32° D．40°4.如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AD⊥BC，D为BE的中点．(1)求证：AB＝CE．(2)若∠C＝32°，求∠BAC的度数．【题型2】线段垂直平分线的判定【典题1】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题：(1)求BC的长；(2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．【巩固练习】1.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC上一点，BC＝DC，过点D作AC的垂线交AB于点E，求证：CE垂直平分BD．2.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．(1)若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；(2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【题型3】三角形的外心【典题1】如图，△ABC中，∠A＝70°，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数为()​A．20° B．30° C．25° D．35°【巩固练习】1.到三角形各顶点距离相等的点是三角形三条()A．中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．角平分线的交点 D．高线的交点2.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，则∠PAB的度数为．3.如图，点D是△ABC三边垂直平分线的交点，若∠A＝64°，则∠D＝°．【题型4】尺规作图【典题1】作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，并且到点A、C的距离也相等．(写出作法，保留作图痕迹)【巩固练习】1.在△ABC内找一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线段AC的长．​2.如图所示，点A，B，C分别表示三个住宅小区，为了丰富社区居民的文化生活，拟建一个文化活动中心，使它到三个住宅小区的距离相等，请你在图中确定文化活动中心(用点D表示)的位置．【A组基础题】1.如图，在△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为21，则AC的长为()​A．6 B．9 C．10 D．122.如图，△ABC中，∠BAC＝70°，AB的垂直平分线与∠BAC的角平分线交于点O，则∠ABO的度数为()A．35° B．30° C．25° D．20°3.政府为更好地服务农民，将在村庄A、B、C之间的空地上新建一座仓库P．已知A、B、C恰好在三条公路的交点处，要求仓库P到村庄A、B、C的距离相等，则仓库P应选在()A．三条角平分线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高所在直线的交点4.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝50°，∠ABD＝26°，则∠ACF的度数为()A．66° B．52° C．46° D．42°5.已知P为△ABC三边垂直平分线的交点，且∠BAC＝40°，则∠BPC＝()A．70° B．80° C．120° D．110°6.如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连结P1P2交OA于M，交OB于N，若线段P1P2的长为12cm，则△PMN的周长为cm．7.已知：如图，在△ABC中，∠C＝120°，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E．(1)作出边AC的垂直平分线DE；(2)当AE＝BC时，求∠A的度数．8.如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD．9.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC．(1)若△ADE的周长为8cm，△OBC的周长为20cm．①求线段BC的长；②求线段OA的长．(2)若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．【B组提高题】1.如图，锐角三角形ABC中，O为三条边的垂直平分线的交点，I为三个角的平分线的交点