刘蒋巍：2道函数不等式题的命制-听教育专家黄厚忠先生专题报告后而命制

刘蒋巍：2道函数不等式题的命制——听教育专家黄厚忠先生专题报告后而命制道函数不等式题的命制——听教育专家黄厚忠先生专题报告后而命制文/刘蒋巍2023年4月14日，镇江市教育科学研究院高中部部长、高中数学教研员、镇江市学科带头人、镇江市政协常委、市农工党教育支部主任黄厚忠先生，在“江苏省2023年高中数学新高考研讨活动”中作专题报告。在专家报告环节，黄厚忠先生指出：“基本初等函数（一次函数、二次函数、三次函数、分式函数、绝对值函数为主）、指数函数、对数函数、三角函数，这四种函数相互间组合运算、叠加、复合，衍生出多种新函数，探讨这些新函数的性质。”同时，黄厚忠先生也提到：“有些高考题，命题者出题意图是让学生用导数处理。实际上，也可以用不等式处理。”笔者在学习教育专家黄厚忠先生专题报告后，研读教材，命制了2道函数不等式题。下面将试题命制过程及参考解答呈现给大家。请批评指正。问题1【命制过程】【命题背景】函数在为增函数，且当时，基于此背景，命制如下问题1【问题1】已知数列的通项公式为：，（1）当时，求证：（2）判断数列的单调性，并证明（3）求证：问题1【参考解答】证明略。故，数列为单调递增数列。注：也可构造函数，运用不等式（）证明.由（2）知：，即：当时，,,故（）即：当时，；用替换得：（），即：（），亦即：（）故，综上，问题2【命制过程】【教材题源】（苏教版必修1教材第134页“思考运用”第7题）已知函数，对于任意的，试比较与的大小.【命题背景1】，，当时，，则；则在是上凸函数当或时，，则，则在是下凸函数。取“”段函数图像，则据此，命制第（1）问。【命题背景2】（上凸函数的“切线不等式”）若是区间上的可微上凸函数，则经过点的切线一定在曲线的上方，即成立不等式又若为严格上凸函数，则上述不等式成立等号的充分必要条件是.简证：将上述不等式的右边移项到左边，应用拉格朗日中值定理有：其中.又是区间上的可微上凸函数，则在上为减函数；则，又，则即：若为严格上凸函数，则在上严格单调减少。因此，当且仅当时，等号成立。由上述定理，可知：经过点的切线一定在曲线的上方。即：据此，命制第（2）问。【问题2】给出定义：若函数在区间I上可导，即存在，且导函数在区间I上也可导，则称在区间I上存在二阶导函数.记，若在区间I上恒成立，则称在区间I上为上凸函数；若在区间I上恒成立，则称在区间I上为下凸函数.对于任意，其中，，若在区间I上为上凸函数，则有;若在区间I上为下凸函数,则有.已知，且，则______(填“>”、“<”或“=”);若在上恒成立，则的最小值为________问题2【参考答案】；（2）的最小值为：【总结】教师要研究命题的背景——试题的“源”，据此，我们可取种种具体的函数，乃至抽象函数，源源不断地产生相应的函数不等式题。2022全国新高考Ⅰ卷作文提示语：对于初学者而言，应该从本手开始，本手的功夫扎实了，棋力才会提高。一些初学者热衷于追求妙手，而忽视更为常用的本手。本手是基础，妙手是创造。一般来说，对本手理解深刻，才可能出现妙手；否则，难免下出俗手，水平也不易提升。对于教师而言，你未必需要自己下出“妙手”；你需要的是“