专题02集合之间的关系（3个知识点3个拓展6个考点3个易错点2种高考考法）

专题02集合之间的关系（3个知识点3个拓展6个考点3个易错点2种高考考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：文氏图知识点2：子集（重点）知识点3：空集（重点）知识点4：集合相等（重点）知识点5：真子集（重点）拓展1：用文氏图和数轴理解集合间的关系（重点）拓展2：两个集合相等的证明方法拓展3：求子集、真子集的个数问题（难点）【方法二】实例探索法考点1：确定子集的个数考点2：空集考点3：集合间关系的判断及应用考点4：由集合间的关系确定参数的取值范围（必考）考点5：数形结合思想（利用数轴求参数的取值范围）（必考）考点6：分类讨论思想（必考）【方法三】差异对比法易错点1：忽略空集导致出错易错点2：忽视高次项系数导致出错易错点3：忽视判别式导致出错【方法四】仿真实战法考法1：集合间关系的应用考法2：集合相等【方法五】成果评定法【学习目标】1、求子集、真子集的个数（偶考）2、利用子集、真子集的概念求参数的值（或取值范围）（常考）3、空集的概念（常考）【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：文氏图用平面上一条封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做文氏图（韦恩图）．【例1】举例说明集合间的包含关系与相等关系，并用文氏图直观表示．【解答】解：如集合A＝{x|x﹣1＝0}，B＝{1}，则A＝B，如图所示：如A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|2＜x＜3}，则B⊆A，如图所示：【变式1】（2020秋•奉贤区校级月考）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是．【解答】解：由题意可得如下所示韦恩图：所求比例为：60%+82%﹣96%＝46%，故答案为：46%．【变式2】（2022·上海·高一专题练习）下列说法中，正确的有________（1）空集是任何集合的真子集（2）若，，则（3）任何一个集合必有两个或两个以上的真子集（4）若不属于的元素一定不属于，则【答案】（2）（4）【详解】对于（1）：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故（1）错误；对于（2）：子集具有传递性，若，，则，故（2）正确；对于（3）：若一个集合是空集，则它没有真子集，故（3）错误；对于（4）：任何不属于的元素一定不属于，则由韦恩图可知（4）正确；故答案为：（2）（4）.知识点2：子集（重点）子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．记作：A⊆B（或B⊇A）．【例2】（2022•杨浦区校级开学）已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则A，B间的关系为（）A．A＝B B．B⊆A C．A∈B D．A⊆B【解答】解：因为集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}，所以集合A＝{0，1，2，3，4}，又B＝{0，1，2，3，4，5}，所以A⊆B，故选：D．【变式】（2022秋•浦东新区校级期中）已知a为常数，集合A＝{x|x2+x﹣6＝0}，集合B＝{x|ax﹣2＝0}，且B⊆A，则a的所有取值构成的集合为．【解答】解：由已知可得集合A＝{﹣3，2}，因为B⊆A，则B＝∅，{﹣3}，{2}，{﹣3，2}，当B＝∅时，a＝0，当B＝{﹣3}时，a＝﹣，当B＝{2}时，a＝1，当B＝{﹣3，2}时，不成立，故a的取值集合为{0，﹣，1}，故答案为：{0，﹣，1}．知识点3：空集（重点）空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．记作∅．空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；②空集是任何集合的子集（即∅⊆A）；空集是任何非空集合的真子集（若A≠∅，则∅⊂A）．【例3】（2022•浦东新区校级开学）下列命题中正确的是（）A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合B⊆A，那么，若x∉A，则x∉B【解答】解：对于A，空集的子集是空集，故A错误；对于B，空集是任何一个非空集合的真子集，故B错误；对于C，空集只有一个子集，故C错误；对于D，设集合B⊆A，那么，若x∉A，则x∉B，故D正确．故选：D．【变式1】（2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；③空集是任意集合的子集，故，正确；④空集没有任何元素，故，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.【变式2】（2021·上海·高一专题练习）给出下列选项，其中正确的有（1）∈{{}}（2）⊆{{}}（3）∈{}（4）{}【答案】（2）（3）（4）【详解】对于（1），不是{{}}的元素，故不正确；对于（2），是任何集合的子集，所以是{{}}的子集，故正确；对于（3），是{}的元素，故正确；对于（4），是任何非空集合的真子集，{}有一个元素，是非空集合，故正确.【变式3】（2021秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为．【答案】【详解】由题意得：，所以．【变式4】（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）设集合，只有一个子集，则满足要求的实数．【答案】0【详解】集合，只有一个子集，则，，所以方程无解，即．知识点4：集合相等（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作A＝B．（3）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：①两个集合的元素个数相等；②两个集合的元素之和相等；③两个集合的元素之积相等．由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．【例4】（2022秋•徐汇区校级月考）集合A＝{y|y＝x2+3x+1}，B＝{y|y＝x2﹣3x+1}，则集合A与集合B之间的关系是（用⊆、⊂、＝来表示）【解答】解：∵x2+3x+1＝，又x2﹣3x+1＝，∴A＝B＝[，+∞），故答案为：＝．【变式1】（2022秋•浦东新区校级期中）下列表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{（x，y）|2x+y＝1}，N＝{y|2x+y＝1} C．M＝{1，2}，N＝{2，1} D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}【解答】解：A：集合M，N中的元素不为同一个点，不是同一集合，故A错误；B、D：集合M，N的元素不同，一个是数，一个是实数对，不是同一集合，故BD错误；C：根据集合元素的无序性，可知集合M＝N，即为同一集合，故C正确；故选：C．【变式2】（2022•浦东新区校级开学）若{x+y，2y}＝{7，8}，则整数x＝．【解答】解：∵{x+y，2y}＝{7，8}，且x为整数，∴y也为整数，∴2y＝8，即y＝4，∴x+y＝7，∴x＝3，【变式3】（2022秋•闵行区期中）若集合A＝{1，a}，集合B＝{1，a2}，且A＝B，则实数a＝．【解答】解：∵集合A＝{1，a}，集合B＝{1，a2}，且A＝B，∴，解得实数a＝0．【变式4】．（2022秋•杨浦区校级期中）已知A＝{1，2}，B＝{a，a+1}．若A＝B，则a＝．【解答】解：因为A＝B，则或，解得a＝1，【变式5】（2022秋•松江区校级期中）已知A＝{1，2}，B＝{1，a}．若A＝B，则a＝．【解答】解：A＝{1，2}，B＝{1，a}，A＝B，则a＝2．【变式6】（2022秋•闵行区校级期中）已知集合A＝{2，y}，B＝{x，3}，若A＝B，则x+y＝．【解答】解：因为集合A＝{2，y}，B＝{x，3}，A＝B，所以x＝2，y＝3，所以x+y＝5．故答案为：5．知识点5：真子集（重点）真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．{1，3}⊂{1，2，3，4}{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}【例5】（2022秋•浦东新区校级月考）如果集合A＝{x|x∈Z且x≥0}，B＝{y|y＝x2，x∈Z}，则集合A、B的关系是．【解答】解：∵x∈Z，∴x2∈Z且x2≥0，∴x2∈A，∴B⊆A，又∵2∈A，2∉B，∴B⊂A拓展1：用文氏图和数轴理解集合间的关系（重点）拓展2：两个集合相等的证明方法欲证，只需证，且.【例6】在实数中：要证明实数a，b相等，可以利用a≤b且a≥b来证明：类比到集合中：要证明集合A，B相等，可以利用来证明．【解答】解：在实数中：要证明实数a，b相等，可以利用a≤b且a≥b来证明：类比到集合中：要证明集合A，B相等，可以利用A⊆B且B⊆A来证明．故答案为：A⊆B且B⊆A．【变式】设S1、S2、S3是由三个整数组成的非空集，已知对于1、2、3的任意一个排列i、j、k，如果x∈Si，y∈Sj，则x﹣y∈Sk，证明：S1、S2、S3中必有两个集合相等．【解答】证明：若三个集合都没有0，则取S1∪S2∪S3中最小的正整数a（由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a存在），不妨设a∈S1，取S2∪S3中的最小正整数b，并不妨设b∈S2，这时b＞a（否则b不可能大于a，只能等于a，所以b﹣a＝0∈S3，矛盾）；但是，这样就导致了0＜b﹣a＜b，且b﹣a∈S3，这时与b为S2∪S3中的最小正整数矛盾．∴三个集合中必有一个集合含有0．∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0∈S1，则对任意x∈S2，有x﹣0＝x∈S3，∴S2包含于S3，对于任意y∈S3，有y﹣0＝y∈S2，∴S3包含于S2，则S2＝S3．综上所述，这三个集合中必有两个集合相等．拓展3：求子集、真子集的个数问题（难点）真子集和子集的区别子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身。所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集有2n个；真子集有2n－1个，非空真子集有个．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．【例7】（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考阶段练习）已知集合，则的所有真子集为______.【答案】【详解】因为，所以的所有真子集为，【变式1】（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）写出集合的所有子集_____．【答案】，，，【详解】集合的所有子集有，，，.【变式2】（2022秋•浦东新区校级月考）集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}的真子集的个数是（）A．9 B．8 C．7 D．6【解答】解：x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝5；x＝2时，y＝2；x＝3时，y＝﹣3；∵函数y＝﹣x2+6，x∈N，在[0，+∞）上是减函数；∴x≥3时，y＜0；∴{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}＝{2，5，6}；∴该集合的所有真子集为：∅，{2}，{5}，{6}，{2，5}，{2，6}，{5，6}；∴该集合的真子集个数为7．故选：C．【方法二】实例探索法考点1：确定子集的个数1．（2022•浦东新区校级开学）已知集合，B＝{y|y＝x2+1，x∈A}，则集合B的子集个数为（）A．5个 B．8个 C．3个 D．2个【解答】解：∵＝{﹣1，0，1，2}，∴B＝{y|y＝x2+1，x∈A}＝{1，2，5}，故集合B中有3个元素，故集合B的子集个数为23＝8，故选：B．2．（2022秋•徐汇区校级月考）若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝{﹣1，0，，2，3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是．【解答】解：若x＝﹣1，则＝＝﹣1，若x＝0，则无意义，若x＝2，则＝，若x＝3，则＝不存在，则{﹣1}，{2，}为伙伴关系集合，则由它们的元素构成的集合也为伙伴关系集合，此时{﹣1，2，}满足条件．共有3个集合．故答案为：3．3．（2022秋•金山区期末）已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}有且仅有两个子集，则实数a＝．【解答】解：若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，①当a＝1时，，满足题意；②当a≠0时，Δ＝8a+1＝0，所以，综上所述，a＝1或．故答案为：1或．4．（2022秋•黄浦区校级期中）设集合A＝{x|ax+1＝0，x∈R}只有一个子集，则满足要求的实数a＝．【解答】解：集合A＝{x|ax+1＝0，x∈R}只有一个子集，则A＝{x|ax+1＝0，x∈R}＝∅，所以方程ax+1＝0无解，即a＝0．故答案为：0．5．（2022秋•浦东新区校级期中）已知集合A＝{x|（k+1）x2+2x﹣1＝0}有且仅有两个子集，则实数k＝．【解答】解：∵集合A＝{x|（k+1）x2+2x﹣1＝0}有且仅有两个子集，∴方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有一个解或两个相同的实数根即可，当k＝﹣1时，，符合题意；当k≠﹣1时，Δ＝4+4（k+1）＝0⇒k＝﹣2；所以实数k＝﹣1或k＝﹣2．故答案为：﹣1或﹣2．6．（2022秋•徐汇区校级月考）已知{1，2}⊂M⊆{1，2，3，4，5}，则满足要求的集合M共有个．【解答】解：∵{1，2}⊂M⊆{1，2，3，4，5}，∴满足要求的集合M的个数即为集合{3，4，5}的子集的个数，∴满足要求的集合M的个数为23＝8．故答案为：8．7．（2022秋•长宁区校级期中）集合P满足P⊂{（x，y）|x2+y2＝4，x，y∈Z}，则这样的集合P有个．【解答】解：{（x，y）|x2+y2＝4，x，y∈Z}＝{（﹣2，0），（2，0），（0，﹣2），（0，2）}，∵P⊂{（x，y）|x2+y2＝4，x，y∈Z}，∴集合P有24﹣1＝15个．故答案为：15．考点2：空集8．（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习），那么下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】对于，是任何集合的子集，也即，故选项错误；对于，因为，所以成立，故选项正确；对于，因为，所以成立，故选项正确；对于，因为是任何集合的子集，所以成立，故选项正确，所以结论错误的是，9．（2020秋•徐汇区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，集合B＝{x|x2﹣2ax+a+2≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，集合B＝{x|x2﹣2ax+a+2≤0}，B⊆A，解得A＝{x|1≤x≤4}，若B≠∅，Δ＝（﹣2a）2﹣4（a+2）＝4a2﹣4a﹣8≥0，可得a≥2或a≤﹣1；B＝{x|a﹣≤x≤a+}，∵B⊆A，∴，解不等式①得，a≤，解不等式②得，1≤a≤3，取交集得，1≤a≤，又∵△≥0，可得a≥2或a≤﹣1；可得2≤a≤当a＝符合题意；当a＝2符合题意；∴2≤a≤若B＝∅，可得Δ＝（﹣2a）2﹣4（a+2）＝4a2﹣4a﹣8＜0，﹣1＜a＜2；综上可取并集得：﹣1＜a≤故答案为：﹣1＜a≤；考点3：集合间关系的判断及应用10．（2022秋•浦东新区校级月考）已知集合M＝，S＝，P＝，则集合M，S，P的关系为（）A．M＝S⊆P B．M⊆S＝P C．M⊆S⊆P D．S⊆P⊆M【解答】解：对集合M、S、P进行变换，则M＝＝{x|，m∈Z}，S＝＝{x|，s∈Z}，P＝＝{x|x＝，p∈Z}，因为m、s、p∈Z，所以M⊆S＝P，故选：B．11．（2022秋•徐汇区校级月考）集合S＝{x|x＝m+，m∈Z}，P＝{x|x＝+，n∈Z}，Q＝{x|x＝，k∈Z}，则S、P、Q之间的关系是（）A．S⊂P⊂Q B．S⊂P＝Q C．S＝P⊂Q D．P⊂Q⊂S【解答】解：∵S＝{x|x＝m+，m∈Z}＝{x|x＝，m∈Z}，P＝{x|x＝+，n∈Z}＝{x|x＝，n∈Z}，Q＝{x|x＝，k∈Z}＝{x|x＝，k∈Z}＝{x|x＝，n∈Z}，∴S⊂P＝Q，故选：B．12．（2022秋•浦东新区校级月考）已知A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|ax﹣2＝0}，且B⊆A，则实数a的值为．【解答】解：A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B⊆A，①当a＝0时，B＝∅，符合题意，②当a≠0时，B＝{x|ax﹣2＝0}＝{}，∴＝1或＝2，解得a＝2或a＝1，综上所述，实数a的值为0或1或2．故答案为：0或1或2．13．（2022秋•浦东新区校级期中）满足{1，2}⊆A⫋{1，2，3，4，5}的集合A共有个．【解答】解：{1，2}⊆A⫋{1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A有：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}共7个．故答案为：7．14．（2022秋•浦东新区校级期中）满足{a，b}⊆A⊆{a，b，c，d，e}的集合A的个数为．【解答】解：{a，b}⊆A⊆{a，b，c，d，e}，则集合A为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，{a，b，c，d，e}，故集合A的个数为8个．故答案为：8．考点4：由集合间的关系确定参数的取值范围（必考）15．（2022秋•徐汇区校级期中）已知集合A＝{﹣2，3，6m﹣6}，若{3，6}⊆A，则m＝2．【解答】解：因为集合A＝{﹣2，3，6m﹣6}，且{3，6}⊆A，则6m﹣6＝6，得m＝2，故答案为：2．16．（2022秋•奉贤区校级期中）已知A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，A⊆B，则a≥3，故实数a的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．17．（2022秋•徐汇区校级月考）已知集合A＝{x|ax﹣6＝0}，B＝{x|2x2﹣3x＝0}，且A⊆B，则a＝．【解答】解：，当A＝∅时，A⊆B成立，此时a＝0，当A≠∅时，，因为A⊆B，所以，得a＝4，综上a＝0或a＝4，故答案为：0或4．考点5：数形结合思想（利用数轴求参数的取值范围）（必考）18．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知，，所以.考点6：分类讨论思想（必考）19．（2022秋•徐汇区校级月考）已知集合A＝{x|y＝}，集合B＝{x|p+1≤x≤2p﹣1}，若B⊆A，则实数p的取值范围是．【解答】解：∵A＝[﹣2，5]，又B＝{x|p+1≤x≤2p﹣1}，且B⊆A，∴①B＝∅时，p+1＞2p﹣1，∴p＜2；②B≠∅时，，∴2≤p≤3，综合可得实数p的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]．20．（2022秋•奉贤区校级月考）设t是实数，集合M＝{x|x2﹣x﹣6＝0}，N＝{y|ty﹣2＝0}，若N⊆M，则符合条件的实数t组成的集合是．【解答】解：t＝0时，N＝∅，满足N⊆M，t≠0时，M＝{3，﹣2}，∵N⊆M，N＝{y|ty﹣2＝0}，∴N＝{3}，或N＝{﹣2}．N＝{3}时，3t﹣2＝0，解得t＝．N＝{﹣2}时，﹣2t﹣2＝0，解得t＝﹣1．综上可得：符合条件的实数t组成的集合是{0，﹣1，}，故答案为：{0，﹣1，}．21．（2022秋•浦东新区校级月考）若A＝{x|kx＝1}，B＝{x|x2+x＝2}，且A⊂B，则实数k的值为．【解答】解：B＝{x|x2+x＝2}＝{﹣2，1}，∵A⊂B，∴A＝∅，A＝{﹣2}，A＝{1}，当A＝∅时，k＝0；当A＝{﹣2}时，k＝﹣；当A＝{1}时，k＝1；故实数k的值为0，﹣，1．故答案为：0，﹣，1．22．（2022秋•徐汇区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|x2﹣2ax+b＝0}，若B≠∅，且A⊇B，求实数a、b的值．【解答】解：∵A＝{﹣1，1}，B＝{x|x2﹣2ax+b＝0}，又B≠∅，且A⊇B，∴B＝{﹣1}，{1}，{﹣1，1}，①当B＝{﹣1}时，，∴；②当B＝{1}时，，∴；③当B＝{﹣1，1}时，，∴．综合得或或．23．（2022•杨浦区校级开学）已知a∈R，x∈R，集合A＝{2，4，x2﹣5x+9}，B＝{3，x2+ax+a}，C＝{x2+（a+1）x﹣3，1}．（1）当2∈B，B⊆A时，求a、x的值；（2）当B＝C时，求a、x的值．【解答】解：（1）∵2∈B，B⊆A∴x2+ax+a＝2且x2﹣5x+9＝3，∴当x＝2吋，；当x＝3时，；（2）∵B＝C，即{3，x2+ax+a}＝{x2+（a+1）x﹣3，1}，∴，两式相减得x＝5+a，将x＝5+a代入x2+ax+a＝1，可得a2+8a+12＝0，解得a＝﹣2或a＝﹣6．当a＝﹣2时，x＝3；当a＝﹣6时，x＝﹣1，∴或．24．（2022•浦东新区校级开学）已知集合A＝{x|x2+4x＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0}．（1）若A是B的子集，求实数a的值；（2）若B是A的子集，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A＝{﹣4，0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0}，又A⊆B，∴A＝B，∴，∴a＝1；（2）∵B是A的子集，∴B＝∅或B＝{﹣4}或B＝{0}或B＝{﹣4，0}，①B＝∅时，Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，∴a＜﹣1；②B＝{﹣4}时，，∴a∈∅；③B＝{0}时，，∴a＝﹣1；④B＝{﹣4，0}时，由（1）知a＝1，综合可得实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪{1}．【方法三】差异对比法易错点1：忽视空集导致出错1．（2023·高一课时练习）已知集合A＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B⊆A，求m的取值范围．【答案】m≤1．【详解】∵B⊆A，若B＝∅，则m≤0，满足B⊆A，若B≠∅，则m＞0，由B⊆A，得m≤1，解得，0＜m≤1．综上所述：实数m的取值范围为m≤1．易错点点睛：容易漏掉的情形.2、已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为______．【错解】由题意得，A＝{x|－1≤x≤6}．因为B⊆A，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤2m＋1，,m－1≥－1，,2m＋1≤6.))解得0≤m≤eq\f(5,2).综上，m＜－2或0≤m≤eq\f(5,2).【错因】忽略了集合B为空集的情况。【正解】由题意得，A＝{x|－1≤x≤6}．当B＝∅时，m－1>2m＋1，即m<－2，满足B⊆A.当B≠∅时，若B⊆A，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤2m＋1，,m－1≥－1，,2m＋1≤6.))解得0≤m≤eq\f(5,2).综上，m＜－2或0≤m≤eq\f(5,2).易错点2：忽视高次项系数导致出错3、已知集合，，若，则实数的值构成的集合是（）A．B． C． D．【错解】由得：或，即；，，或，解得：或；综上所述：实数的值构成的集合是【错因】忽略了对一次项系数a的讨论。【正解】由得：或，即；①当时，，满足，符合题意；②当时，，，或，解得：或；综上所述：实数的值构成的集合是.易错点3：忽视判别式导致出错4．（2022秋•松江区校级期中）集合P＝{x|ax2+4x+4＝0，x∈R}中只含有1个元素，则实数a的取值是．【解答】解：当a＝0时，A＝{x|4x+4＝0}＝{﹣1}满足题意当a≠0时，要集合A仅含一个元素需满足Δ＝16﹣16a＝0解得a＝1故a的值为0；1故答案为：0或1【点评】本题考查解决二次型方程的根的个数问题时需考虑二次项系数为0的情况、考虑判别式的情况．5．已知，，若，求的取值范围.【错解】，，且.由韦达定理可得，解得.所以实数的取值范围是.【错因】忽略了集合B中的一元二次方程方程根的的个数。【正解】，，对于方程，，且.①时，集合，可得，合乎题意；②时，集合中只有一个元素，可得，此时，合乎题意；③时，集合中有两个元素，，则，解得.综上所述，实数的取值范围是或.【方法四】仿真实战法考法1：集合间关系的应用1．（2020•上海）集合A＝{1，3}，B＝{1，2，a}，若A⊆B，则a＝．【解答】解：∵3∈A，且A⊆B，∴3∈B，∴a＝3，故答案为：3．考法2：集合相等2．（2023•上海）已知集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝．【解答】解：集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝2．故答案为：2．【方法五】成功评定法一、填空题1．（2021秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期中）满足的集合有个．【答案】7【分析】根据非空子集的定义求解.【详解】由题意可知与的非空子集的并集，而的非空子集有有个，所以满足条件的有7个，故答案为：7.2．（2022·上海·高一专题练习）用适当的符号填空：0.【答案】【分析】结合空集、元素与集合的关系确定正确答案.【详解】空集没有任何元素，所以.故答案为：3．（2022秋·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）已知，.若，则.【答案】2【分析】根据集合相等的定义进行求解即可.【详解】因为，，，所以，故答案为：24．（2022秋·上海徐汇·高一校考阶段练习）已知集合，，且，则．【答案】0或4/4或0【分析】先求出集合，再分和两种情况求解.【详解】，当时，成立，此时，当时，，因为，所以，得，综上或，故答案为：0或45．（2022·上海·高一专题练习）若集合，，且，则满足条件的实数的取值集合为.【答案】【分析】求出集合，由可分、、三种情况讨论，可求得实数的值.【详解】依题意得，.∵,所以集合、、．当时，即方程无实根，所以，符合题意；当时，则1是方程的根，所以，符合题意；当时，则是方程的根，所以，符合题意；故答案为：．【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数值，解题时不要忽略对空集的讨论.6．（2022·上海·高一专题练习）已知集合且，集合且，那么集合与之间的关系是.【答案】＃＃【分析】确定两集合中元素的属性是否一致即可得．【详解】则同号，又，所以同负，因此因为，所以.故答案为：．7．（2022秋·上海普陀·高一校考阶段练习）若集合至多有两个子集，则实数的取值范围为．【答案】或．【分析】若集合至多有两个子集，则集合中至多有一个元素，通过分类讨论得出的范围．【详解】若集合至多有两个子集，则集合中至多有一个元素．当时，，此时集合为，符合题意，当时，方程是一元二次方程，时，解得，，此时集合为，符合题意，时，解得，此时集合为空集，符合题意，综上，的取值范围是或．故答案为：或．8．（2022秋·上海黄浦·高一上海市大同中学校考阶段练习）已知集合，若，则实数组成的集合为．【答案】【分析】求解一元二次方程化简集合，分类讨论求解集合，结合，求得的值．【详解】因为，，且，所以或或，当时，；当时，；当时，．所以综上可得，实数组成的集合为：．故答案为：9．（2022秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）下列表达式中正确的序号是①

②

③

④【答案】②④【分析】利用元素与集合之间和集合与集合之间的关系的概念即可求解.【详解】对于①：∵是无理数，故，故①错误；对于②：空集为任何集合的子集，故②正确；对于③：集合间的关系应该用“”或者“”来表示，故③错误；对于④：∵是自然数，是整数，∴，故④正确.故答案为：②④.10．（2022秋·上海浦东新·高一上海师大附中校考阶段练习）若集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}，则b的值为．【答案】或【分析】根据题意可得集合有且只有一个元素，再分和两种情况讨论求解．【详解】根据题意，集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}，则集合中只有一个元素，即只有一个实数根，①当时，化为，解得，此时集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{x|x＝}，则b＝；②当时，，则a＝1，此时集合{x|x2+2x+1＝0}＝{x|x＝}，故b＝；所以的值为或.故答案为：或．11．（2022秋·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）若，且BA，实数a的取值为【答案】【分析】由B是A的子集，可知集合B中元素的特征，从而求出实数a.【详解】因为集合，BA，所以当时，，符合要，当时，，即，解得，所以实数a的取值为.故答案为：12．（2021秋·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习）已知集合有整数解，非空集合满足条件：（1），（2）若，则，则所有这样的集合的个数为．【答案】【分析】根据集合有整数解，结合韦达定理可求出集合，再由题目信息中集合满足的两个条件，得到集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集合，即可求解.【详解】因为的整数解只能是36的约数，当方程的解为，36时，；当方程的解为，18时，；当方程的解为，12时，；当方程的解为，9时，；当方程的解为，6时，；当方程的解为1，时，；当方程的解为2，时，；当方程的解为，时，；当方程的解为，时，；故集合由非空集合满足条件：（1），（2）若，则，即集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集合，得这样的集合共有个，故答案为：.二、单选题13．（2022·上海·高一专题练习）下列集合中表示同一集合的是（

）A．M＝，N＝ B．M＝，N＝C．M＝，N＝ D．M＝，N＝【答案】D【分析】利用集合的三个性质及其定义，对A、B、C、D四个选项进行一一判断．【详解】A、M＝，M集合的元素表示点的集合，N＝，N表示数集，故不是同一集合，故A错误；B、M＝，M集合的元素表示点的集合，N＝，N表示直线x+y＝1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故B错误；C、M＝集合M的元素是点，N＝，集合N的元素是点，故C错误；D、M＝，N＝根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故D正确；故选：D．14．（2022·上海·高一专题练习）下列四个集合中，是空集的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出.【详解】选项A，；选项B，；选项C，；选项D，，方程无解，.选:D.15．（2022·上海·高一专题练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是（

）A．1 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】利用集合相等的概念可判定①，③，④；利用集合之间的包含关系可判定②，⑤，利用元素与集合的关系可判定⑥.【详解】①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，表示空集，而表示的是含这个元素的集合，所以不成立.④错误，表示空集，而表示含有一个元素0的集合，并非空集，所以不成立；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，由元素与集合的关系知，．故选：C.16．（2022·上海·高一专题练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根据集合与集合、元素与集合的关系判断．【详解】由子集定义任何集合都是本身的子集，知①正确，由集合中元素的无序性知②正确，空集中没有任何元素但它是一个集合，而0是一个实数，③错误，由集合的定义，④正确，“”是连接元素与集合的关系，⑤错误，空集是任何集合的子集，⑥正确．正确的个数有4个．故选：C．三、解答题17．（2020·上海·高一专题练习）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．【答案】{m|m≤3}．【分析】由B＝和B≠分类讨论得不等式（或不等式组）解之可得．【详解】解：A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.①若B＝，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B⊆A；②若B≠，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由B⊆A，得，解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．18．（2022·上海·高一专题练习）已知集合，若，且，求实数的值．【答案】或或【分析】先求得集合，然后根据进行分类讨论，由此求得的值.【详解】，解得或，所以，依题意，且，.①当时，，∴；②当时，，∴；③当时，，∴．综合得或或．19．（2022秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）已知，若，求满足条件的的取值范围．【答案】【分析】对B分类讨论，利用集合的包含关系列不等式组，即可求解.【详解】当时，满足，此时，有，解得：；当时，要使，只需，解得：.所以实数的取值范围为.20．（2021秋·上海徐汇·高一位育中学校考阶段练习）设且，有限集合，其中，若对任意（），都有，则称集合为“含差集合”.（1）分别判断集合和集合是否是“含差集合”，并说明理由；（2）已知集合，集合，若集合C是“含差集合”，试判断集合与集合的关系，并加以证明.【答案】（1）A是，B不是；（2），证明见解析.【分析】（1）根据含差集合的定义判断即可；（2）根据“含差集合”的定义，可求出集合，再与集合比较即可.【详解】（1）由，可知或或，因为，所以集合是“含差集合”，由，可知或或，因为，所以不是“含差集合”，（2）因为是含差集合，所以，且对任意（），都有，因为最小，所以，因为，所以或（舍）所以，又且，，可得，；，；当时，；当时，；当时，；因为，，此种情况不成立，当时，；所以，又且，，，，可得，，；，，；当时，；当时，；当时，；当时，，因为，此种情况不成立，当时，；当时，；所以，，，或，所以或此种情况，不成立，所以，而，所以.21．（2022秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）设集合，如果对于的任意一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数m为集合的一个“相关数”．(1)当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由；(2)若m为集合的“相关数”，证明：．【答案】(1)5不是，6是；(2)证明见解析【分析】（1）写出，分别考虑含有5个元素的子集和含有6个元素的子集讨论其中某四个数之和是否为13即可；（2）分析的含有个元素的集合，，其中任意四个元素之和的最小值，不可能等于，所以不是集合的“相关数”，分析当时，不是集合的“相关数”，即可得证.（1）解：当时，，它的5个元素的子集中，它的四个元素之和的最小值，其中任意四个元素之和都不可能为13，所以5不是集合的“相关数”，它的6个元素的子集中只能是，存在四个元素，所以6是集合的“相关数”；（2）证明：若为集合的“相关数”，假设，则，分析的含有个元素的集合，其中任意四个元素之和的最小值，不可能等于，则不是集合的“相关数”，与题矛盾，所以.22．（2022秋·上海青浦·高一校考阶段练习）设，若，则称A为集合M的元“好集”．(1)写出实数集的一个二元“好集”；(2)请问正整数集上是否存在二元“好集”？说明理由；(3)求出正整数集上的所有三元“好集”．【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析；(3).【分析】（1）通过对元“好集”的理解写出实数集的一个二元“好集”；（2）假设存在，利用作差法与整数的概念推出矛盾即可得证；（3）记正整数集上的一个三元“好集”为，利用条件可推得的值，进而求得，从而得到正整数集上的所有三元“好集”.【详解】（1）因为，所以是实数集的一个二元“好集”.（2）假设是正整数集上的一个二元“好集”，则，不妨设，则有，故，得，因为，所以，而，显然不成立，矛盾，所以假设不成立，故正整数集上不存在二元“好集”.（3）设正整数集上的一个三元“好集”为，则，不妨设，则有，故，又因为且，所以，将其代入得，