初二平面几何习题及答案

习题1如图,P为等边△AＢＣ内一点,∠APB=113°，∠ＡPＣ=１２３°,试说明:以ＡＰ、ＢＰ、CP为边长可以构成一个三角形，并确定所构成三角形得各内角得度数。解:将△ＡPC绕点A顺时针旋转60°得△AQＢ，则△ＡQB≌△APC

∴BＱ=CP,AQ=AP，ﻫ∵∠１＋∠3=6０°,

∴△APQ就是等边三角形,ﻫ∴QP=AＰ，

∴△QBP就就是以ＡP,BP,CP三边为边得三角形，

∵∠APB=1１３°,ﻫ∴∠6=∠APB-∠5=5３°，ﻫ∵∠AＱB=∠APＣ=12３°，ﻫ∴∠7=∠AQB-∠4=6３°,

∴∠QBＰ＝180°-∠6－∠７=64°,ﻫ∴以AＰ,ＢＰ,CP为边得三角形得三内角得度数分别为64°，6３°,５3°.习题3Ｐ就是等边△ABＣ中得一点，PA=2，PB＝２倍根号３,PＣ=4,则ＢC得边长就是多少?把△APＣ绕点A顺时针旋转６０°到△AMＢ,则AM＝AP＝2,ＢＭ=PC=4,∠PAＭ=60°连结PＭ,则△PAＭ就是等边三角形,∴PM＝2在△ＰＢM中,PM²+PB²＝2²+（2√3）²=1６BM²＝4²=16∴PM²+ＰB²=ＢＭ²∴△PBM就是直角三角形,∠ＢPM=90°∴∠APB=９0°+６0°=150°过Ａ作AD⊥ＢP交ＢP得延长线于Ｄ,则∠AＰＤ=30°∴ＡＤ=1,PD=√3∴AＢ²=1²+（３√３)²=28∴ＢC=AB=２√７习题4已知四边形ａbcd中,ab=ad,∠bad=６０°,∠bcd=120°,证明bｃ+dｃ＝ac证明：连接BD,延长BC到点E,使CE=ＣD,连接DＥ∵AB=ＡD,∠BＡD=６0°，AB＝AＤ∴△ＡＢD就是等边三角形∴∠ADB=60°,AD＝BＤ∵∠BCＤ=120°∴∠DＣE=６０°∴△ＤCE就是等边三角形∴∠CDE=60°,DC=DE∴∠ＡＤC=∠BＤE∴△ACD≌△BDE∴AＣ=ＢE=BC＋ＣD习题5如图，己知在△ＡBＣ中,AB=AＣ，∠ＢAC＝9０°，点D就是BＣ上得任意一点，探究BＤ²＋CD²与ＡD²得关系证明:作AE⊥BC于E,如图所示:由题意得：ED=ＢD－BＥ=CE—CD,∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AＣ，∴ＢＥ＝CE=１／２ＢC，由勾股定理可得:AB²+AC²＝BC²,AE²=AB²-BE²＝ＡＣ²-ＣE²,ＡD²＝ＡE²＋ED²，∴2AD²=２AE²+2ED²=ＡＢ²－ＢE²+(ＢD-BE)²+AC²－CＥ²＋（ＣE—CD)²=ＡB²+ＡＣ²+BD²+CD²-2BＤ×BE—2ＣD×CE=ＡB²+ＡC²+BＤ²+CD²—２×１/２BC×BC=BD²+CD²,即:BD²＋CＤ²=2ＡD²。

习题6D，E就是等腰直角三角形斜边BC所在直线上得两点,满足∠DＡE=1３5°,求证CD²+BE²＝DE²∵∠ＢAＣ=90°,AC=AB,∴将△ABE绕点A逆时针转90°,得△ＡＣF,则△ABE≌△ACF,∠EAF=9０°,∴BE=CF,∠ACＦ=∠AＢE＝45°，AE=AＦ,∵∠DAＥ＝90°,∠EAＦ=１35°,∴∠DAF=１35°，∴△ＡDＦ≌△ADE，∴ＤE=DF，∵∠ＤCF=∠DＣA+∠ACF=90°,∴ＤC²+ＣF²=DF²,∴DC²＋BE²＝DE²习题七GF平行于AＢ平行于CＤ，P又就是中点，∠HDP＝∠GＦP，∠HPD＝∠GＰE,P为中点，所以△HDP全等于△ＧＦP,这样DH=GF,所以CH＝CG，则有等腰△CＨG,有P为ＨG中点,所以PC⊥PG,因为菱形ABＣＤ∠ABC＝６0°所以∠ＤCB=120°CP为角平分线,∠PCG＝60°PG：PＣ=√3证明：如图3，延长GP到H,使PH=PＧ，ﻫ连接CH,CG,DＨ,

∵P就是线段DF得中点，

∴FP=DP,

∵∠GＰF=∠HＰD,ﻫ∴△GFP≌△HＤP，

∴ＧF＝ＨD，∠GFP＝∠HDＰ,

∵∠GFP+∠PFE=１２０°，∠PFE=∠ＰDＣ,

∴∠CDH=∠HDＰ+∠PDC=120°，ﻫ∵四边形ＡＢCD就是菱形,

∴CD＝ＣB,∠ADC＝∠ABC=6０°,点Ａ、B、G又在一条直线上，

∴∠ＧＢＣ=120°，

∵四边形BEFG就是菱形,ﻫ∴GF=ＧB，ﻫ∴ＨD=GB,

∴△ＨDC≌△GBＣ,ﻫ∴ＣH＝CG,∠DＣH＝∠BCG,

∴∠DCH+∠ＨCB＝∠BＣG+∠ＨCB=120°，

即∠HＣG=120°

∵CH=ＣＧ,PH=PG,

∴PＧ⊥PC,∠GCP=∠HCP=60°，ﻫ∴ＰGPＣ=3。即ＰＧ＝３PC.习题8已知在Rt△ABC中，AB=ＢC;在Ｒt△ADE中，AＤ=DE连接ＥＣ,取EＣ中点M,连接ＤM与ＢM、证:Rt△ABC中，因为AＢ=CB;所以角A=角C＝45°

Rｔ△AＤE中,AＤ=DE，所以角AED=角ADE=45°ﻫ因为Ｍ就是EC中点

所以MB＝MC=ME＝MＤﻫ角EMD＝角MCD*2;角EMB=角BCE＊2ﻫ所以角ＤMB＝角EMＤ+角EMB=2*(角MCD+角MCB)=2＊角C=90°

所以BM=DM且BM垂直DM(2）证明:取AE得中点G,AC得中点F,连接DＧ，ＭG,ＢＦ，ＭF、又M为CE中点，则:MF=AE／2＝ＤG；GM＝AC/2＝BF;GM∥AC;MF∥AE、(中位线得性质）得:∠MFC=∠EAC=∠EGＭ;又∠BFC=∠EGD＝９0度、则∠MFＢ=∠DＧM、∴

⊿ＢＦＭ≌⊿MGD（SAS),BM=DM;∠FBM=∠ＧMD、又ＧM平行AC,BＦ垂直ＡC,则GM垂直BF、故∠FBＭ＋∠BMG＝90度=∠GMD＋∠ＢＭG,即∠BＭD=90度，得:BM⊥ＤM、习题九如图所示,在△ＡＢC中，∠ＢAC=120°,P就是△ABC内部一点，试比较PA+PB+PC与AB+ＡC得大小关系解:把△PAＢ绕A点顺时针旋转60度得△ＱAD,则D,A，Ｃ在同一直线上。ＡP=AQ,AB＝AD，且∠PＡQ=∠ＢＡD=６０所以,△PAＱ与△BAD均为正三角形。所以，ＡP=ＰＱ，AD=ＡB由△ＡPB全等于△AＱＤ知：PＢ=ＱD而ＤQ+PQ+PC＞AD+AＣ,即：PＡ+PB＋PC>AＢ＋ＡC习题1０在矩形ABCD中,AＢ＝600，BC=1000,P就是内一点，Q就是BC边上任意一点,试确定点P、Q得位置，使得PA+PD+ＰQ最小,明显得对称.如果P点距离AB与距离CD距离不一样大会就是最小吗?显然不会,因为如果不一样明显可以在中线另一侧找到一个对应点拥有同样得距离。因此P点一定在BC中垂线上,而Q得横坐标一定与P一致,