复杂网络关系流与行为关系模型

复杂网络关系流与行为关系模型

0结构和功能研究所有事物都是相互作用的表达。物理和化学研究是物质最基本的相互作用，化学研究是分子间的相互作用，生物研究是生物之间的相互作用，社会科学研究是人类与各种组织之间的相互作用。当每个行动体被抽象为网络节点时，不同的行动体被抽象为节点之间的连接线或边缘，所有事物都可以抽象为网络。因此，通过网络研究，我们可以阐明不同事物之间的相似性。复杂网络研究已成为研究的最重要领域之一。结构是一切事物的基本属性,也是各学科领域研究的基本问题,如物质科学研究物质的结构和性质,生命科学和社会科学研究生物体和社会的结构和功能.可以说,每门学科对其研究对象的结构和功能的研究,都有非常丰富的研究成果;但对各学科领域研究对象结构共性的研究,即跨越物质系统、生物系统和社会系统的结构的研究,实际上也就是网络结构的研究,研究成果还不多.因此,网络的结构问题,特别是网络的环境、结构、行为或功能的关系及规律问题,无疑是复杂网络研究的最基本问题之一,也是复杂网络研究的理论基础问题.根据文献[4,5,6,7,8,9,10,11,12]的系统和系统结构概念,复杂网络是一种系统,并且作为系统,它的组成部分——节点之间的关联(相互作用),以及复杂网络和环境之间的关联(相互作用)是通过信息流、物流、能量流、资金流、人力资源流等所谓的关系流(用边或连接线表示)建立起来的,它的环境是一种系统环境,它的行为是一种系统行为,它的功能是一种系统功能,它的关系流的集合是一种系统结构.因此,根据文献[4,5,6,7,8,9,10,11,12]的结论,即对于任何一个系统,它的环境、结构和行为或功能之间存在固有的关系及规律,复杂网络的环境、结构,即复杂网络的关系流的集合,包括信息流、物流、能量流、资金流、人力资源流等和复杂网络行为或功能之间存在固有的关系及规律.因此,本文在提出若干新概念,特别是关系流概念的基础上,把复杂网络作为一种系统,应用一般系统结构理论,特别是文献[4,5,6,7,8,9,10,11,12],研究复杂网络的关系流,包括信息流、物流、能量流、资金流、人力资源流等和复杂网络行为或功能之间的关系及规律,试图从理论上得到关于复杂网络关系流与复杂网络行为或功能之间的关系及规律的定理,形成这样一个复杂网络关系流与行为关系模型,通过对该模型的数学研究,可以从理论上揭示复杂网络关系流和复杂网络行为或功能之间存在的一系列固有关系及规律,以及这些关系及规律衍生的复杂网络研究思想、理论、方法、手段和工具,推动复杂网络研究的发展.1复杂网络关系流回路定义1复杂网络CN(n)是指由n个存在关联的节点e(1),…,e(i),…,e(n)构成的整体(n≥2);复杂网络行为Hcn(t)是指复杂网络在t时刻的某种外部活动或表现.根据复杂网络、复杂网络行为、系统和系统行为的定义,复杂网络是一种系统,复杂网络行为是复杂网络作为一种系统它的系统行为.并且,复杂网络作为系统,其节点之间的关联,以及复杂网络和环境之间的关联是通过信息流、物流、能量流、资金流、人力资源流等建立起来的.因此,我们给出如下定义.定义2关系流Rfij(t)是指在t时刻复杂网络的节点e(i)对e(j)的作用因子流,即信息流、物流、能量流、资金流、人力资源流等,节点e(i)通过关系流Rfij(t)对节点e(j)产生作用,使得节点e(i)和e(j)间产生一定的关联,如图1所示.其中,关系流Rfij(t)用节点e(i)和e(j)间的有向连接线或边表示.根据关系流和关系的定义,关系流是复杂网络作为一种系统它的关系.因此,根据关系方程,得到如下关系流方程:fij(si(t),Rfij(t),sj(t))=0.fij(si(t),Rfij(t),sj(t))=0.定义3设复杂网络CN(n)在t时刻具有关系流Rfij(t)(1≤i,j≤n;n≥2),那么,所有关系流Rfij(t)(1≤i,j≤n;n≥2)的集合称为复杂网络关系流集,记为Rfcn(t)={Rfij(t)|fij(si(t),Rfij(t),sj(t))=0;1≤i,j≤n;n≥2}.Rfcn(t)={Rfij(t)|fij(si(t),Rfij(t),sj(t))=0;1≤i,j≤n;n≥2}.根据复杂网络关系流集和系统结构的定义,复杂网络关系流集是复杂网络作为一种系统它的系统结构.定义4设复杂网络CN(n)在t时刻具有这样k个关系流Rfp+i-1,p+i(t)(i=1,2,…,k,k≥2;e(p+k)≡e(p)),如图2所示,那么,关系流Rfp+i-1,p+i(t)(i=1,2,…,k,k≥2;e(p+k)≡e(p))的集合称为关系流回路,记为Qcn(t).设复杂网络CN(n)在t时刻具有θ个不同的关系流回路Qcn1(t),…,Qcni(t),…,Qcnj(t),…,Qcnθ(t)(Qcni(t)≠Qcnj(t);i≠j),那么,我们把θ称为复杂网络CN(n)在t时刻的关系流回路数.根据关系流回路和关系环的定义,关系流回路是复杂网络作为一种系统它的关系环.定义5复杂网络环境E(S(t))是指对复杂网络CN(n)存在输入关系流Rf(t)的复杂网络外部部分的集合.其中,S(t)∈B,S(t)、B分别表示复杂网络环境E(S(t))的状态和状态空间;复杂网络的输入流Rf(t)是指t时刻环境对复杂网络的关系流,如图3所示.根据复杂网络环境和系统环境的定义,复杂网络环境是复杂网络作为一种系统它的系统环境.2基层次hd中系统结构的生成在文献中,我们从数学上证明了下列定理2.1和2.2.定理2.1设在环境E(S(t))中,S(t)∈B,系统Z(n)在t时刻具有某一层次Hd上的系统结构Rzd(t)、系统状态Sz(t)和系统行为Hz(t),如图4所示,那么,当且仅当对于层次Hd上的每一部分e(p)∈Z(n),它的状态sp仅是系统环境E(S(t))以及与它存在关系的部分e(pi)∈Z(n)(i=1,2,…,k;k≥0)的状态spi的函数(如图5所示),即sp(t)=ϕp(S(t),sp1(t),⋯,spi(t),⋯,spk(t))(Μ-0)sp(t)=ϕp(S(t),sp1(t),⋯,spi(t),⋯,spk(t))(M−0)时,恒有ψ1(S(t),R(t),Rzd(t))=0(Μ-1)ψ2(S(t),Rzd(t),Sz(t))=0(Μ-2)ψ3(S(t),Rzd(t),Ηz(t))=0(Μ-3)ψ1(S(t),R(t),Rzd(t))=0(M−1)ψ2(S(t),Rzd(t),Sz(t))=0(M−2)ψ3(S(t),Rzd(t),Hz(t))=0(M−3)式中,S(t)和B分别表示在t时刻系统环境E(S(t))的状态和状态空间;R(t)表示在t时刻系统环境E(S(t))与系统Z(n)间的关系.这时,系统结构层次Hd称为系统基层次.定理2.2设在环境E(S(t))中,S(t)∈B,系统Z(n)在t时刻具有系统基层次Hd上的系统结构Rzd(t)={Rij(t)|fij(si(t),Rij(t),sj(t))=0;1≤i,j≤n;n≥2},并且关系环数为零,即θd=0,那么,对于任一关系Rij(t)∈Rzd(t),恒有Rij(t)=ϕij(S(t))(Μ-4)Rij(t)=ϕij(S(t))(M−4)以及Sz(t)=φ2(S(t))(Μ-5)Ηz(t)=φ3(S(t))(Μ-6)Sz(t)=φ2(S(t))(M−5)Hz(t)=φ3(S(t))(M−6)其中,S(t)和B分别表示在t时刻系统环境E(S(t))的状态和状态空间;R(t)表示在t时刻系统环境E(S(t))与系统Z(n)间的关系.3复杂网络密度面的基层次根据上述定义和定理2.1和2.2,我们得到下列定理3.1和3.2.定理3.1设在环境E(S(t))中,S(t)∈B,复杂网络CN(n)在t时刻具有某一层次Hd上的关系流集Rfcnd(t)、输入流Rf(t)和复杂网络行为Hcn(t)(如图6所示),那么,当且仅当对于层次Hd上的每一节点e(p)∈CN(n),它的状态sp(t)或行为Hp(t)仅是其输入流Rfp(t)的函数(如图7所示),即sp(t)=ϕp(Rfp(t))(CΝΜ-01)或Ηp(t)=ϕp(Rp(t))(CΝΜ-02)时,恒有ψ(Rf(t),Rfcnd(t),Ηcn(t))=0(CΝΜ-1)或ψ(CΝRf(t),Ηcn(t))=0(CΝΜ-1)CΝRf(t)=Rf(t)∪Rfcnd(t)式中,S(t)和B分别表示在t时刻环境E(S(t))的状态和状态空间.这时,复杂网络层次Hd称为复杂网络的基层次.定理3.2设在环境E(S(t))中,S(t)∈B,复杂网络CN(n)在t时刻具有基层次Hd上的关系流集Rfcnd(t)、输入流Rf(t)和复杂网络行为Hcn(t),并且关系流集Rfcnd(t)中没有关系流回路,即θd=0,那么,恒有Ηcn(t)=φ(Rf(t))(CΝΜ-2)其中,S(t)和B分别表示在t时刻环境E(S(t))的状态和状态空间.证明1)先证明式(CNM-01)和(CNM-02).对于任一复杂网络CN(n),作为一种系统,它满足定理2.1和2.2,所以,由图5和关系流方程得:fep(S(t),Rfep(t),sp(t))=0fip(spi(t),Rfip(t),sp(t))=0;i=1,2,⋯,k把上式代入式(M-0)得到sp(t)=ϕp(Rfep(t),Rf1p(t),⋯,Rfip(t),⋯,Rfkp(t))令Rfp(t)={Rfep(t),Rf1p(t),⋯,Rfip(t),⋯,Rfkp(t)}‚得到sp(t)=ϕp(Rfp(t))根据式(M-1)、(M-2)和(M-3)可知,对于节点e(p)∈CN(n)有:ψ2(S*,Rfp(t),sp(t))=0ψ3(S*,Rfp(t),Ηp(t))=0由上两式得到ψ3(sp(t),Rfp(t),Ηp(t))=0由上式和(CNM-01)式得到Ηp(t)=ϕp(Rfp(t)).2)再证明式(CNM-1).根据定理2.1,对于复杂网络CN(n),它的基层次Hd上的关系流集Rfcnd(t)、输入流Rf(t)和复杂网络行为Hcn(t)满足ψ1(S(t),Rf(t),Rfcnd(t))=0ψ3(S(t),Rfcnd(t),Ηcn(t))=0由上两式得ψ(Rf(t),Rfcnd(t),Ηcn(t))=0.3)由定理2.2立即得到定理3.2.我们把定理3.1和3.2分别称为复杂网络关系流与行为关系定理1和2;把方程(CNM-1)和(CNM-2)称为复杂网络关系流与行为关系模型,记为CNM(1-2).4复杂网络关系流管理复杂网络关系流与行为关系定理表明:1)对于任一复杂网络,它的输入流、基层次上的关系流集和复杂网络行为或功能之间存在固有的关系及规律——所有复杂网络演化应当遵循的基本原理和规律,即对于任一复杂网络,复杂网络行为或功能仅由它的输入流Rf(t)和基层次Hd上的关系流集Rfcnd(t)——复杂网络关系流CNRf(t)=Rf(t)∪Rfcnd(t),特别是其中的关系流回路,决定和支配的.因此,复杂网络关系流管理是复杂网络研究的重要内容;2)对复杂网络的任一关系流Rfij(t),如信息流、物流、能量流或资金流在t时刻的微小变化,都可能对复杂网络行为产生重要的影响.同时,一个复杂网络往往包含大量的关系流,并且许多关系流,特别是信息