《离散数学》第五章5节

1、阿贝尔群定义5-5.1：如果群<G,*>中的运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群(Abel)，或称交换群。思考：与群的关系满足哪些条件5-5阿贝尔群和循环群1整理ppt◦f0f1f2f3f0f1f2f3f0

f1f2f3f1f2f3

f0f2f3

f0f1f3f0f1f2◦满足封闭性和可结合性f0是◦

的幺元；f0，f2的逆元是自身，f1，f3互逆，由运算表可知◦是可交换的。∴<F,◦>是一个阿贝尔群例1：设S={a,b,c,d}，双射函数f：f(a)=b，f(b)=c，f(c)=d，f(d)=a，构造复合函数◦，f0(x)=x，f1=f，f2=f(f(x))，…；构造集合F={f0,f1,f2,f3}，证明<F,◦>是一个阿贝尔群。证明：F={f0，f1，f2，f3}上的º运算表如下◦2整理ppt定理5-5.1：设<G,*>是一个群，<G,*>是阿贝尔群的充要条件是对任意的a,b∈G，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。证明：充分性：a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*ba-1*(a*(a*b)*b)*b-1=a-1*(a*(b*a)*b)*b-1，得：a*b=b*a可交换∴<G，*>是阿贝尔群。必要性：设<G,*>是阿贝尔群，则对任意的a,b∈G有a*b=b*a则(a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b=a*(b*a)*b=(a*b)*(a*b)3整理ppt定义5-5.2：设<G,*>为群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元。即G是由a生成的循环群x∈G，i∈Z使x=ai2、循环群4整理ppt例：设<G,◦>是由下面的运算表定义的四阶群，G是否为循环群。*eabceabceabcaecbbcaecbeab1=bb2=b*b=ab3=a*b=cb4=c*b=ec1=cc2=c*c=ac3=a*c=bc4=b*c=e循环群的生成元不唯一5整理ppt定理5-5.2：任何一个循环群必定是阿贝尔群证明：设<G,*>是一个循环群，它的生成元是a，那么对于任意的x,y∈G，必有r,s∈I，使得x=ar，y=asx*y=ar*as=ar+s=y*x，∴<G,*>是一个阿贝尔群。6整理ppt定理5-5.3设<G,*>是一个由元素a∈G生成的有限循环群。如果G的阶数是n，即|G|=n，则an=e，且G={a,a2,a3,…,an-1,an=e}，其中，e是<G,*>中的幺元，n是使an=e的最小正整数(称n为元素a的阶)。证明:(1)不存在m，m<n满足am=e

假定存在m<n，am=e。<G,*>是循环群，

x∈G，有x=ak(k∈I)且k=mq+r，其中q是k/m的商，r是余数，显然0≤r<m所以有ak=amq+r=(am)q*ar=ar…与|G|=n相矛盾7整理ppt(2)a，a2，…，an各不相同假定ai=aj，且1≤i<j≤n，有aj-i=e且1≤j-i<n，这在前面证明是不可能的，故a，a2，…，an各不相同，因此G={a,a2,…,an=e}<G，*>为群，则其为循环群的充要条件是在G中存在一个阶为n的元素a，其中|G|=n。8整理ppt*αβγδαβγδαβγδβαδγγδβαδγαβ例3设G={α，β，γ，δ}，在G上定义二元运算*，求证<G,*>是一个循环群。证明：由运算表可知，*是封闭的。

α是幺元，β、γ、δ的逆元分别是β、δ、γ。在这个代数系统中，有

γ2=β，γ3=δ，γ4=α，δ2=β，δ3=γ