第6章：短期聚合风险模型

第6章短期聚合风险模型

【考试内容】

6.1引言

6.2理赔总量模型

S的概率分布

S的均值、方差或高阶矩

6.3

复合泊松模型

复合泊松模型的定义和基本性质复合泊松模型的特殊性质

6.4聚合理赔量的近似模型

正态分布近似平移伽玛分布近似

6.5个体风险模型与复合泊松模型的关系

【要点详解】

§6.1引言

1．聚合风险模型

聚合风险模型是将保单组合视为一个整体，以发生理赔的保单为基本研究对象，理赔总量是按每次理赔发生的时间顺序将所有理赔量累加起来。

2．短期聚合风险模型：

（1）N表示某类保单在单位时间内发生理赔的次数，Ci表示该类保单在此期间第i次理赔的金额，S为该类保单在此期间的理赔总量：其中：N取值为非负整数，而且P{N=0}>0，N是与保单组合的理赔发生频率有关的随机变量，一般称之为理赔次数变量；Ci是取值于正数(连续或离散)、测量每次独立理赔量额度大小的随机变量，而且有P{Ci=0}=0，一般称之为理赔额变量。（2）简化模型的假设：假设1：随机变量N，C1，C2，…相互独立；假设2：C1，C2，…具有相同的分布，即Ci都是同质风险。记它们的共同的概率分布函数为P(x)、概率密度（或概率函数）为p(x)，用C表示服从该共同分布的随机变量。

如果用泊松分布来描述理赔次数N的分布，则模型S称为复合泊松分布。用负二项分布来描述理赔次数N的分布，这时称S的分布为复合负二项分布。

§6.2理赔总量模型

1．S的概率分布

设S的分布函数为Fs(x)，密度函数为fs(x)，则：由于C1，C2，…，Cn独立同分布，分布函数为F(x)，概率密度函数为p(x)，则P(C1+C2+…+Cn≤x)=F*F*…*F(x)=F*n(x)则可得故有

2．S的均值、方差或高阶矩

若S的均值与方差皆存在，则有方差Var(S)由两部分构成：一部分是理赔量本身的方差，另一部分是理赔次数的方差。

【例题6.1】总损失额S服从复合分布，S的概率函数可表示为：其中，个体损失额X的概率函数为：fX(1)=0.20，fX(2)=0.50，fX(3)=0.30。表示fX的n重卷积，总损失额S的方差为（）。

A．265.48

B．270.48

C．275.48

D．280.48

E．285.48

【答案】B

【解析】由已知条件可知，损失次数N服从负二项分布，参数r=3，p=0.2，q=0.8，故：E(N)=rq/p=12，Var(N)=rq/p2=60。且E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1，E(X2)=12×0.2+22×0.5+32×0.3=4.9，

Var(X)=E(X2)－E2(X)=4.9－2.12=0.49。所以Var(S)=E2(X)Var(N)+Var(X)E(N)=2.12×60+0.49×12=270.48。

【例题6.2】对于总损失模型，已知Xi（i=1，2，…）相互独立，Xi的概率分布为：

P(Xi=1)=0.2，P(Xi=2)=0.8其中，随机变量N在Λ=λ的条件下服从参数为λ的泊松分布。随机变量Λ服从期望为p的泊松分布。已知Λ、N与个体索赔额Xi独立，Var(S)=10，则p=（）。

A．1.1

B．1.2

C．1.3

D．1.4

E．1.5

【答案】E

【解析】由已知条件得：E(N)=E(Λ)=p，Var(N)=E(Λ)+Var(Λ)=2p；

E(X)=1×0.2+2×0.8=1.8，E(X2)=12×0.2+22×0.8=3.4

Var(X)=E(X2)－E2(X)=3.4－1.82=0.16故：10=Var(S)=E2(X)Var(N)+Var(X)E(N)=1.82×2p+0.16×p，解得：p=1.51。

【例题6.3】若聚合理赔模型中个别理赔额服从正态分布N(100，9)，理赔次数N的分布为：则聚合理赔款S的方差与均值之比为（）。

A．1.9

B．4.7

C．9.0

D．57.5

E．190.0

【答案】D

【解析】由已知条件得：E(X)=100，Var(X)=9；

E(N)=1×0.5+2×0.2+3×0.2+4×0.1=1.9，E(N2)=12×0.5+22×0.2+32×0.2+42×0.1=4.7，

Var(N)=E(N2)－E2(N)=4.7－1.92=1.09。

所以E(S)=E(N)E(X)=1.9×100=190；

Var(S)=E2(X)Var(N)+E(N)Var(X)=1002×1.09+1.9×9=10917.1。故方差与均值之比为：10917.1/190=57.458。

3．S的矩母函数

只要已知理赔次数N的矩母函数MN(t)和理赔额Ci的矩母函数，便可由上式进行复合运算得到S的矩母函数。

【例题6.4】假定理赔次数N服从几何分布，概率分布为P(N=n)=pqn，n=0，1，2，…，0<p<1，p+q=1；个别理赔额X服从参数为β的指数分布Exp(β)，聚合理赔S的矩母函数Ms(t)等于（）。[2008年春季真题]

【答案】A

【解析】由已知，有

故

§6.3复合泊松模型

1．复合泊松模型的定义和基本性质

（1）定义：随机变量S为参数λ＞0的复合泊松模型，若它满足：①N服从参数为λ＞0的泊松分布；②理赔额变量C1，C2，…互相独立具有相同的分布，简称为理赔额变量C。其分布函数为F(x)，x≥0；密度函数为p(x)，x≥0；并记其k阶原点矩为：③N与C1，C2，…，相互独立。则短期聚合风险模型的随机变量S为参数λ＞0的复合泊松模型。（2）基本性质：

2．复合泊松模型的特殊性质

（1）对求和的封闭性：已知S1，S2，…，Sm是相互独立的随机变量，而且Si为参数λi的复合泊松分布，理赔额变量的分布函数为Fi(x)，i=1，2，…，m。则S=S1+S2+…+Sm服从参数为的复合泊松分布，理赔额的分布函数为：注：对求和的封闭性对于建立保险风险模型具有两方面的意义：第一，在考虑由多个保单组合构成的总业务组合时，若这些保单组合之间是相互独立的，而且每个保单组合的总理赔模型均为复合泊松模型，则总业务组合的总理赔模型依然为复合泊松模型；第二，在考虑同一保单组合在若干个连续保险年度中的理赔总量的分布时，若每个保险年度的理赔总量都是复合泊松模型而且相互独立，即使它们未必具有相同的分布，这些年的理赔总量也将服从复合泊松模型。（2）可分解性：假设随机变量S服从复合泊松分布，参数λ＞0，理赔额为离散型随机变量，概率函数为πi=P(C=xi)，i=1，2，…，m，其中xi表示理赔额变量的取值。若记Ni为S中取值为xi的次数，i=1，2，…，m，则有：N=N1+N2+…+Nm，N＞0，有以下结论成立：

☞

N1，N2，…，Nm相互独立；

☞

Ni服从参数为λi=λπi的泊松分布，i=1，2，…，m。

（3）分布计算的递推性质：对于复合泊松模型，当理赔额变量C取值于正整数时，有如下的fS(x)的迭代公式：（4）递推性质的应用——限额损失再保险问题：①最常见的两种最基本的再保险方式：限额损失再保险(也称超额超赔再保险)和比例再保险。模型如下：

限额损失再保险：d为免赔额。比例再保险：I(S)=kS，0<k<1②限额损失再保险理赔额Id的均值：设S的分布函数为Fs(x)，密度函数为fs(x)，则有：

特别地，当理赔S仅取非负整数值并且d也是整数时，有：由这些不同的表达式还可以导出关于E(Id)的递推公式：

（5）逆推性质的拓展：

若短期聚合模型中的理赔次数N服从（a，b，0）类计数分布，且理赔额变量C取值于正整数，则有如下关于理赔总额概率分布函数fS(x)的迭代公式：

fs(0)=P（N=0）

【例题6.5】已知总索赔额服从复合泊松分布，Xi的概率函数为：

P(Xi=1)=P(Xi=2)=0.2，P(Xi=3)=0.6

N服从期望为2的泊松分布，则E[max(S－1.2，0)]=（）。

A．3.6

B．3.8

C．4.0

D．4.2

E．4.4

【答案】B

【解析】由已知条件得：E(N)=λ=2，E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.6=2.4，所以E(S)=λE(X)=4.8。而由复合泊松分布的概率分布的迭代公式：得：fS(0)=e-λ=e-2，fS(1)=2P(Xi=1)fS(0)=2×0.2×e-λ=0.4e-2。故

【例题6.6】复合风险模型S的个体索赔额为正整数，索赔次数N服从期望为b的泊松分布。已知E(S)=1.68，且S的概率函数满足：则b－k=（）。

A．－0.10

B．0.00

C．0.05

D．0.10

E．0.15

【答案】B

【解析】已知λ=b，而复合泊松分布的概率分布的迭代公式：与已知概率函数作比较得：bp(1)=0.16，2bp(2)=k，3bp(3)=0.72。又E(S)=b[p(1)+2p(2)+3p(3)]=1.68，即0.16+k+0.72=1.68，解得：k=0.8。且p(1)+p(2)+p(3)=1，即，解得：b=0.5k+0.4=0.8。故b－k=0.8－0.8=0。

【例题6.7】设聚合理赔S服从参数为λ=2的复合泊松分布，个别理赔额变量X的分布如下：则P{S≤500}=（）。[2008年春季真题]

A．0.31

B．0.45

C．0.48

D．0.50

E．0.55

【答案】B

【解析】可将理赔额0、100、200、300、400、500分别看作单位0、1、2、3、4、5，则

§6.4聚合理赔量的近似模型

1．正态分布近似

（1）当短期聚合风险模型为复合泊松模型、泊松参数为λ、理赔额变量的分布函数为F(x)时，有：的分布当λ→∞时趋于标准正态分布，其中P1、P2分别为F(x)对应的1阶和2阶原点矩。

（2）当短期聚合风险模型为复合负二项分布、参数为r和p、理赔额变量的分布函数为F(x)时，有：的分布当r→∞时趋于标准正态分布。

【例题6.8】对于聚合理赔款S=X1+X2+…+XN，已知：（1）理赔次数N服从均值为0.5的泊松分布；（2）N，X1，X2，…互相独立；（3）个别索赔额X1，X2，…独立同分布，均值和方差均为100。定义损失率为一保单组合总赔款和总保费的比率，安全附加费率为0.1。用正态近似的方法求损失率超过0.75的概率为（）。

A．Ф(0.123)

B．1－Ф(0.123)

C．Ф(0.500)

D．Ф(0.877)

E．1－Ф(0.877)

【答案】A

【解析】依题意得：

=P(S＞0.75×1.1E(S))=P(S＞0.75×1.1×100×0.5)

=P(S＞41.25)

=

【例题6.9】假定S服从参数r=6及p=0.25的复合负二项分布，理赔额服从指数分布3e-3x，用正态近似计算P(S＜8)=（）。

A．B．1－

C．D．1－

E．

【答案】A

【解析】由已知条件得：E(N)=rq/p=6(1-0.25)/0.25=18，Var(N)=rq/p2=6(1-0.25)/0.252=72所以E(S)=E(N)E(X)=6

Var(S)=E2(X)Var(N)+E(N)Var(X)=(1/9)×72+18×(1/9)=10故

2．平移伽玛分布近似

（1）定义：①参数为α和β的伽玛随机变量的分布函数为：②对任意的点x0＞0，定义如下新的分布函数，称为平移伽玛分布：H(x；α，β，x0)=Gamma(x－x0；α，β)，x≥x0

注意：平移伽玛分布相当于将Gamma(x；α，β)平移了x0个单位。（2）平移伽玛分布的一、二及三阶中心矩分别为：

（3）用平移伽玛分布来近似聚合理赔S：

采用中心矩相等的原则，令平移伽玛随机变量和聚合理赔S的一、二、三阶中心矩相等，即：由此解出x0，α，β的值即可。

特别的，对于复合泊松分布，有：

【例题6.10】已知随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，Xk的密度函数为

[2008年春季真题]

A．1.1

B．1.5

C．2.1

D．2.5

E．3.1

【答案】D

【解析】由已知，有X～Gamma(k,2)，故

故

【例题6.11】假设S服从复合泊松模型，参数λ=12，且理赔额服从[0，1]上的均匀分布，则用正态近似计算P(S<10)和用平移伽玛近似计算P(S<10)的差为（）。

A．0.001

B．0.003

C．0.005

D．0.007

E．0.009

【答案】E

【解析】依题意知，理赔额变量C服从[0，1]上的均匀分布，则其分布函数为P(x)=x，x∈[0，1]。故其1、2阶原点矩分别为：

，，

；

E(S)=λp1=6，Var(S)=λp2=4，E[S－E(S)]3=λp3=3。

①若采用正态近似，则P(S<10)==0.97725；②若采用平移伽玛近似，则

即平移伽玛分布为：

H(x：α，β，x0)=H(x；256/9，8/3，-14/3)=Gamma(x－x0；α，β)

=Gamma(x+14/3；256/9，8/3)。因此P(S<10)=Gamma(10+14/3：256/9，8/3)=Gamma(44/3：256/9，8/3)=0.9682。

故两者之差为：0.97725－0.9682=0.00905。

§6.5个体风险模型与复合泊松模型的关系

1．个体风险模型

现有由n张独立的保单组成的保单组合，每张保单至多发生一次理赔，而且第i张保单发生理赔的概率为：P(Ii=1)=qi，第i张保单发生理赔后的金额为：Bi~fi(x)，x>0，相应地，总理赔S的模型为：并且有：其中：2．以发生总理赔额的均值不变为原则进行复合泊松近似

（1）理赔额变量B服从以下分布：考虑如下的复合泊松模型：其中：N为参数的泊松分布，Yi独立同分布，上述模型可看做是个体风险模型的一种泊松模型近似。

（2）近似模型的期望和方差：近似模型的均值与个体风险模型的均值相等，方差偏高。（3）理赔额变量B的一阶，二阶原点矩：其中：，满足由此可知：近似的复合泊松模型中，理赔额的均值和二阶原点矩可看做是对每一张保单理赔额的