基于rpim的连续体结构拓扑优化设计

基于rpim的连续体结构拓扑优化设计

1密度和接触问题的数值计算结构的连续优化设计是结构优化领域之后的一个充满挑战的研究方向。连续体结构拓扑优化的优点是能在不知道结构拓扑形状的前提下,根据已知边界条件和荷载条件确定比较合理的结构形式,从而提出最佳形状设计方案。连续体结构的拓扑优化本质上是一种0-1离散变量的组合优化问题。目前主要有三大类拓扑优化方法:均匀化方法、变密度方法和渐进结构优化方法。其中,变密度法是一种常用的拓扑优化方法,其基本思想是不引入微结构,而是引入一种假想的相对密度在0～1之间可变的材料,人为假定相对密度和材料弹性模量之间的某种对应关系,程序实现简单,计算效率高。变密度法中所指的密度是反映材料密度和材料特性之间对应关系的一种伪密度。变密度法中常见的插值模型是,固体各向同性惩罚微结构模型SIMP(SolidIsotropicMicrostructureswithPenalization)和材料特性的合理近似模型RAMP(RationalApproximationofMaterialProperties)。目前,连续体结构的拓扑优化问题基本上都是基于有限元数值计算方法。有限元法在处理网格畸变及网格移动等问题时,计算中需要不断重新划分和重构网格以解决与原始网格线不一致的不连续和大变形问题。无网格方法(MeshlessMethod)是近年来迅速发展起来的一种新型的数值方法。这种方法采用基于点的近似,可以彻底或部分的消除网格,不需要网格的初始划分和重构,不仅可以保证计算精度,而且可以减小计算的难度。目前已提出多种无网格方法主要有:光滑质点流体动力学方法(SPH)、无单元伽辽金法(EFG)、再生核粒子法(RKPM)以及无网格局部伽辽金法(MLPG)等。与有限元不同,无网格法中使用的近似函数大都是不具有插值特性,因此在基于Galerkin法的无网格中对于边界条件的处理比较棘手。由Liu等提出的点插值方法(PIM)则较好的解决了这个问题。点插值方法的插值函数具有Delta函数性质,可以很方便的施加本质边界条件,不足之处是在计算插值函数时矩阵易于奇异。实际上,带有多项式的径向点插值法就可以有效地解决点插值法中出现的奇异性问题。本文利用无网格RPIM方法对二维线弹性连续体结构的拓扑优化问题进行研究。在优化过程中,选择节点的相对密度作为设计变量,有效地抑制了点态棋盘格现象。最后通过算例分析证明了应用无网格径向点插值法进行结构拓扑优化设计的正确性和有效性。2弹性力学平面问题中非格径点的插值方法2.1径向基函数的引入在径向点插值法中,计算域是用一系列点来离散的,每个点都有一定的影响域,某给定点处的位移是通过对该点的影响域中其他点处的位移进行插值而得到。设二维域Ω中的任一函数u(x),可用径向基和多项式基的线性组合表示为u(x)=n∑i=1Ri(x)ai+m∑j=1Ρj(x)bj=RΤ(x)a+ΡΤ(x)b(1)式中Ri(x)为径向基函数(RBF),ai为Ri(x)的系数,Pj(x)为坐标xT=[x,y]中的单项式,bj为Pj(x)的系数,n为RBF的项数,m为多项式基函数的项数。为保证取得较好的稳定性,通常取m<<n。在二维问题中,一般采用线性基:PT(x)=[1,x,y)]。径向基的引入主要是为了避免单纯采用多项式基时可能导致的刚度矩阵奇异性,目前常用的径向基函数有以下四种形式:1)Multi-quadrics(MQ)Ri(x,y)=(r2i+(αcdc)2)q,αc≥02)Gaussian(EXP)Ri(x,y)=exp[-αc(ridc)2]3)ThinPlateSpline(TPS)Ri(x,y)=rηi4)LogarithmicRi(x,y)=rηilogri式中ri=√(x-xi)2+(y-yi)2‚αc,dc,q和η为形状参数。式(1)中的系数ai和bj可由u(x)通过影响域中的n个离散节点来确定,如第k个插值点为uk=u(xk,yk)=n∑i=1Ri(xk,yk)ai+m∑j=1Ρj(xk,yk)bjk=1,2,⋯,n(2)写成矩阵形式为Us=R0a+Pmb(3)为了保证近似函数的唯一性,对系数要有附加条件,如n∑i=1Ρj(xi,yi)ai=ΡΤma=0j=1,2,⋯,m(4)联立式(3)和式(4),得ˉUs={Us0}[R0ΡmΡΤm0][ab]=G{ab}(5)可将式(1)重新写成:u(x)=RΤ(x)a+ΡΤ(x)b=[RΤ(x)ΡΤ(x)]{ab}(6)利用式(5),可得u(x)=[RΤ(x)ΡΤ(x)]G-1ˉUs=ˉΦΤ(x)ˉUs(7)式中ˉΦΤ(x)为RPIM的形函数,可表示为ˉΦΤ(x)=[RΤ(x)ΡΤ(x)]G-1=[ϕ1(x)ϕ2(x)⋯ϕn(x)ϕn+1(x)⋯ϕn+m(x)](8)最终对应于节点位移向量的RPIM形函数Φ(x)可表示为ΦΤ(x)=[ϕ1(x)ϕ2(x)⋯ϕn(x)](9)式(7)可重写成:u(x)=ΦΤ(x)Us=n∑i=1ϕiui(10)2.2单位外法线向量考虑弹性力学平面问题:{LΤσ+b=0在∈Ωσn=ˉt在∈Γtu=ˉu在∈Γu(11)式中L为应变微分算子,ˉt为自然边界上给定的表面力,ˉu为位移边界上给定的位移,n为自然边界上某点处的单位外法线向量。式(11)的变分形式可表示为∫Ω(Lδu)Τ(DLu)dΩ-∫ΩδuΤbdΩ-∫ΓtδuΤˉtdΓ=0(12)将式(10)代入上式,可得KU=F(13)式中节点的刚度矩阵KIJ和节点的荷载向量FI可分别表示为ΚΙJ=∫ΩBΤΙDBJdΩFΙ=∫ΩΦΤΙbdΩ+∫ΓtΦΤΙˉtdΓ其中BΙ=[ϕΙ,x00ϕΙ,yϕΙ,yϕΙ,x]D=E1-μ2[1μ0μ1000(1-μ)/2]3结构拓扑优化3.1密度场插值设计SIMP模型是工程中应用最多的密度函数插值模型,通过引入惩罚因子使中间密度值向0、1两端聚集,使连续变量的拓扑优化模型能很好地逼近0-1离散变量的优化模型,其数学模型为Eijkl(x)=ρp(x)E0ijkl(14)式中E0ijkl和Eijkl分别表示初始弹性模量和优化后的弹性模量,p为惩罚因子。设计域内任意一点的相对密度,可以用RPIM形函数对其影响域内节点的相对密度插值得到,即ρg=np∑i=1Φiρi(15)式中ρi为第i个节点的相对密度,并确定为设计变量;Φi为RPIM形函数,np为影响域内的节点数目。这种插值方案保证了密度场的函数具有C0连续性,从而克服了点态棋盘格现象。本文以节点的相对密度作为优化的设计变量,以柔度的最小化作为优化的目标,以结构整体的体积约束作为优化的约束条件,基于SIMP模型建立线弹性结构拓扑优化设计在静力状态下的数学模型,其形式如下:find.ρ(x),x∈Ωmin.c=FTUs.t.KU=FV=∫ΩρgdΩ=fV0,0<ρmin≤ρi≤1(16)式中K为整体刚度矩阵,U为位移列阵,F为荷载列阵,V为在设计变量状态下的设计区域体积,V0为优化前的设计区域体积,f为体积系数。为了避免计算中的奇异性,取密度下限值为ρmin=0.001。3.2oc法变量迭代格式求解拓扑优化的算法有优化准则法(OC)、序列线性规划法(SLP)和移动渐近线法(MMA)等。利用优化准则法进行优化求解时,最大的特点是对设计变量修改较大,收敛速度快,迭代次数少,且与结构的大小和复杂程度无关。本文采用文献中OC法的设计变量迭代格式,即ρnewi={max(ρmin,ρi-m)ifρiBηi≤max(ρmin,ρi-m)ρiBηiifmax(ρmin,ρi-m)<ρiBηi<min(1,ρi+m)min(1,ρi+m)ifmin(1,ρi+m)≤ρiBηi(17)式中Bi=-∂c∂ρi/λ∂V∂ρi其中λ为拉格朗日乘子,可以通过二分法来求解,m为移动极限常数,η为阻尼系数。移动极限常数和阻尼系数的引入是为了保证优化迭代的稳定性。3.3各变量间的匹配本文参考有限元法的灵敏度分析方法,根据无网格法的离散原理和积分方法,利用伴随灵敏度分析方法,求解目标函数的灵敏度。通过添加零函数将目标函数改写为c=FΤU-˜UΤ(ΚU-F)(18)式中˜U为任意实向量。对式(18)关于节点密度求导,得到∂c∂ρi=FΤ∂U∂ρi-˜UΤ(∂Κ∂ρiU+Κ∂U∂ρi)=(FΤ-˜UΤΚ)∂U∂ρi-˜UΤ∂Κ∂ρiU(19)当˜U满足伴随方程FΤ-˜UΤΚ=0时,˜U=U,式(19)转化为∂c∂ρi=-UΤ∂Κ∂ρiU(20)这样,目标函数的灵敏度就转化为求解刚度矩阵关于设计变量的灵敏度。由K=∫ΩρgpBTDBdΩ得∂Κ∂ρi=∫Ωpρgp-1ΦiBΤDBdΩ(21)体积约束对设计变量的灵敏度为∂V∂ρi=∫ΩΦidΩ(22)4计算在本小节中,将通过几个经典的拓扑优化算例来说明本文所提出的优化算法的可行性和有效性。4.1不同材料的pla和丙纶拓扑优化设计考虑如图1(a)所示的悬臂梁,长10m,宽10m,厚1m,左边固定,右边中点处作用一集中荷载F=1kN。将设计区域离散成441个节点,根据节点的布置,将设计区域划分为400个积分单元,每个积分单元设置2×2个高斯积分点。材料弹性模量E=3×108Pa,泊松比μ=0.3,取体积比为50%。利用本文的方法对图1(a)所示模型进行拓扑优化设计,迭代到47步时结果收敛,拓扑优化结果如图1(b)所示,拓扑优化目标函数值从0.4510减小到0.0478。图1(c)为用有限元法进行拓扑优化的结果,迭代22次,拓扑优化目标函数值从0.4496减小到0.0489。图1(d)为采用了灵敏度过滤技术的有限元拓扑优化结果,迭代35次,拓扑优化目标函数值从0.4496减小到0.0535。从图1可以看出,利用无网格径向点插值法可以有效地对二维连续体结构进行拓扑优化设计,优化结果更加趋于最优,但计算时间略有增加,同时选取节点的相对密度作为拓扑优化设计变量可以有效地抑制有限元法中的棋盘格现象。4.2低影响单元拓扑优化设计考虑如图2(a)所示的悬臂梁,长10m,宽10m,厚1m,左边固定,右边下端点处作用一集中荷载F=1kN。仍将设计区域离散成441个节点,将设计区域划分为400个积分单元,每个积分单元设置2×2个高斯积分点。材料弹性模量E=3×108Pa,泊松比μ=0.3,取体积比为40%。利用本文的方法对图2(a)所示模型进行拓扑优化设计,迭代到89步时结果收敛,拓扑优化结果如图2(b)所示,拓扑优化目标函数值从1.9150减小到0.1036。图2(c)为利用RPIM方法选取高斯点相对密度作为设计变量进行拓扑优化的结果,迭代59次,拓扑优化目标函数值从1.9150减小到0.0907。从图2可以看出,用无网格径向点插值法基于节点相对密度进行结构拓扑优化可以有效地抑制基于高斯点密度进行拓扑优化中的点态棋盘格现象。5基于simp模型的结构