高中基本不等式知识点

基本不等式●考试目标主词填空1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.2．设a,b∈R+,则称为a,b的算术平均值；称为a,b的几何平均值.3．平均值不等式的原形与变形①≥(当且仅当a=b时取等号)为原形.②变形有:a+b≥；ab≤,当且仅当a=b时取等号.4．利用平均值不等式求最大最小值，是对“能取等号”而言的.要注意不能取等号的情况.5．最值定理如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值;如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.●题型示例点津归纳【例1】设x∈［2,5),求下列函数的最值.(1)y=(3+2x)·(6-x);(2)y=(3+2x)·(4-x);(3)y=4x-9·2x+1+80;(4)y=.【解前点津】(1)因3+2x=12-2x时,x=∈［2,5］,故可直接应用平均值不等式;(2)因3+2x=8-2x时,x=但［2,5］故不能使用平均值不等式;(3)可分解为y=(2x-8)·(2x-10);(4)因方程无根,故不能使用平均值不等式，而考虑其“单调性”.【规范解答】(1)y=(3+2x)·(6-x)=·(3+2x)·(12-2x)≤×［(3+2x)+(12-2x)］2=,当且仅当3+2x=12-2x,即x=时,ymax=,又∵x=2时,y=28;x=5时,y=13<28,故函数只有最大值,而没有最小值.(2)因y=(3+2x)·(4-x)=-2x2+5x+12,其对称轴为x=,故函数在［2,5)上单调减;当x=2时,ymax=(3+4)·(4-2)=14,函数没有最小值.(3)分解因式得:y=(2x-8)·(2x-10)=-(2x-8)·(10-2x)≥-=-1,故ymin=-1,又当x=2时,y=(4-8)·(4-10)=24,当x=5时,y=(32-8)·(32-10)=528.故当且仅当x=2时,函数有最小值-1,而函数没有最大值(x=5［2,5］］.(4)易证函数在［2,5］上单调增,故当x=2时,ymin=,又因5［2,5］,故函数没有最大值.【解后归纳】利用平均值不等式求最值时，应考虑诸项条件是否齐备，对两个正数而言:和定→相等时→积最大;积定→相等时→和最小.在求函数的最值时，若不能使用平均值不等式，则可以考察函数的单调性.【例2】一开发商在某处想圈一块周长为L的地皮，这块地皮既可以为长方形，也可以为圆形，欲使其面积最大，应确定为何种图形?何种尺寸?【解前点津】设长方形的一边之长为x,则邻边之长为-x,则可先确定x·(-x)的最大值.【规范解答】若确定为圆形，则面积为π2=;若确定为长方形，则不妨设其面积为S,一边之长为x,则邻边之长为-x,故S=x·(-x)≤L2.当且仅当x=-x即x=时取等号.∵πL2-L2=L2>0,∴应确定为圆形地皮.【解后归纳】在一切封闭平面图形中，若周长一定，则只有圆的面积最大.【例3】若正数a、b满足ab≥a+b+3,试求a+b的取值范围.【解前点津】设a+b=x,利用平均值不等式，可推导出一个关于x的不等式.【规范解答】设a+b=x,则x>0,ab≥x+3,又ab≤=，故由不等式的传递性得≥x+3,解之x≥6,故a+b的取值范围是［6,+∞］.【解后归纳】求某表达式的取值范围，常可使用“换元法”，从而达到等价转化的目的.【例4】已知:x、y、z∈R+,且满足x+y+z=1,求的取值范围.【解前点津】不具备用平均值不等式的条件，但是+mx,(m>0),则可用等价变形，构造使用平均值不等式的条件可求范围.【规范解答】∵x+y+z=1,引入参数m>0,∴mx+my+mz=m=(+mx)+(-m≥2+4+6-m=12-m.当且仅当=mx且=my且=mz,即x=且y=且z=时取等号.代入x+y+z=1得:++=1.解之m=36.∴12-m=12-36=36.综上所述可知:的取值范围是［36,+∞).【解后归纳】为了使用平均值不等式，可引入一个参数，构造一个含有参数的不等式，它能运用平均值不等式，使运算能进行下去，最后，依据相等的条件，可解出参数的值.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.已知x,y∈R,且2x2+y2-4x≤0,则()A.y2>4xB.y2<4xC.y2≥4xD.y2≤4x2.已知三个不等式:ab>0,-,bc>ad,以其中两个作条件，余下一个作结论，可以组成正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3３.对于x∈［0,1］的一切值，则a+2b>0是使ax+b>0恒成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件４.某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x,则有()A.x=(a+b)B.x≤(a+b)C.x>(a+b)D.x≥(a+b)５.若不等式x+2≤a(x+y)对一切正数x,y恒成立，则正数a的最小值为()A.1B.2C.D.2+1６.建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元，那么水池的最低总造价为()元.A.1000B.1500C.2000D.2500７.设x,y是满足2x+y=20的正数,则lgx+lgy的最大值是()A.50B.2C.1+lg5D.18.已知正数a,b满足ab=a+b+5,则ab的取值范围是()A.［7+,+)B.［7-,+∞)C.［7+2,+∞)D.［7-2,+∞)二、思维激活9.点P(x,y)是直线x+3y-2=0上的动点,则代数式3x+27y的最小值是.10.如果|x|≤,则函数f(x)=cos2x+sinx的最大值是.11.如果圆柱轴截面的周长L的定值，则圆柱体积的最大值为.12.某厂年产值第二年比第一年增长的百分率为P1，第三年比第二年增长的百分率为P2，第四年比第三年增长的百分率为P3，若P1+P2+P3为定值，则年平均增长率的百分率P的最大值为.三、能力提高13.已知2b+ab+a=30(a>0,b>0),求y=的最小值.14.求函数y=(x>-1)的值域.15.已知:a>b>0,求的最小值.16.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v(千米／时)的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米／时)的函数，并指出该函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶.第2课基本不等式习题解答1.D因2x2≤4x-y2成立,故必有4x-y2≥0即y2≤4x.2.D可逐一检验.３.B由条件,x=0时,b>0,x=1时,a+b>0a+2b>0.４.B由(1+x)2=(1+a)(1+b)≤(1+)2.５.B由条件:2≤(a-1)x+ay恒成立,而(a-1)x+ay≥2,令2=2,a(a-1)=2,∴a=2.６.C设池底的一边长为xm,总造价为y元,则池底的邻边之长为m,由条件得:y=180·x·+80·2(2x+)=720+320(x+)≥720+320·2·=2000.7.Clgx+lgy=lgxy=lgx·(20-2x)=lg［2·x·(10-x)］≤lg［2·=lg50=1+lg5.8.C由ab=a+b+5≥2+5,得()2-2≥5(-1)2≥6ab≥7+2.9.3x+27y=32-3y+33y≥2=6,,故最小值为6.10.f(x)=1-sin2x+sinx=1+sinx(1-sinx)≤1+()2=.11.因4R+2h=L为定值,故V柱=πR2·h=π·(2R)·(2R)·(2h)·≤·=·()3=πL3为所求最大值.12.由题意:(1+P1)·(1+P2)·(1+P3)=(1+x)3,∴(1+x)3≤,∴x≤(P1+P2+P3),故P的最大值为(P1+P2+P3).13.∵2b+ab+a=30,∴30≥ab+2·,∴-5≤≤3,当且仅当a=2b时,取等号,解方程组得a=6且b=3ymin=.14.∵x>-1,∴x+1>0,令m=x+1,则m>0且y=≥2+5=9,当且仅当m=2时取等号,故ymin=9.又当m→∞时,y→∞,故原函数的值域是［9,+∞).15.∵a>b>0,∴a-b>0,故.而b·(a-b)=≤=(当且仅当b=a-b即2b=a时取等号).故b·(a-b)有最大值.故原式=a2+≥a2+≥2=56.(当且仅当a2=,2b=a,即a=2时取等号).故原式的最小值为56.16.(1)由条件知:汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为s／v,全程运输成本为y=a·+bv2·=s(+bv),故所求函数及定义域为:y=s·(+bv),v∈(0,c).(2)因s、a、b、v都为正数，故有s·(+bv)≥2