直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳

直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))，则斜率k＝tanα.(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；(3)y轴的方程为x＝0；(4)x轴的方程为y＝0.eq\a\vs4\al(考点一直线的倾斜角与斜率)[典例](1)直线2xcosα－y－3＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3)))(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq\r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．[解析](1)直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq\f(1,2)≤cosα≤eq\f(\r(3),2)，因此k＝2·cosα∈[1，eq\r(3)]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，eq\r(3)]．又θ∈[0，π)，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))).(2)设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－eq\r(3)，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－eq\r(3)]．故直线l斜率的取值范围是(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)．[答案](1)B(2)(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)[变透练清]1.eq\a\vs4\al(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A(cosθ，sin2θ)，B(0,1)，则直线AB的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cosθ≠0，则斜率k＝tanα＝eq\f(sin2θ－1,cosθ－0)＝－cosθ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB的倾斜角的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))2.eq\a\vs4\al(变条件)若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，则直线l斜率的取值范围为________．解析：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴(2k－1＋k)(－eq\r(3)＋k)≤0，即(3k－1)(k－eq\r(3))≤0，解得eq\f(1,3)≤k≤eq\r(3).即直线l的斜率的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\r(3))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\r(3)))3．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．解析：因为kAC＝eq\f(5－3,6－4)＝1，kAB＝eq\f(a－3,5－4)＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案：4eq\a\vs4\al(考点二直线的方程)[典例](1)若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．(2)若直线经过点A(－eq\r(3)，3)，且倾斜角为直线eq\r(3)x＋y＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．(3)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________________．[解析](1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－eq\f(2,5)，此时，直线方程为y＝－eq\f(2,5)x，即2x＋5y＝0.②当横截距、纵截距都不为零时，设所求直线方程为eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－eq\f(1,2)，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.(2)由eq\r(3)x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－eq\r(3)，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为eq\r(3).又直线过点A(－eq\r(3)，3)，所以所求直线方程为y－3＝eq\r(3)(x＋eq\r(3))，即eq\r(3)x－y＋6＝0.(3)设C(x0，y0)，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5＋x0,2)，\f(y0－2,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7＋x0,2)，\f(y0＋3,2))).因为点M在y轴上，所以eq\f(5＋x0,2)＝0，所以x0＝－5.因为点N在x轴上，所以eq\f(y0＋3,2)＝0，所以y0＝－3，即C(－5，－3)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(5,2)))，N(1,0)，所以直线MN的方程为eq\f(x,1)＋eq\f(y,－\f(5,2))＝1，即5x－2y－5＝0.[答案](1)x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0(2)eq\r(3)x－y＋6＝0(3)5x－2y－5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是eq\f(\r(2),2)的直线方程是________________．解析：由题知，倾斜角为eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)，所以斜率为1或－1，直线方程为y－2＝x－1或y－2＝－(x－1)，即x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.答案：x－y＋1＝0或x＋y－3＝02．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为eq\f(x,a＋1)＋eq\f(y,a)＝1，则eq\f(6,a＋1)＋eq\f(－2,a)＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是eq\f(x,2＋1)＋eq\f(y,2)＝1或eq\f(x,1＋1)＋eq\f(y,1)＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.答案：2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0eq\a\vs4\al(考点三直线方程的综合应用)[典例]已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当|eq\o(MA,\s\up7(→))|·|eq\o(MB,\s\up7(→))|取得最小值时直线l的方程．[解]设A(a,0)，B(0，b)，则a＞0，b＞0，直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1.|eq\o(MA,\s\up7(→))|·|eq\o(MB,\s\up7(→))|＝－eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－＝(2a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))－5＝eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为()A．1 B．2C．4 D．8解析：选C∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，∴a＋b＝ab，即eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，∴a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l：x－my＋eq\r(3)m＝0上存在点M满足与A(－1,0)，B(1,0)两点连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是()A．[－eq\r(6)，eq\r(6)]B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(6),6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(6),6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)，＋∞))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))解析：选C设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－1)＝3，即y2＝3x2－3.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－my＋\r(3)m＝0，,y2＝3x2－3，))得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m2)－3))x2＋eq\f(2\r(3),m)x＋6＝0(m≠0)，则Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),m)))2－24eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m2)－3))≥0，即m2≥eq\f(1,6)，解得m≤－eq\f(\r(6),6)或m≥eq\f(\r(6),6).∴实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(6),6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)，＋∞)).eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])1．(2019·合肥模拟)直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\r(3)C．－eq\r(3) D．－eq\f(\r(3),3)解析：选A设直线l的斜率为k，则k＝－eq\f(sin30°,cos150°)＝eq\f(\r(3),3).2．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是()A.eq\r(3)x－y＋1＝0 B.eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0C.eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0 D.eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)＝0解析：选D由于倾斜角为120°，故斜率k＝－eq\r(3).又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y＝－eq\r(3)(x＋1)，即eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)＝0.3．已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为()A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0解析：选C由题知M(2,4)，N(3,2)，则中位线MN所在直线的方程为eq\f(y－4,2－4)＝eq\f(x－2,3－2)，整理得2x＋y－8＝0.4．方程y＝ax－eq\f(1,a)表示的直线可能是()解析：选C当a＞0时，直线的斜率k＝a＞0，在y轴上的截距b＝－eq\f(1,a)＜0，各选项都不符合此条件；当a＜0时，直线的斜率k＝a＜0，在y轴上的截距b＝－eq\f(1,a)＞0，只有选项C符合此条件．故选C.5．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0,0)，M(－1,3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为()A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0解析：选C因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.6．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的倾斜角的2倍，则()A．m＝－eq\r(3)，n＝1 B．m＝－eq\r(3)，n＝－3C．m＝eq\r(3)，n＝－3 D．m＝eq\r(3)，n＝1解析：选D对于直线mx＋ny＋3＝0，令x＝0得y＝－eq\f(3,n)，即－eq\f(3,n)＝－3，n＝1.因为eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的斜率为60°，直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角是直线eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的2倍，所以直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角为120°，即－eq\f(m,n)＝－eq\r(3)，m＝eq\r(3).7．当0<k<eq\f(1,2)时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选B由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,k－1)，,y＝\f(2k－1,k－1).))又∵0<k<eq\f(1,2)，∴x＝eq\f(k,k－1)<0，y＝eq\f(2k－1,k－1)>0，故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．8．若直线l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，则当△AOB的面积取最小值时直线l的方程为()A．x－2y＋4＝0 B．x－2y＋8＝0C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＋8＝0解析：选B由l的方程，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2＋4k,k)，0))，B(0,2＋4k)．依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2＋4k,k)＜0，,2＋4k＞0，))解得k＞0.因为S＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2＋4k,k)))·|2＋4k|＝eq\f(1,2)·eq\f(2＋4k2,k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16k＋\f(4,k)＋16))≥eq\f(1,2)(2×8＋16)＝16，当且仅当16k＝eq\f(4,k)，即k＝eq\f(1,2)时等号成立．此时l的方程为x－2y＋8＝0.9．以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边AB上的高所在的直线方程是________________．解析：由A，B两点得kAB＝eq\f(1,2)，则边AB上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y－4＝－2(x－5)，即2x＋y－14＝0.答案：2x＋y－14＝010．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________________．解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为eq\f(1,2)，则tanα＝eq\f(1,2)，所以直线l的斜率k＝ta