【数学】2023-2024学年高一上人教A版（2019）必修第一册 周期性与奇偶性

第一课时周期性与奇偶性5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第五章三角函数课标要求1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求正弦函数y＝sinx、余弦函数y＝cosx的周期.3.掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.素养要求利用y＝sinx，y＝cosx的图象，探索y＝sinx，y＝cosx的周期性、奇偶性，重点提升学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象素养.问题导学预习教材必备知识探究内容索引互动合作研析题型关键能力提升拓展延伸分层精练核心素养达成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU问题导学预习教材必备知识探究一、正弦、余弦函数的周期性1.问题观察f(x)的部分图象，思考下列问题：(1)观察图形，函数图象每相隔多少个单位重复出现？提示每相隔1个单位重复出现.提示自变量x增加2π的整数倍时，函数值重复出现，图象发生“周而复始”的变化.2.填空(1)设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个______常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且_________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的______. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________，那么这个最小正数就叫做f(x)的____________. (3)正弦、余弦函数的周期性

正弦函数y＝sinx(x∈R)和余弦函数y＝cosx(x∈R)都是周期函数，________(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期，最小正周期为______.非零f(x＋T)＝f(x)周期最小的正数最小正周期2kπ2ππ(2)函数f(x)＝sin(2x)的最小正周期是________.解析由f(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin(2x＋2π)＝sin(2x)＝f(x)，得f(x)的最小正周期为π.二、正弦、余弦函数的奇偶性1.问题根据诱导公式三可知，对于x∈R，sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？

提示函数y＝sinx是奇函数，函数y＝cosx是偶函数.2.填空正弦函数是____函数；余弦函数是____函数.奇偶BC3.做一做(多选)下列函数中是周期为2π的偶函数的是(

)×4.思考辨析正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”. (1)因为函数f(x)＝x2满足f(－3＋6)＝f(－3)，所以f(x)＝x2是以6为周期的周期函数.()√√√HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互动合作研析题型关键能力提升2例1求下列函数的周期： (1)y＝sin4x，x∈R；题型一三角函数的周期(3)y＝|sinx|，x∈R.解作图如下：观察图象可知最小正周期为π.思维升华训练1求下列函数的最小正周期：例2判断下列函数的奇偶性：题型二三角函数的奇偶性因为任意x∈R，都有－x∈R.又f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sinx＝－f(x)，∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.1.判断函数奇偶性的两个关键点(1)看函数的定义域是否关于原点对称；(2)看f(－x)与f(x)的关系.2.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.3.研究函数的性质，应遵循“定义域优先”的原则.思维升华解(1)函数的定义域为R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函数.(2)由1－cosx≥0且cosx－1≥0，得cosx＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数.D题型三奇偶性与周期性的综合应用例3(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(

)D迁移1若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？所以函数y＝f(x)的周期T＝π.又f(x)是偶函数，1.当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.2.判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asinωx(A≠0，ω>0)或y＝Acosωx(A≠0，ω>0)其中的一个.思维升华偶函数±2课堂小结2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正弦曲线和余弦曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形.3.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分层精练核心素养达成PARTONED2.函数y＝4sin(2x－π)的图象关于(

)B解析因为y＝4sin(2x－π)＝－4sin2x是奇函数，所以其图象关于原点对称.3.设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象可能是(

)B解析由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称.由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2，选项B满足题设.4.(多选)下列函数中周期为π，且为偶函数的是(

)AC解析A中，由y＝|cosx|的图象知，y＝|cosx|是周期为π的偶函数，所以A正确；A17.若函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<π)在R上是偶函数，则φ＝________.解析∵函数f(x)＝sin(2x＋φ)在R上是偶函数，9.判断下列函数的奇偶性：解f(x)的定义域为R，关于原点对称，∴f(x)为奇函数.(2)f(x)＝cosx－x3sinx.解f(x)的定义域为R，关于原点对称，∵f(－x)＝cos(－x)－(－x)3sin(－x)＝cosx－x3sinx＝f(x)，∴f(x)为偶函数.∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.又f(x)是以π为周期的偶函数，∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，DA.10 B.11 C.12 D.13又k∈N*，所以正整数k的最小值为13.(1)求函数f(x)的定义域并判断函数的奇偶性；解由cosx＋1≠0，得x≠2kπ＋π，k∈Z，所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，x≠2kπ＋π，k∈Z}，＝2－cosx